第4讲 直线和直线

1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式
(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.
(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 4．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.
②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨
⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0
的解．
5．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
.
(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋B
2.
1与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0. 2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2. 题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 已知直线l 经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为____．
例2 ）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B ． C ． D ．
()1,0P ()2,1A ()3,2B -AB l 3[0,][
,)4
4π
ππ⋃[0,]4π[0,][,)42
ππ
π⋃
1.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.1
3
B ．－13
C ．－32 D.23
2.直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6
，5π6
3.（全国高一课时练习）点在函数的图像上，当时，求的取值范围. 题型二 求直线的方程
例3 (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．
(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．
(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．
例4 过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．
(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．
1．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0
B ．3x ＋y ＋6＝0
C ．3x －y ＋6＝0
D ．3x ＋y －6＝0
2．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，若0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.
3．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________． 题型三 两直线平行与垂直的判定
例5 (1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或1
2
B.13或－1
C.1
3 D ．－1
(3)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________． 1．已知直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(t,1)，则n 的值为( )A ．7B ．9C ．11
D ．－7
2．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．
(,)M x y 28y x =-+[2,5]x ∈1
1
y x ++
(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 题型四 距离公式的应用
例6 (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )
A ．2x ＋y －5＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．x ＋2y －4＝0
D ．x －2y ＝0
(2)若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是 5，则m ＋n ＝( ) A ．0
B ．1
C ．－2
D ．－1
1.已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．
2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________． 题型五 直线过定点问题
例7 （海淀区校级期中）直线kx ﹣y +1＝3k ，当实数k 的取值变化时，所有直线都通过定点（ ） A ．（3，1）
B ．（2，1）
C ．（1，1）
D ．（0，1）
1.（历下区校级期中）设直线l 的方程为（a +1）x +y +1﹣a ＝0，则直线l 经过定点 ；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．
2.（武胜县校级月考）已知直线l ：kx ﹣y +1+2k ＝0（k ∈R ）．
（1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围．
3、直线l 过点()12A ，
，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ） A ．[]0,2
B ． []0,1
C ．10,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
4、已知直线的斜率是，倾斜角是，直线的斜率是，倾斜角是，则（ ） A ． B ．C ． D ．
5、直线sin 20x y α-+=的倾斜角的取值范围是( 3.[0.[0][,.[0]
.[0][,44
4
42
A B C D πππ
ππ
πππ⋃⋃，)
，)
，，)
6、若直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,若0013560<<α,则k 的取值范围是( )
A.)3,1(-
B. ),3()1,(+∞⋃--∞
C.]3,1[-
D. (,1][3,)-∞-⋃+∞ 7、求过点(4,3)-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程。

8、直线过点4
(2)3
P ，
且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时1l 1k 1α2l 2k 2α1212k k αα>⇒>1212k k αα<⇒>1212k k αα>⇒<1212k k αα≠⇒≠
满足下列条件：(1)ABC ∆的周长为12；(2)ABC ∆的面积为6. 9、直线1
y ax a
=+
的图象可能是（ ） 10、若直线0Ax By C ++=与两坐标轴都相交，则有（）A ．0AB ≠ B ．00A B ≠≠或C ．0
C ≠
D ．220A B +=
11、设直线l 的方程为(1)20a x y a +++-=，则直线l 经过定点 ；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．
12、无论 λ 取何值，直线 (λ+2)x −(λ−1)y +6λ+3=0 必过定点________．
13、已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是(
)
14、若直线l ：240()kx y k k R -++=∈交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当AOB ∆的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ． 240x y -+=
B ．280x y -+=
C ． 240x y -+=
D ． 280x y -+=
15、设a ∈R ,则” 1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 16、若直线(1)10x a y +-+=与直线210ax y +-=互相垂直，则实数a =A ．
32 B ．2
3
C ．1-
D ．2 3、已知直线1:sin 210l x y α+-=，直线2:cos 30l x y α-+=，若12l l ⊥，则tan2α=A ．2
3
-
B ．4
3
- C
25
D ．45
1.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．3
4
k ≥
B ．324k ≤≤
C ．3
24
k k ≥≤
或 D ．2k ≤ 2、已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围是________________．
5、已知ABC ∆中，(1,1)A ，(2,3)B -，(3,5)C ，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般
式方程表示，其他形式的结果不得分．)
（1）BC 边上的高线的方程；（2）BC 边的垂直平分线的方程．。