高三数学九月月高考试卷

鄞州高级中学高三第一次月考数学(理)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目） 1.设全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={3，4}，集合Q ={1，3，6}，则P ∩C U Q 等于
A 、{1,3,4,6}
B 、{2,5}
C 、{3}
D 、{4}
2．20x
x +=在下列哪个区间内有实数解A ．()2,1-- B ． ()0,1 C ．()1,2 D ．()1,0-
3.函数f (x )是以π为周期的奇函数，且f (-
4π)=-1，那么f (49π)等于A 、4π B 、-4
π
C 、1
D 、-1
4.已知{}n a 是递增等比数列，且132-=+a a ，那么首项1a 的取值范围为
（A ） 1a ＜21- （B ） 1a ＞21- （C ） 2
1
-＜1a ＜0 （D ） 1a ＜0 5．已知实数a ，b 均不为零，βααααtan sin cos cos sin =-+b a b a ，且6π=-αβ，则a
b
等于
A ．3
B ．
3
3
C ．3-
D ．3
3-
6．已知{}n a 为等差数列，若11
10
1,a a <-且它的前n 项和n S 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n = A ．11
B ．20
C ．19
D ．21
7．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，其图象关于1=x 对称且021=⎪⎭
⎫ ⎝⎛f ，则方程()0=x f 在()0,5内解
的个数的最小值是 A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．在圆x y x 52
2
=+内，过点)2
3,25(有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首1a ，最长弦长为
n a ，
若公差]3
1,61(∈d ，则n 的取值集合为 A.{4,5,6} B.{6,7,8,9} C.{3,4,5} D.{3,4,5,6} 9．函数12
log y x =定义域[],a b ，值域[]0,2，则区间[],a b 长度b a -的最小值是
A ．3
B ．34
C ．2
D ．32
10．已知直线6
π
=
x 是函数x b x a y cos sin -=图象的一条对称轴，则函数x a x b y cos sin -=图象的一条对称轴方程是： A . 6π=
x B . 3π=x C . 2
π
=x D . π=x 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.）
11．已知()f x 是定义在[]2,2-上的偶函数，且在[]0,2上单调递增，()(1)f m f m <-，则m 的取值范围
是： ； 12.已知,1312
)4sin(,43)tan(),,43(
,=--=+∈πββαππβα则=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+4cos πα__________；
13．在数列{}n a 中，2
111,10n n a a a +=--=，则此数列的前项之和为：____________；
14．若1sin(
),63π
α-=则2cos(2)3
πα+= ； 15． )(x f 是奇函数，当0>x 时，x x x f sin )(2+=，当0<x 时，)(x f 表达式为_________； 16.已知数列{}n a 满足01a =，0121n n a a a a a -=+++(1)n ≥，则当1n ≥时，n a =
17．已知()f x 满足对x R ∈都有11222f x f x ⎛⎫
⎛⎫
++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则127888f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共72分，要写出详细的解答过程或证明过程） 18．（本小题满分14分）已知函数)]4
2sin(21)[tan 1()(π
+
+-=x x x f ，求：
（1）函数)(x f 的定义域和值域； （2）写出函数)(x f 的单调递增区间。

19．（14分）已知：)lg()(x
x
b a x f -=（a ＞1＞b ＞0）． （1）求)(x f 的定义域；
（2）判断)(x f 在其定义域内的单调性； （3）若)(x f 在（1，＋∞）内恒为正，试比较a -b 与1的大小． 20．(本题满分14分)已知函数2
()ax f x x b
+=
+的图象关于点(2,3)-对称. (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)若数列{}n a ,{}n b 满足11
,2
a =
1(),n n a f a +=1(1)1n n b n a =
≥+,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅲ)记12n n S b b b =++⋅⋅⋅+若
1
n
m S <恒成立,求m 的最小值. 21．（15分）已知椭圆方程为18
2
2
=+y x ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．
（1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．
22．（15分）已知等差数列}{n a 的首项为a ，公差为b ；等比数列}{n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，
+∈N b ，且32211a b a b a <<<<．（1）求a 的值；（2）若对任意+∈N n ，总存在+∈N m ，使n m b a =+3，求b 的值；
（3）在（2）中，记}{n c 是所有}{n a 中满足n m b a =+3， +∈N m 的项从小到大依次组成的数列，又记n S 为}{n c 的前n 项和，n T }{n a 的前n 项和，求证：n S ≥n T )(+∈N n
班级_______________姓名______________学号__________
21.
22.
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D C A B C D A B B
二、填空题
11.
1
[1,)
2
- 12.
65
56
- 13. -1002 14.
7
9
- 15. 2
sin x
x- 16. 1
2n- 17. 7
三、 解答题 18． 解:⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
=4sin 2cos 24cos 2sin 21cos sin 1)(ππx x x x x f
()
x x x x x 2cos 2cos sin 2cos sin 1+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= ()()x x x x sin cos sin cos 2+-=…………………………3分
)sin (cos 222x x -=
x 2cos 2= …………………………5分
（Ⅰ）函数的定义域 ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+
≠∈Z k k x R x x ,2,|π
π …………………………7分 Z k k x ∈+≠,22ππ ,22cos 2-≠∴x 函数)(x f 的值域为(]2,2-
…………………………10分
（Ⅱ）令)(,222Z k k x k ∈≤<-πππ得)(2
Z k k x k ∈≤<-
ππ
π
∴函数)(x f 的单调递增区间是)(,2Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎝
⎛
-
ππ
π ………………14分 19．（1）由0>-x
x
b a ， ∴ 1)(>x
b
a ，
1>b
a
． ∴ x ＞0．∴ 定义域为（0，＋∞）． （2）设012>>x x ， a ＞1＞b ＞0, ∴ 12
x x a a > 21x x b b > 12x x b b ->-
∴ 01
1
2
2
>->-x x x x b a a
a
∴ 11
1
2
2>--x x x x b
a b a ． ∴ 0)()(12>-x f x f ． ∴ )(x f 在（0，＋∞）是增函数．
（3）当1(∈x ，＋∞)时，)1()(f x f >，要使0)(>x f ，须0)1(≥f ，∴ a -b ≥1． 20．解：（Ⅰ）22()ax ab
f x a x b x b
+-=
=+++； ∵ ()f x 的图象关于点(2,3)-对称 ∴3
2
a b =⎧⎨
=⎩ ……………………4分
（Ⅱ）∵1()n n a f a +=，∴132
2
n n n a a a ++=
+；
又∵11n n b a =
+，∴11
11
1,1n n n n a a b b ++=
-=-； ∴
1
1413112n n
b b +-=--+； 化简得141n n b b +=+； ……………………6分
∴
11
13143n n b b +-
=-； …………………………………………8分 ∴数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是首项11133b -
=，公比为1
4
的等比数列； ∴1
111334n n b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1
111
343
n n b -⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
． ………………………………………10分 (Ⅲ) 11(1)
4134(1)1394314
n n n n n S -=+=-+-； …………………………………………12分 ∴11113
412
(1)943
n n
n S S =<=-+； ∴M 的最小值为32． ……………………14分
21．（1）∵斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （
2
2
，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线MB 方程为)2
2
(2-
-=-x k y ． 分别与椭圆方程联立，可解出2
2
8422
2-+-=
k k k x A ，2
2
8422
2-++=k k k x B ． ∴
22)
(=--=--B
A B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）．
（2）设直线AB 方程为m x y +=22，与182
2
=+y x 联立，消去y 得mx x 24162+ 0)8(2=-+m ．
由＞0得-4＜m ＜4，且m ≠0，点M 到AB 的距离为3
|
|m d =． 设△AMB 的面积为S ． ∴ 2)2
16(321)16(321||41222222
=≤-==
⋅m m d AB S ．
当22±=m 时，得2max =
S ．
22．（1）∵ b a ab b a a 2+<<+<，a ，+∈N b ，
∴ ⎩⎨⎧+<<+.2，b a ab ab b a ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->.
121
b b a b b a ， ∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-+<-+>.
1221
11b a b a ， ∴ ⎩⎨
⎧<>41a a ，． ∴ a ＝2或a ＝3（a ＝3时不合题意，舍去）． ∴a ＝2．
（2）b m a m )1(2-+=，12-⋅=n n b b ，由n m b a =+3可得 1
2)1(5-⋅=-+n b b m ．
∴ 5)12
(1
=+--m b n ．∴ b ＝5
（3）由（2）知35-=n a n ，125-⋅=n n b ， ∴ 32531
-=-=-⋅n n m b a ． ∴ 3251-=-⋅n n C ． ∴ n S n
n 3)12(5--=，)15(2
1
-=
n n T n ． ∵ 211==T S ，922==T S ． 当n ≥3时，
]121212[52---
=-n n T S n
n n ]12
1
21)11[(52---+=n n n ]12
121)1[523
21---++++=n n C C C n n n
0]12
1
212)1(1[52=----++>n n n n n ．
∴ n n T S >． 综上得 n n T S ≥)(+∈N n ．。