《推理与证明》章末回顾 (1)

《推理与证明》章末回顾
一、思维导图
1.
2.
3. 数学归纳法
二、章末检测题
（一）选择题（每小题5分，共60分）
1.等比数列{},243,9,52==a a a n 中则其前4项和为（ ）
A. 81
B. 120
C. 168
D.192
2.函数]2,0[)44sin(3)(π
π在+=x x f 内（ ）
A. 只有最大值
B. 只有最小值
C. 只有最大值或只有最小值
D. 既有最大值又有最小值
3. 若三角形能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（
） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
4.函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数（ ） A. )23,2(ππ B. )2,(ππ C. )2
5,23(ππ D.)3,2(ππ 5.设115
114113112log 1log 1log 1log 1+++=P ，则（ ） A. 10<<P B. 21<<P C. 32<<P D. 43<<P
6.已知"1""1",,22≤+≤∈y x xy R y x 是则的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.等比数列{}n a 中，15361=a ，公比2
1-=q ，用n P 表示数列的前n 项的积，则n P 中最大的是（ ）
A. 9P
B. 10P
C. 11P
D.12P
8.已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①++；②+2；③ED FE +；④FA ED -2中，与等价的有（ ）
A. 1个 B .2个 C.3个 D.4个
9.正数b a ,满足a b b a lg ln =，则有（ ）
A.11==b a 或
B.1,1≠=b a
C.1,1≠=a b
D.1==b a
10.正方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别是11,,C B AD AB 的中点，那么，正方体的过R Q P ,,的截面图形是（ ）
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
11.如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）
A.5481a a a a >
B.5481a a a a <
C.5481a a a a +>+
D.5481a a a a =
12.若5
5ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则（ ） A.c b a << B. a b c << C. b a c << D. c a b <<
（二）填空题（每小题5分，共20分）
13.过原点作曲线x e y =的切线，则切点坐标是________,切线斜率是______.
14.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线2
1=x 对称，则.______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f
15.在数列{}n a 中，)()1(1,2,1*221N n a a a a n n n ∈-+=-==+，则.__________10=S 16.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem )，其加密、解密原理如下图：
现在加密密钥为)2(log +=x y a ，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为 ．
（三）解答题（第17题10分，其余每小题12分，共70分）
17. 已知：2
3150sin 90sin 30sin 222=++ 2
3125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _____________________________________________________=2
3 （ * ） 并给出（ * ）式的证明.
一般形式: 2
3)120(sin )60(sin sin 222=
++++ ααα 18.已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1,
(1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

19. 在锐角三角形ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++． 解密密钥密码 加密密钥密码 明文 密文 密文 发送 明文
20. 已知0>>b a ,求证b a b a -<-．
21.对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．
（1）若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；
（2）判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明；
22.我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x D =∈，对任意,,2x y x y D +∈均满足1()[()()]22
x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。

（1）若定义在(0，＋∞)上的函数()f x M ∈，试比较(3)(5)f f +与2(4)f 大小.
（2）设函数2()g x x =-，求证：()g x M ∈．
（一）选择题（每小题5分，共60分）
1. B
2. D
3. B
4. B
5. B
6. B
7. D
8. C
9. A
10. D
11. B
12. C
（二）填空题（每小题5分，共20分）
13. e e ),,1(
14. 0
15. 35
16. 运用映射概念，体现RMI 原则，实质上当x =6时，y =3，可得a =2,从而当y =4时，x =24－2＝14。

（三）解答题（第17题10分，其余每小题12分，共70分）
17. 一般形式: 2
3)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα 证明: 左边 = 2
)2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα = )]2402cos()1202cos(2[cos 2
123 ++++-ααα =-+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2
123ααα ]240sin 2sin α =
]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+---- = 右边=2
3 ∴原式得证
（将一般形式写成 2223sin (60)sin sin (60),2
ααα-+++= 2223sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=
等均正确，其证明过程可参照给分。

） 18. 解：(1) a 1＝
23, a 2＝47, a 3＝815, 猜测 a n ＝2－n
21 (2) ①由（1）已得当n ＝1时，命题成立；
②假设n ＝k 时,命题成立，即 a k ＝2－k 2
1, 当n ＝k ＋1时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,
且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k
∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,
∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－12
1+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立.
根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n
21都成立 19. 证明：ABC ∆ 为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22π
π
，
x y sin = 在)2,0(π上是增函数，B B A cos )2
sin(sin =->∴π 同理可得C B cos sin >，A C cos sin >
C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴
20. 证明：要证b a b a -<-，只需证22)()(b a b a -<-
即b a ab b a -<-+2，只需证ab b <，即证a b <
显然a b <成立，因此b a b a -<-成立
点拨：注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”
21.解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．
又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．
（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；
也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则
)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g
0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③， 故)(x g 理想函数．
22.解：(1)对于1()[()()]22
x y f f x f y +≥+，令5,3==y x 得(3)(5)f f +<2(4)f (2)2
4)()]()([21)2(22212212121x x x x x g x g x x g +++-=+-+04)(2
21≥+=x x )]()([2
1)2(2121x g x g x x g +≥+∴ ,所以g(x)∈M。