复变函数初步

复变函数初步
复变函数是指定义在复平面上的函数，由于其定义域和值域均
为复数，因此与实变函数有很大的不同。

复变函数理论是数学的
一个重要分支，也是物理学、工程学等领域的基础。

1. 复数与复平面
复数是由实数和虚数组成的数，可以用$a+bi$的形式表示，其
中$a$为实部，$b$为虚部，$i$为虚数单位。

复数可以与复平面上
的点一一对应，实部$a$对应$x$轴坐标，虚部$b$对应$y$轴坐标。

图1. 复平面示意图
复平面的横轴为实轴，纵轴为虚轴，原点为坐标轴的交点，与
原点距离相等的点在复平面上的模长相等，与$x$轴的夹角称为辐角。

复数的共轭是把虚部取负所得的复数，例如$3+2i$的共轭为
$3-2i$。

2. 复变函数的定义
在复平面上定义的函数$f(z)$，其中$z$为复数，可以写成
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的形式，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是实函数，分
别为$f(z)$的实部和虚部。

对于$f(z)$来说，如果对于复平面上的所有$z_1$，$z_2$，均有$f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2)$，并且存在复数$a$，使得对于复平面
上的所有$z$，$f(z+a)=f(z)$，那么称$f(z)$是复平面上的周期函数。

3. 复变函数与解析函数
对于$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，如果$f(z)$的实部和虚部的一阶偏导
数都存在且连续，那么称$f(z)$是复平面上的可导函数。

如果$f(z)$在复平面上处处可导，那么称其为复平面上的解析
函数。

解析函数是复变函数的一个重要概念，在复变函数理论中
有着重要应用。

此外，解析函数还具有一些重要的性质，如解析
函数的实部和虚部都是调和函数。

4. 复数级数与幂级数
称以一列复数为通项的级数$a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$为复数级数。

复数级数有类似于实数级数的求和和收敛的概念，同时也有类似于实数级数的收敛判别法。

幂级数是一类形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$的级数，其中$a_n$和$z$都是复数。

幂级数在复变函数理论中有着非常重要的地位，因为解析函数在某些情况下可以表示成幂级数的形式，例如泰勒级数和劳伦茨级数。

5. 复变函数的积分
复变函数的积分与实变函数的积分也有很大的不同，在复平面上的路径积分是复变函数理论中的一个重要概念。

路径积分的定义是将复平面上的一条路径分成很多小段，对于每一小段，选择一点作为代表点，对其对应的函数值做出乘积。

然后把每个小段对应的积加起来，取极限得到路径积分的值。

需要注意的是，路径积分的值与路径的形状有关，事实上，如果路径积分的值与路径形状无关，那么称其为环路积分。

环路积分在复变函数理论中有很多应用，例如柯西定理和柯西公式等。

6. 复变函数的应用
复变函数的理论在物理学、工程学、数学等领域都有广泛的应用。

主要有以下几个方面：
1. 经典物理学中的量子力学和电动力学等领域
2. 工程学中的控制理论、图像处理和信号处理等领域
3. 数学分析中的上解析函数、半解析函数和亚纯函数等领域
7. 总结
复变函数是数学的一个重要分支，涉及到复数、复平面、复数级数、幂级数、解析函数、路径积分等多个概念和技术。

复变函数也有着广泛的应用价值。

在学习时需要认真理解复数的概念和复平面的几何意义，掌握复变函数的基本定义和性质，以及能够求解解析函数的导数和积分。