2017-2018学年高二数学人教A版必修5课件：2-3-2 等差

探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一等差数列前n项和的性质应用 【例1】 (1)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和 与奇数项和之比为32∶27,则公差d= . (2)一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,则其前 110项之和为 .
探究一
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探究三
思维辨析
������奇 + ������偶 = 354, 解析: (1)由 ������偶 = 27 , ������ 奇
10×9
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思维辨析
变式训练1 (1)等差数列{an}前n项的和为30,前2n项的和为100, 则它的前3n项的和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 (2)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数 项的和为150,则n的值为 . 解析:(1)∵数列{an}为等差数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列. ∴Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn), ∴30+(S3n-100)=2(100-30),解得S3n=210. (2)∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,∴a中=15. 又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15, ∴n=10. 答案:(1)C (2)10
32
解得
������偶 = 192, ������奇 = 162.
∵S偶-S奇=6d,∴d=5.
(2)易得数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列. 设其公差为D,则前10项的和为
10S10+ 2 · D=S100=10,解得 D=-22, ∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120. ∴S110=-120+S100=-110. 答案:(1)5 (2)110
9+17 ������ ������
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解法三 ∵S17=S9,
∴a10+a11+…+a17=0. ∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0. ∵a1=25>0, ∴当 n≤13 时,an>0;当 n≥14 时,an<0. ∴S13 最大.
解法四 由解法一得 d=-2. 由 ������������ = 25-2(������-1) ≥ 0, 得 1 ������������ +1 = 25-2������ ≤ 0, ������ ≥ 12 2 . ������ ≤ 13 2 ,
(3)设{an},{bn}均为等差数列,An 为数列{an}的前 n 项和,Bn 为数列{bn} 的前
������������ n 项和,则������ ������
= ������
������2������-1
2������-1
.
������ ������
������ (4)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,则 ������ 仍为等差数列,且公差为2.
做一做1 (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数 项之和为30,则其公差为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则 S6= . 解析:(1)设公差为d,由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3. (2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列, ∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15. 答案:(1)C (2)15
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探究二求等差数列前n项和的最值 【例2】 导学号20600047等差数列{an}中,Sn为前n项和,且 a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大? 分析解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化 为Sn的二次函数求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点,再求 解.
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的 画“×”. (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Snn是等差数列.( ) (2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) (3)若a1>0,d<0,则非零等差数列中所有正项之和最大.( ) (4)在等差数列中,Sn是其前n项和,则有S2n-1=(2n-1)an.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些 项相加即得{Sn}的最小值. (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些 项相加即得{Sn}的最大值. 特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn} 的最大值. 做一做2 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值 为 . 解析:Sn=n2-48n=(n-24)2-576. ∵n∈N*,∴当n=24时,Sn有最小值-576. 答案:-576
第2课时 等差数列前n项和的性 质与应用
学 习 目 标 1.掌握等差数列前 n 项和的 性质及其应用. 2.会求等差数列前 n 项和的 最值. 3.会求等差数列各项绝对值 的和.
思 维 脉 络
1.等差数列前n项和的性质 (1)设等差数列{an},Sn为其前n项和,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍构成等差 数列,且公差为k2d. (2)设等差数列{an}. 若项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),且S偶-S奇 =nd;若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶 =an,S偶∶S奇=(n-1)∶n.
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思维辨析
解法一 ∵a1=25,S17=S9,
17×16 9×8 ∴17a1+ 2 d=9a1+ 2 d,
解得 d=-2.
∴Sn=25n+
������(������-1) · (-2)=-n2+26n 2
=-(n-13)2+169. 故前 13 项之和最大,最大值是 169. 解法二 Sn=2n2+ ������1 - 2 n(d<0), Sn 的图象是最大.