中考数学二次根式(讲义及答案)附解析

中考数学二次根式(讲义及答案)附解析
一、选择题
1．下列运算错误的是（ ）
A
=
B
．= C
．)216= D
．
)
223= 2．下列各式中，无意义的是（ ）
A
B
C D ．310-
3．下列运算正确的是（
）
A
=
B
= C
．3=
D
2= 4．下列各式中，正确的是（
）
A 2=
± B
=
C 3=
- D 2=
5．下列运算正确的是 （ ）
A
．3
=
B
=C
．=
D
=6．下列计算正确的是（ ）
A
=
B
3
= C
= D ．21= 7．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A
B
C
D
8．若2019202120192020a =⨯
-⨯，b =
，c a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
9．已知226a b ab +=，且a>b>0，则
a b a b +-的值为
( ) A
B C ．2 D ．±2 10．当4x =
-的值为（ ） A
．1 B C ．2 D ．3 11．下列二次根式是最简二次根式的是（
）
A
B
C
D 12．下列运算错误的是（ ）
A ．23=6⨯
B ．2=22
C ．22+32=52
D ．()21-212=-
二、填空题
13．若0a >，把4a b
-化成最简二次根式为________． 14．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．
15．x y 53xy 153，则x+y=_______．
16．已知实数m 、n 、p 满足等式
33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．
17．使式子32
x x -+有意义的x 的取值范围是______． 18．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 19．若实数23
a =-，则代数式244a a -+的值为___. 20．1+x
有意义，则x 的取值范围是____． 三、解答题
21．计算
(1)2213113
a a a a a a +--+-+-; (2)已知a 、
b 26a ++2b ＝0.求a 、b 的值
(3)已知abc ＝1，求
111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值 【答案】（1）22223a a a --
--；（2）a =－3，b 2；（3）1. 【分析】
（1）先将式子进行变形得到()()113113
a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；
（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11
b ab ab b
c b abc ab a ab a ==++++++，2111
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可. 【详解】
解：（1）原式=
()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫-
-+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ =1113
a a --+- =()()()()
3113a a a a -++-+- =22223
a a a ----；
（20b =，
∴2a +6=0，b =0，
∴a =－3，b ；
（3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++， ∴原式=
1111a ab ab a ab a ab a ++++++++ =11
a a
b ab a ++++ =1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
22．计算： 21)3)(3--
【答案】.
【解析】
【分析】
先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算.
【详解】
解：原式22]-
3
22]-4
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.
23．计算
②)21
-
【答案】①
【分析】
①根据二次根式的加减法则计算；
②利用平方差、完全平方公式进行计算．
【详解】
解：①原式＝
②原式＝(
5-2-＝
【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．
24．计算：
（1）
0 1 2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
（2）(4
【答案】（1）-5;（2）9
【分析】
（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】
（1）
0 1 2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
41=--，
5=-；
（2）(4
167=-
9=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
25．观察下列各式：
11111122
=+-=
11111236=+-=
111113412
=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；
（3
【答案】（1）11
20；（211(1)
n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】
解：（1111114520=+-=； 故答案为：11
20；
（2111111(1)
n n n n =+-=+++；
11(1)
n n =++；
（31156
== 【点睛】
此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
26．先化简，再求值：24224x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭，其中2x =．
【答案】
22
x x +-，1 【分析】 先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可．
【详解】 原式(2)(2)22(2)2
x x x x x x x x +-+=⋅=---，
当2x =时，原式1
==. 【点睛】
本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．
27．已知a ，b
（1）求a 2﹣b 2的值；
（2）求b a +a b
的值．
【答案】（1）；（2）10
【分析】
(1)先计算出a+b 、a-b 的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；
(2)先计算ab 的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.
【详解】
(1)∵a b ，
∴a +b
a ﹣
b ＝，
∴a 2﹣b 2＝(a +b )(a ﹣b )＝＝；
(2)∵a
b
，
∴ab＝
)×
)＝3﹣2＝1，
则原式＝
22
b a
ab
+
＝
()22
a b ab
ab
+-
＝
(221
1
-⨯
＝10．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.
28．计算（1
（2
）2
1)
-
【答案】（1
）4；（2
）3+
【分析】
（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】
解：（1
）解：原式=
4 =+
4 =-
（2
）解：原式()
2
21
6
1
=-
-
-
63
=-+
3
=+
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
29．计算：（1
；
（2
）
))
2
13
【答案】（1
）2
）1-.
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案．（2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．【详解】
（1）原式
=
=
（2）原式=212---
=1-.
【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．
30．计算：
（1）13⎛+-⨯ ⎝
⎭
（2）)()2
221+．
【答案】（1）6-；（2）12-【分析】
（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．
【详解】
解：（1）原式＝1(233⨯⨯
-⨯
＝-⨯
＝3⎫⨯⎪⎪⎭
＝6-；
（2）原式＝3﹣4+12﹣
＝12﹣．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得．
【详解】
A =，此项正确；
B 、=
C 、)
21516=+=+
D 、)
22743=-=，此项正确； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．
2．A
解析：A
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案．
【详解】
A
B ，有意义，不合题意；
C D 、33
110=
10-，有意义，不合题意； 故选A.
【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3．D
解析：D
【分析】
利用二次根式的加减法对A 、C 进行判断；利用二次根式的性质对B 进行判断；利用二次根式的除法法则对D 进行判断．
【详解】
解：A A 选项错误；
B =B 选项错误；
C 、=C 选项错误；
D 2=，所以D 选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．B
解析：B
【分析】
本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．
【详解】
A，故该选项错误；
B==
C3
=，故该选项错误；
D
112
2
333
4=(2)2
==，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．
5．A
解析：A
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
A、3
=，故选项A正确；
B B错误；
C、18
=，故选项C错误；
D=D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．6．A
解析：A
【分析】
分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．
【详解】
解：==
==
==，原式计算错误；
D. 2220
=-=，原式计算错误；
故应选：A
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
=，故A不是最简二次根式；
2
是最简二次根式，故B正确；
，故C不是最简二次根式；
=D不是最简二次根式；
故选：B．
【点睛】
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
8．A
解析：A
【分析】
利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】
解：a=2019×2021-2019×2020
=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
=（2021+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）2
=20202，
∴b=2020；
>
∴c ＞b ＞a ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020
解决本题的关键．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，可以得出（a+b ）和（a-b ）的值，即可得出答案．
【详解】∵a 2+b 2=6ab ，
∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，
∵a ＞b ＞0，
∴
∴a b a b +-
= 故选A.
【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．
10．A
解析：A
【分析】
根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
解：原式2223232323x x x x
1
123
23x x 将4x =代入得， 原式
1
1423423
221
11313 3113 13313113
1=.
故选：A.
【点睛】
本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
11．B
解析：B
【分析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
解：A 、被开方数含分母，故A 错误；
B 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B 正确；
C 、被开方数含能开得尽方的因数，故C 错误；
D 、被开方数含分母，故D 错误；
故选B ．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
12．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A 进行判断；根据分母有理化对B 进行判断；根据二次根式的加减法对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．
【详解】
A
B
计算正确，不符合题意；
C 、计算正确，不符合题意；
D 11=≠符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．二、填空题
13．【分析】
先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
解：∵
∴
∴
所以答案是：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质.
解析：
【分析】
先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
解：∵
4
0,0 a
a
b
-
≥>
∴0
b<
2
a b
b b b
=--
所以答案是：
【点睛】
a
=.
14．-2a
【分析】
根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
由图可知，
∴
∴﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|
＝
解析：-2a
【分析】
根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
由图可知，0c a b ＜＜＜
∴00.a c c b ＞，＜
|a ﹣c ﹣|﹣b |
＝||()||a a
c c b b =()a
a c
b
c b =a
a c
b
c b =-2a .
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有
||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号. 15．8+2
【解析】
根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-
整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.
故答案为：8+2.
解析：
【解析】
根据配方法，由完全平方公式可知
x+y=2222+=+-）2
整体代入可得原式=2-2
）
故答案为：
16．5
【解析】
试题解析：由题可知，
∴，
∴，
∴，
①②得，，
解方程组得，
∴．
故答案为：5.
解析：5
【解析】
试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩
， ∴3m n +=，
0=，
∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②
， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，
解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41
m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．
故答案为：5.
17．且
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】
由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分
解析：3x ≤且2x ≠-
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】
由题意得：2030
x x +≠⎧⎨-≥⎩， 解得3x ≤且2x ≠-，
故答案为：3x ≤且2x ≠-．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键． 18．5或3
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】
由被开方数是非负数，得
，
解得a ＝1，或a ＝﹣
解析：5或3
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】
由被开方数是非负数，得
221010
a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，
b ＝4，
当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，
当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3，
故答案为5或3．
【点睛】
本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
19．3
【解析】
∵ =，
∴=（a-2）2==3，
故答案为3.
解析：3
【解析】
∵
a =
∴244a a -+=（a-2）2=()2
22+=3， 故答案为3.
20．x≥0．
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
∵有意义，∴x≥0，
故答案为x≥0．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．解析：x≥0．
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
有意义，∴x≥0，
故答案为x≥0．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无。