弹塑性力学 第02章应力状态理论

⎟ σ 23 ⎟ ⎟ σ 33 ⎠
σ 13 ⎞
§2-3 与坐标轴倾斜的斜截面上的应力
如何根据 9 个应力分量求任意斜截面上的应力？
σz
τ zx τ xz
τ xy τ yx τ zy
z
τ yz
σy
px
pz
py
y
σx
x
σz τ zx τ xz
τ xy τ yx τ zy
z
τ yz σy σy τ yx τ xy σ x τ xz τ zx σz
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
80 ⎞ ⎟ − 75 ⎟ MPa − 30 ⎟ ⎠
⎛1 1 1 ⎞ 试求通过该点，法线方向为⎜ , , ⎟ 2⎠ ⎝2 2
平面的正应力
和切应力。
解： p j = σ ij ni
50 + 40 2 ⎞ 80 ⎞⎛1 2 ⎞ ⎛ ⎛ 50 50 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ p = ⎜ 50 0 − 75 ⎟⎜1 2 ⎟ = ⎜ 25 − 37.5 2 ⎟ MPa ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2.5 − 15 2 ⎟ ⎜ 80 − 75 − 30 ⎟⎜ ⎠⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
τ yx τ xy σ x τ xz
o
pz px py
c
c
τ zx
y
a
o
y
p x ⋅ SΔabc − σ x ⋅ SΔboc − τ yx ⋅ SΔaob − τ zx ⋅ SΔaoc = 0
设倾斜面abc的外法线的3个方向余弦为l，m，n，则有
x
σz
x
SΔboc = SΔabcl , SΔaob = SΔabc m, SΔaoc = SΔabc n
例题3：单位厚度的楔形体，材料比重为 γ ，楔形 楔形体的边界条件。
体左侧作用比重为 γ 1 的液体，如图所示。试写出
平面情况下面力边界条件为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
p x , p y , pz
则有：
v v v v p = p x e1 + p y e2 + pz e3
将
v p 沿微元的法线
v v v p = σn + ττ
和切线分解，可得
σ τ
正应力 切应力
两者与结 构的强度 关系密切
必须指出，凡提到应力，应同时指明它是对物体 内哪一点并过该点的哪一个微分面来说的。因为通 物体内同一点可以作无数个方位不同的微分面。显 然，各微分面上的应力一般说是不同的。把物体内 一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状 应力状态分析：讨论一点截面方位改变引起的应 力变化趋势。对于结构强度是十分重要的。
v p =
p +p +p
2 x 2 y
2 z
τ =
v2 2 p −σ
p j = σ ij ni
应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改 变而变化。 同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力 也不同。
例题1：已知弹性体内部某点的应力状态为
σ ij
⎛ 50 ⎜ = ⎜ 50 ⎜ 80 ⎝
50 0 − 75
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
BB’边
l = sinα，m = − cosα
f sx = − γ y sin α ， f sy = γ y cos α
⎧ ⎪σ x sin α − τ xy cos α = −γy sin α ⎨ ⎪ ⎩τ xy sin α − σ y cos α = γy cos α
y
σx
x
τ yz τ zy
b
z
b
z
平衡
σy
a
τ yz τ zy
τ yx τ xy σ x τ xz
o
pz px py
c
c
τ zx
y
a
o
y
x
σz
x
∑F
x
=0
p x ⋅ SΔabc − σ x ⋅ SΔboc − τ yx ⋅ SΔaob − τ zx ⋅ SΔaoc = 0
b
z
b
z
平衡
σy
a
τ yz τ zy
−2 −1
2
§2-2 应力和一点的应力状态
内力——外界因素（外力、温度变化等）作用
下，物体内部各个部分之间的相互作用力。
应力——内力的分布集度。 v ΔF v p = lim 应力矢量 ΔS →0 ΔS
v p 随截面的法
线方向 n 的方向改 变而变化。
将
v p
在三个坐标轴 z x O y
上的投影，分别为
v v σ = p⋅n
⎛1 2 ⎞ ⎟ ⎜ = 50+ 40 2 25− 37.5 2 2.5 −15 2 ⎜1 2 ⎟ ⎟ ⎜ 2 2⎠ ⎝ = 26.05MPa
(
)
τ=
v2 2 p − σ = 108.7 MPa
§2-4 平衡微分方程·应力边界条件
若物体在外力（包括体力和面力）作用下处于平 衡状态，则将其分割成若干个任意形状的单元体 后，每一个单元体仍然是平衡的；反之，分割后每 一个单元的平衡，也保证了整个物体的平衡。因 此，假想穿过物体作三组分别与3个坐标平面平行的 截面，在物体内部，它们把物体分割成无数个微分 平行六面体；在靠近物体的表面处，只要这三组平 面取得足够密，则不失一般性地被切割微分四面 体。如果分别考虑物体内部微分平行六面体和表面 处任意一个微分四面体的平衡，将导出平衡微分方 程和应力边界条件。
b
z
b
z
σy
a
τ yz τ zy
τ yx τ xy σ x τ xz
o
pz
c
τ zx
y
a
o
px
py
c
y
x
σz
x
于是可得 同理可得
p x = σ x l + τ xy m + τ xz n
p y = τ yx l + σ y m + τ yz n pz = τ zx l + τ zy m + σ z n
平 衡 微 分 方 程
平衡微分方程，又称纳维方程
⎛ ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ∂ 2u ⎞ + + + Fbx = 0⎜ =ρ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ∂ t ⎝ ⎠ ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy ⎛ ∂ 2v ⎞ + + + Fby = 0⎜ =ρ 2⎟ ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ∂ t ⎝ ⎠ ⎛ ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z ∂2w ⎞ + + + Fbz = 0⎜ =ρ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ∂ t ⎝ ⎠
整理可得
同理可得
⎛ ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ∂ 2u ⎞ + + + Fbx = 0⎜ =ρ 2 ⎟ ⎜ ⎟ t ∂ ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy ⎛ ∂ 2v ⎞ + + + Fby = 0⎜ =ρ 2⎟ ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ∂ t ⎝ ⎠
⎛ ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z ∂2w ⎞ + + + Fbz = 0⎜ =ρ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ∂ t ⎝ ⎠
斜截面应 力公式
px = σ x l + τ xy m + τ xz n
p y = τ yx l + σ y m + τ yz n pz = τ zx l + τ zy m + σ z n
p j = σ ij nini = (l , m Nhomakorabea n )
¾公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微 分面的应力矢量。也称柯西应力公式。 ¾当然可以确定正应力σ 与切应力τ 。如何求？
f sj = σ ij ni
上列三个方程给出了应力和面力之间的关系，称 为应力边界条件 或面力边界条件。
⎛ ∂ ui ⎞ ⎟ = σ ij , j + Fbi = 0⎜ ρ 2 ⎟ ⎜ ∂t ⎠ ⎝
2
描述弹性体 内部的平衡
f sj = σ ij ni
描述弹性体表面的平衡
显然，如已知应力分量满足平衡微分方程和应 力边界条件，则物体是平衡的；反之，如物体是平 衡的，则应力分量必须满足平衡微分方程和应力边 界条件。 需要指出的是，这里所指的平衡，仅仅是静力 学上可能的平衡，未必是物体实际存在的平衡。实 际的平衡，还要考虑物体变形的连续性条件。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
∂τ yx ⎞ ⎛ ∂σ x ⎞ ⎛ dx ⎟dydz − σ x dydz + ⎜ dy ⎟ dxdz − τ yx dxdz + τ yx + ⎜σ x + ⎜ ⎟ ∂x ∂y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂τ zx ⎞ ⎛ dz ⎟dxdy − τ zx dxdy + Fbx dxdydz = 0 ⎜τ zx + ∂z ⎝ ⎠
应力张量
⎛ σ x τ xy τ xz ⎞ ⎛ σ 11 ⎜ ⎟ ⎜ σ ij = ⎜τ yx σ y τ yz ⎟ = ⎜ σ 21 ⎜ ⎜τ ⎟ σ τ σ 31 ⎝ zx zy z ⎝ ⎠
应注意：应力分量是标量， 箭头仅是说明方向。 应力张量可以完全描述 一点的应力状态。
σ 12 σ 22 σ 32
⎧∑ Fx = 0 ⎧∑ M x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨∑ Fy = 0 ⎨∑ M y = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩∑ Fz = 0 ⎪ ⎩∑ M z = 0
考虑投影方程
∑F
x
=0
∂τ yx ⎞ ⎛ ∂σ x ⎞ ⎛ τ yx + dx ⎟dydz − σ x dydz + ⎜ dy ⎟ dxdz − τ yx dxdz + ⎜σ x + ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ∂τ zx ⎞ ⎛ dz ⎟dxdy − τ zx dxdy + Fbx dxdydz = 0 ⎜τ zx + ∂z ⎝ ⎠
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
例题2：梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。 已知水的比重为
γ ，试写出墙体横截面边界AA'，
AB，BB’ 的面力边界条件。
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
解：AA'边
l = −1 ，m = 0 f sx = ρgy = γy， f sy = 0
⎛ ∂ ui ⎞ ⎟ σ ij , j + Fbi = 0⎜ ρ = 2 ⎟ ⎜ ∂t ⎠ ⎝
2
给出了应力和 体力的关系
⎧∑ Fx = 0 ⎧∑ M x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨∑ Fy = 0 ⎨∑ M y = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩∑ Fz = 0 ⎪ ⎩∑ M z = 0 ⎧∑ M x = 0 考虑力 ⎪ ⎪ M =0 矩方程 ⎨∑ y ⎪ ⎪ ⎩∑ M z = 0
p x = σ x l + τ xy m + τ xz n
p y = τ yx l + σ y m + τ yz n pz = τ zx l + τ zy m + σ z n
p j = σ ij ni
ni = (l , m, n )
求斜截面上的正应力σ 与切应力τ
v v σ = p ⋅ n = σ ij ni n j
21体力和面力22应力和一点的应力状态23与坐标轴倾斜的微分面上的应力24平衡微分方程应力边界条件25主应力应力张量不变量26最大切应力27偏应力张量及其不变量21体力和面力作用于物体上的外力分为两类体力
第二章
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
为了表示一点的应力状态将 应力分量 p x , p y , p z沿坐标 轴分解，可得9个应力分量
σ x， σ y， σ z τ xy， τ xz， τ yx， τ yz， τ zx， τ zy
应力下标的含义：对于正应力，下标表示作用面的 方位；对于切应力，第一个下标表示作用面的方 位，第二个下标表示应力方向。