二阶脉冲微分方程边值问题解的存在性

二阶脉冲微分方程边值问题解的存在性
蹇玲玲
【摘要】本文研究了二阶脉冲微分方程的边值问题,利用Schauder不动点定理证明了带有时滞和时超的二阶脉冲微分方程解的存在性.
【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(035)003
【总页数】3页(P497-499)
【关键词】脉冲方程;时滞;时超;不动点
【作者】蹇玲玲
【作者单位】青岛理工大学琴岛学院,山东青岛 266106
【正文语种】中文
【中图分类】O175
目前，关于有限区间上二阶脉冲微分方程系统的边值问题的研究较多，在解的存在性方面所用的方法主要是单调迭代法和不动点方法。

文献给[1]用单调迭代法和不动点方法系统介绍了一阶和二阶脉冲微分方程解存在性情况。

文献[2]用Leray-Schauder 拓扑度理论研究了二阶脉冲周期问题解的存在性。

文献[3-4] 分别用不动点理论研究了二阶脉冲微分方程边值问题解的存在性。

本文研究了二阶脉冲微分方程的边值问题
这是带有时滞和时超的脉冲微分方程。

其中
f∈C[J×Rn×Rn,Rn],J=[0,1],0<t1<L<tk<L<tm<1,τ(t)是定义在[0,1]上的连续函
数，且
记PC[J]={u:J→Rn|u(t)在t≠tk处连续；和存在，且|u′(t)在t≠tk处连续；存在，且
令
E={u∈PC1[a,b]|αu(t)-βu′(t)=0,∀t∈[a,0];γu(t)+δu′(t)=0,∀t∈[1,b]}
其中范数定义为‖u‖=‖u‖∞+‖‖|u(t)|,则(E,‖·‖)是Banach空间。

令。

J0=[0,t1),J1=[t1,t2),…,Jm-1=[tm-1,tm),
Jm=[tm,1),J′=J\(t1,…,tm)
定义如果u∈EI C2[J′,R]满足边值问题(1), 则称u(t)为边值问题(1) 的一个解。

如果u(t)是(1) 的一个解, 则
其中
记
|G(t,s)||Gt(t,s)|ds
引理1 设E是赋范实线性空间，Ω⊂E为非空有界凸闭集为全连续算子，且
T(∂Ω)⊂则T在中有不动点。

引理2 定义算子T:E→E
Tu(t)=
则算子T全连续，且问题(1)的解等价于算子T的不动点。

令
定理1 如果且则当c1+c2<1时，问题(1)至少存在一个解。

证明对∀ε>0，由η的定义知，存在H>0，使得当|u|+|v|≥H时，有
令
|f(s,u,v)|<+∞
则
|f(s,u,v)|≤(η+ε)(|u|+|v|)+
M,∀s∈J,u,v∈E
同理可得|Ik(u)|≤(ηk+ε)|u|+Mk,∀u∈E,k=1,2,…,m|u|+|v|)+
∀u,v∈E,k=1,2,…,m
其中
所以由T的定义有
‖|G(t,s)|
[(η+ε)(|u|+|u′|)+M]ds+
|G(t,s)|ds+
‖u‖+
M′@η′‖u‖+M′
且
‖|Gt(t,s)|
[(η+ε)(|u|+|u′|)+M]ds+
‖u‖+M′@η″‖u‖+M″
因此
‖Tu‖=‖(Tu)(t)‖∞+‖(Tu)′(t)‖∞≤
η‴‖u‖+M‴,∀u∈E
其中η‴=η′+η″,M‴=M′+M″为常数。

从而当ε充分小时，有η‴<1。

取r>0,Br={u∈E|‖u‖|≤r}，易证T(Br)⊂Br，所以由T全连续及引理1和引理2知，T在Br上有不动点。

即问题(1)有解。

定理3.2 如果且则当c3+c4<1时，问题(1)至少存在一个解。

证明对∀ε>0，由ζ的定义知，存在H1> 0，使得当0≤|u|+|v|≤H1时，有
同理可得
|Ik(u)|≤(ζk+ε)|u|,0≤|u|≤H2,
∀s∈J,k=1,2,…,m
|u|+|v|),0≤|u|+
|v|≤H3,∀s∈J,k=1,2,…,m
所以由T的定义，取H=min(H1,H2,H3),则对u∈BH={u∈E|‖u‖≤H},有
‖|G(t,s)(ζ+ε)
(|u|+|u′|)ds+
(ζ+ε)(|u|+|u′||G(t,s)|ds+
‖u‖@ζ′‖u‖
且
‖|G(t,s)|(ζ+ε)
(|u|+|u′||u|+|u′|)+
‖u‖@ζ″‖u‖
因此
其中ζ‴=ζ″+ζ″，当ε充分小时，有ζ‴<1。

从而易证T(BH)⊂BH，由T全连续及引理1和引理2，T在BH上有不动点，即问题(1)有解。

【相关文献】
[1] Guo Dajun,Sun Jingxian,Liu Zhaoli.Functional Methods in Nonlinear Ordinary Differential Equations[M].Jinan:Shandong Science and Technology Press,1995.
[2] Liu Y,Yang P,Ge W.Periodic solutions of higher order delay differential
equations[J].Nonlinear Analysis,2005,63:136-152.
[3] 曹晓敏.二阶脉冲微分方程三点边值问题解的存在性[J].数学的实践与认识,2004, 34(3):148-153.
[4] 魏君,蒋达清,祖力.一维p-Laplace二阶脉冲微分方程的奇异边值问题[J].应用数学学
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