精选最新2019高考数学《导数及其应用》专题考试题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、填空题
1．曲线3
2
242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 ． 答案 520x y +-=
2．函数x x y cos 2+=在(0,)π上的单调递减区间为 ． 3．已知函数ln (),()x
f x kx
g x x
==，若不等式()()f x g x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，则实数k 的取值范围是 ．
4．已知函数f （x ）=2x 2+m 的图象与函数g （x ）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取
值范围为 ．（4分）
5．已知曲线y=x 2 （x ＞0）在点P 处切线恰好与圆C ：x 2+（y+1）2=1相切，则点P 的坐标为 （，6） ．（3分）
6．函数y ＝1
2x 2－ln x 的单调递减区间为 .
7．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0)
()(2
>-'x
x f x f x ）（0>x ，则
不等式()0f x >的解集是
8．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2
+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2
+(y+4)2
=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______。

9．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，
)
()(2
>-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2
>x f x 的解集是 ．
10．已知曲线 x
e y =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为
11．若函数()ln a f x x x =-在[1,]e 上的最小值为3
2
，则实数a 的值为 ▲ ．
二、解答题
12．已知函数()x f x e ax =+，()ln x g x e x =．（其中e 为自然对数的底数）， （1）设曲线()y f x =在1x =处的切线与直线(1)1x e y +-=垂直，求a 的值； （2）若对于任意实数x ≥0，()0f x >恒成立，试确定实数a 的取值范围；
（3）当1a =-时，是否存在实数[]01,x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．
13．已知函数||1y x =+，y =
，11()2t
y x x
-=+
(0)x >的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<． （1）求证：223a b =+；
（2）设1(,)x M ，2(,)x N 是函数3
2
()f x x ax bx c =+++的两个极值点． ①若122
||3
x x -=，求函数()f x 的解析式； ②求||M N -的取值范围． 20. 14．设3=x
是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点.
（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间； （Ⅱ）设0>a ，()x
e a x g ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－
x ,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－
3＝0，即得b ＝－3－2a ，
则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3
－x
＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－
x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－
x .
令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则
在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －
1>0，f (3)＝a ＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又225()()4
x g x a e =+在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋4
25，（a 2＋4
25）e 4]，
由于（a 2＋4
25）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝（2
1-a ）2≥0，所以只须仅须
（a 2＋4
25）－（a ＋6）<1且a >0，解得0<a <2
3.
故a 的取值范围是（0，2
3）.
15．已知函数()()||20,1x x
f x a a a a
=+
>≠，
（1）若1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围； （2）记函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，若()g x 的最值与a 无关，求a 的取值范围． 关键字：含绝对值；指数函数；有解问题；数形结合；求参数的取值范围；求函数的最值；分类讨论
16．确定常数b 和c 的值，使得抛物线2
y x bx c =++与直线2y x =在2x =处相切。

17．设函数()(0)kx
f x xe k =≠
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.
解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查
综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）()()()()'
'1,01,00kx f
x kx e f f =+==,
曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）由()()'
10kx f
x kx e =+=，得()1
0x k k
=-
≠， 若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-
⎪⎝
⎭
时，()'
0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫
∈-
+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 若0k <，则当1,x k ⎛
⎫∈-∞-
⎪⎝
⎭
时，()'
0f x >，函数()f x 单调递增， 当1,,x k ⎛⎫
∈-
+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当1
1k
-
≤-，
即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当1
1k
-
≥， 即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增，
综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1-.
18．已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1。

（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；
（Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。

19．设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数()sin cos 1f x x x x =-++求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值
.
,,,()1().
4
3()0()422
()x x x x x x x x π
πππ
π=++=+===解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2,知f 令f ，从面sin ，或，
当变化时，f ，f(x)变化情况如下表：
322
3332
222
ππππππ
πππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（
，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=
【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.
20．已知*,N n m ∈且n m <<1，试用导数证明不等式：m
n n m )1()1(+>+．
21．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值． [解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .
∵x ＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f ′(x )＝0的根，即有
又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，
此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .
∴f ′(x )＝32x 2－3
2.
令f ′(x )＝0，得x ＝±1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值1；当x ＝1时，函数有极小值－1 22． （本小题满分16分）已知函数(),()ln x
x
f x e ax
g x e x =+=
（1）设曲线()y f x =在1x =处的切线与直线(1)1x e y +-=垂直，求a 的值 （2）若对任意实数0,()0x f x ≥>恒成立，确定实数a 的取值范围
（3）当1a =-时，是否存在实数0[1,]x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，说明理由
23．已知()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，其中e 是自然常数，.a R ∈ (1)当1a =时，求()f x 的单调性和极值； (2)若()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
24．已知函数()(0ln x f x ax x x
=->且x ≠1)．
(1)若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；
(2)若212,[e,e ]x x ∃∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围．
25．已知函数3
2
()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.
26．已知x x b ax x f ln 42)(+-=在3
1
1==x x 与处都取得极值． （1）求a 、b 的值；
（2）若对],1
[e e
x ∈时，c x f ≥)(恒成立，求实数c 的取值范围．
27．（1）求f （x ）=x 3﹣x 2+1在点（1，1）处的切线方程 （2）求f （x ）=x 3﹣x 2+1过点（1，1）的切线方程．（15分）
28．已知函数)(,4)(2
3
R x bx ax x x f ∈+++=在2x =处取得极小值． （Ⅰ）若函数)(x f 的极小值是4-，求)(x f ；
（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值不小于6-，问：是否存在实数k ，使得函数)(x f 在
[],3k k +上单调递减.若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.
29．已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．
（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程； （2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；
（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．(本小题满分16分)
答案: (本小题满分16分)
解：（1）因为点P (1，－1)在曲线y ＝f (x )上，所以－m ＝－1，解得m ＝1．
因为f ′(x )＝1
x －1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y ＝－1．…………………………………3分 （2）因为f ′(x )＝1
x －m ＝1－mx x ．
①当m ≤0时， x ∈(1，e)， f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，e )上单调递增，则f (x ) max ＝f (e )＝1－me ．
②当1m ≥e ，即0＜m ≤1
e 时，x ∈(1，e)，
f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，e )上单调递增，则f (x )max ＝ f
(e )
＝
1
－
me ． ………………………………………5分 ③当1＜1m ＜e ，即1e ＜m ＜1时，函数f (x )在 (1，1m )上单调递增，在(1
m ，e )上单调递减， 则
f
(x )
max
＝f (
1m
)＝－ln m －
1． ………………………………………7分
④当1
m ≤1，即m ≥1时，x ∈(1，e)， f ′(x )＜0，函数f (x )在(1，e )上单调递减，则f (x ) max ＝f (1)＝－m ．
………………………………………9分 综上，①当m ≤1
e 时，
f (x )max ＝1－me ； ②当1
e ＜m ＜1时，
f (x )max ＝－ln m －1；
③当m ≥1时，f (x )max ＝－m ． ………………………………………10分
（3）不妨设x 1＞x 2＞0．因为f (x 1)＝f (x 2)＝0，所以ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0，
可得ln x 1＋ln x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝m (x 1－x 2)．
要证明x 1x 2＞e 2，即证明ln x 1＋ln x 2＞2，也就是m (x 1＋x 2)＞2．
因为m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以即证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)
x 1＋x 2．
………………………………………12分 令x 1
x 2
＝t ，则t ＞1，于是ln t ＞2(t －1)t ＋1．
令ϕ(t )＝ln t －2(t －1)t ＋1（t ＞1），则ϕ ′(t )＝1t －4
(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2
＞0．
故函数ϕ(t )在（1，＋∞）上是增函数，所以ϕ(t )＞ϕ(1)＝0，即ln t ＞2(t －1)
t ＋1成立．
所
以
原
不
等
式
成
立． ………………………………………16分 30．已知函数2
()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'
()f x ≤()f x 。

（Ⅰ）证明：当0x ≥时，2
()()f x x c ≤+；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式2
2
()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值。