评价决策单元DEA有效的两阶段法

评价决策单元DEA有效的两阶段法
任民;王烈
【摘要】传统的DEA模型评价决策单元相对有效性,将决策单元分为有效和非有效两大类,不仅无法对决策单元有效性进行排序,而且也无法获得与决策单元有关的管理信息.本文提出评价决策单元DEA有效的两阶段法,不仅解决了对所有决策单元的排序问题,而且对非DEA有效的决策单元解决了如何调整投入产出水平使之达到相对有效的有关管理决策信息.
【期刊名称】《预测》
【年(卷),期】2003(022)006
【总页数】3页(P75-77)
【关键词】数据包络分析(DEA);决策单元;评价指数
【作者】任民;王烈
【作者单位】铁道部,经济规划研究院,北京,100038;铁道部,科学研究院,北
京,100044
【正文语种】中文
【中图分类】经济财政
V01.22, No.6预测FORECASTING 2003 年第 6 期评价决策单元 DEA 有效的两阶段法任民，王烈（
1 ．铁道部经济规划研究院，北京 100038 ：
2 ．铁道部科学研究院，北京 100044 ）摘要：传统的 DEA 模型评价决策单元相对有效性，将决策单元分为有效和非有效两大类，不仅无法对决策单元有效性进行排序，而且也无法获得与决策单元有关的管理信息。

本文提出评价决策单元 DEA 有效的两阶段法，不仅解决了对所有决策单元的排序问题，而且对非 DFA 有效的决策单元解决了如何调整投入产出水平使之达到相对有效的有关管理决策信息。

关键词：数据包络分析(DEA) ；决策单元；评价指数中图分类号： 0934文献标识码： A文章编号：1003-5192(2003)06-0075-0
3 TheTwo-stageMethodof EvaluatingtheRelativeEfficiencyof DMUs REN Mint,WANGI.ie2 (1.Economicand PlanningResearchInstitute ofthe MinistryofRailway, Beijing100038, C7zina ;
2.TheChinaAcademyofRailwayScience,13eijing100044,China)
Abstract:Traditional DEAmodels evaluating the relativeefficiencyof DMUsclassifyDMUsinto twoclassesof the effi ciency andthe inefficiency. In most of the cases,thetsemethodsdo notrank DMUs,andcan'tgetthe relevantman agementinformation with DMUs. In the
article,anewmethodevaluating the relativeefficiencyofDMUsisproposed Not only canthe methc)d solve ranking DMUs,but also itcangetthe relevant managementinformation withDMUs Key words:dataenvelopmentanalysis; decision makingunits;evaluation index 1 引言数据包络分析(DataEnvelopmentAnalysis， DEA)[1]方法是运用数学工具评价经济系统生产前沿面有效性的非参数方法。

1978 年由著名运筹学家查恩斯 ( Charnes) 、库伯 (Cooper) 及罗兹 ( Rhodes) 提出，被称为 C2R 模型。

从生产函数角度看，这一模型是用来研究具有多项投人，特别是具有多个产出时衡量规模有效和技术有效较为方便的方法和手段。

但是 DEA 方法也存在缺陷，由于这种
方法将大量决策单元分为有效和非有效两大类，在用这种方法进行有效性分析时容易出现大量的、甚至全部决策单元都为有效的情形。

文献[2]通过引入理想决策单元提出了一种评价决策单元有效性排序的 DEA 新方法，但该方法仅解决了决策单元之间的排序问题，却未能获得当决策单元非DEA有效时，如何调整投入产出水平使之达到 DEA有效的问题。

因为仅以引入的理想决策单元为标准调
整其它现有决策单元的投入水平是不切收稿日期： 2003-07-17合实际的。

然
而从管理的角度看，如何将现有非有效的决策单元的投入产出调整到合理水平使之达到 DEA有效却是评价决策单元相对有效性问题的核心。

故本文在文献[2]的
基础上提出评价决策单元 DEA有效的两阶段法。

2评价决策单元 DEA 有效的两
阶段法假设现有 N 个决策单元（部门或单位），每个决策单元都有 M 种类型的投入（即 M 种资源的消耗）以及 S 种类型的产出（即 S 种产品），分别用向量 X,=(xlj,X2j ，…，l^mj)T 、 Yj=(Yij,Y2j ，… y。

)T 表示，其中 Xij 表
示第j 个决策单元对第 i 种资源的消耗量（投入量），Yrj 表示第j 个决策单元
对第 r种类型产出的输出总量。

第 1 阶段：对 n 个决策单元的每项投入要素 i ，令Ii,n+l=rriiri(.Tli,1^2i, … ,Tni)(i=1,2, … s)，对每项产出是，令 yk ，。

+I-max （ ylk ， y2k ，… Ynk）（ k-l， 2 ，… ， s ），即构造一个第 n+l的理想决策单元。

解如下的数学规划模型· 75 ·预测 FORECASTING任民王烈（1．铁道部经济规划研究院，北京 100038 ： 2 ．铁道部科学研究院，北京 100044 ）摘要：传统的 DEA模型评价决策单元相对有效性，将决策单元分为有效和非有效两大类，不仅无法对决策单元有效性进行排序，而且也无法获得与决策单
元有关的管理信息。

本文提出评价决策单元 DEA 有效的两阶段法，不仅解决了对所有决策单元的排序问题，而且对非 DFA 有效的决策单元解决了如何调整
投入产出水平使之达到相对有效的有关管理决策信息。

The Two-stage Methodof EvaluatingtheRelativeEfficiencyof DMUs Mint,WANGI.ie2 (1.
Economic and PlanningResearchInstitute ofthe MinistryofRailway,
Beijing100038, 2.TheChinaAcademyofRailwayScience,13eijing100044,China) Abstract:Traditional DEAmodels evaluating the relativeefficiencyof DMUsclassifyDMUsinto twoclassesof the effi ciency andthe inefficiency. In most of the cases,thetsemethodsdo notrank DMUs,andcan'tgetthe relevantman agementinformation with DMUs. In the
article,anewmethodevaluating the relativeefficiencyofDMUsisproposed only canthe methc)d solve ranking DMUs,but also itcangetthe relevant managementinformation withDMUs words:dataenvelopmentanalysis; decision makingunits;evaluation index 1引言数据包络分析(DataEnvelopmentAnalysis， DEA)[1]方法是运用数学工具评价经济系统生产前沿面有效性的非参数方法。

1978 年由著名运筹学 Rhodes) 提出，被称为
C2R 模型。

从生产函数角度看，这一模型是用来研究具有多项投人，特别是具有多个产出时衡量规模有效和技术有效较为方便的方法和手段。

但是 DEA 方法也存在缺陷，由于这种方法将大量决策单元分为有效和非有效两大类，在用这种方法进行有效性分析时容易出现大量的、甚至全部决策单元都为有效的情形。

文献 [2]通过引入理想决策单元提出了一种评价决策单元有效性排序的 DEA 新方法，但该方法仅解决了决策单元之间的排序问题，却未能获得当决策单元非有效的问题。

因为仅以引入的理想决策单元为标准调整其它现有决策单元的投入水平是不切评价决策单元 DEA 有效的两阶段法假设现有 N 个决策单元（部门或单位），每个决策单元都有 M 种类型的投入（即 M 种资源的消耗）以及 S 种类型的产出（即 S 种产品），分别用向量 X,=(xlj,X2j ，… y。

)T 表示，其中Xij 表示第j 个决策单元对第 i 种资源的消耗量（投入量），Yrj 表示第j 个决策单元对第 r第阶段：对 n 个决策单元的每项投入要素 i，令
Ii,n+l=rriiri(.Tli,1^2i, … ,Tni)(i=1,2, …，对每项产出是，令 yk ，。

+I-max （ ylk ， y2k ，…2…s）即构造一个第n+l·75Vol.22,No.6 预 min[0-e(Fr.s- 十
2s+)]=VD(e) lJ=1'ijAj+.in+lA.+l+S-,=,xo i =1,2 ，….m s.t.薹；.kjAj
+Ykn+lA”+-- Sk=Yok =1,2 ，… ,sj=l Aj>0,j =1,2 ，… ,n,n+1s- =(Sl,S2,---
,Sm 》O,s+=(s:,s~,---,s:》0(1) 其中ZT=(1 ，1 ，…1)∈E 。

，，彩 T=(1 ，
1 ，…，1)∈E ，，e是非阿基米德无穷小量（在实数范围内大于零小于任何正数的量）。

在这个 DEA 模型 (1) 中，由于第n+l个理想决策单元的投入产出
是取已知的起个决策单元中每项投入的最小值和每项产出的最大值得到的，所以必定是最有效的[2] ，它的效率指数臼。

+l 必为 1 ，而其余决策单元可按其
对应的效率指数大小予以排序。

但此时如果以第 "+1 个决策单元为标准调整
其余决策单元投入水平，使之变得相对有效没有任何实际意义。

为此，为获得
有关其余决策单元如何有效的管理信息，转入第 2 阶段。

第 2 阶段：按以下
步骤进行： (1)在解数学规划模型 (1)获得各决策单元评价指数后，将第咒 +1 个的理想决策单元从评价中去掉，其余” 个决策单元的评价指数值分别为 01 ，02 ，…，口。

，设 Oi=max{01，02 ，…吼}，即在这扎个决策单元中，第 i 个决策单元是相对最有效的。

(2) 以臼，为标准，对这” 个决策单元的评价指数
进行标准化，即令舀．= 鲁，否： = 鲁，… ， Oi= ￡，… ，砖 = 鲁，此时，第i 个决策单元的评价指数变为，其余决策单元的评价指数均小于或等于1 。

(3)用各个易分别代替数学规划模型 (1) 中的 p，解与模型 (1)相对应的如下数学规划min[B-e(gTS-+ 眙 +)]=VD(e) z=0zlo i=l ，2，… ， n i ： =YOk=l ，2，… ，5 ¨，i=j=l ，2，… ， n，未0 i, … ,s 二）≥0,s+=(s},5;, … ,s;) ≥0 (17) 注意，
此时上述规划中的 Oj 为常数。

若第j· 7
6 ．个0代入规划 ( 1') 解得s?=(sf,sf, … ,s 二 );s?+==(sf,s手，… ,s?)则相对于
第 i 个决策单元，将第 j 个决策单元的投入调整到 ^ ，、r OJ=Orro ，一s?水
平上，并使产出相应提高到 Yoj=Yoj+s0'水平，生产运营就会步人增长阶段。

这样，我们不仅获得了有关” 个已知决策单元有效性排序结果，而且获得了在现存决策单元中有关他们如何变得有效的管理决策信息。

3使用方法举例为了使本方法的意义更加明确，我们仍然用文献[2]中的例子予以说明。

例有 4 个决策单元，6 个输入指标和 4 个输出指标。

相应的输入和输出数据由表 1 给出。

表l 输入、输出数据┏ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃ ┃输出（ 4 个：┃ ┃输入（ 6 个）┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ┳ ━ ━ ┫ ┃ ┃ Yi┃ Y2 y3 y4 Irl Z2 13 14 ZE』6┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ╋ ━ ━ ┫ ┃决策单元 1500 40 28850310 50660L._ 11决策单元 21000 Il决策单元 3700 41500450 10013005.0 10决策单元42.2┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ┻ ━ ━ ┛首先用 DEA传统的 C2R 模型进行评价。

可得 4 个决策单元的有效值都为 1 ，即 4 个决策单元都是 DEA有效的。

但是我们直观可以看出，明显地决策单元 1 优于决策单元 2 （输出相同输入不同）；决策单元 4 优于决策单元 2 （输入相同输出不同）。

但是，传统 DEA 模型却将它们全部计算为有效，说明传统 DEA 模型在评价时存在缺陷，不仅无法对决策单元排序，而且难以获得更多的管理信息。

为此，应用本文介绍的两阶段法，引入理想决策单元 5 ，其中理想决策单元 5 的投入为已知 4 个决策单元各项投入的最小者，即
X5=(850 ， 310 ，50，660 ，2.2 ，10)；输出为已知 4 个决策单元各项输出最大者，即 Y5=(700 ，50 ，4 ，40) 。

将 4 个决策单元连同理想决策单元 5 的投入、输出指标代人数学规划模型 (1) ，解得各决策单元的排序效率指数及排序结果如表 2 所示。

Vol. 22, min[0-e(Fr.s- 十 2s+)]=VD(e) l J=1'ijAj
+.in+lA.+l+S-,=,xo i = 1,2，….m s.t.薹；.kjAj +Ykn+lA”+- - Sk = Yo k
=，… ,s j=l Aj>0, j =，… ,n,n +1 s- (Sl ,S2 ,---,Sm》 O,s+=(s:,s~,---,s: 0其中ZT=(1 ，1 ，…1)∈E ，， e是非阿基米德无穷小量（在实数范围内大于零小于任何正数的量）。

在这个 DEA 模型 (1) 中，由于个决策单元中每项投入的最
小值和每项产出的最大值得到的，所以必定是最有效的[2] ，它的效率指数臼。

+l 必为 1 ，而其余决策单元可按其对应的效率指数大小予以排序。

但此时如果
以第 "+1 个决策单元为标准调整其余决策单元投入水平，使之变得相对有效没有任何实际意义。

为此，为获得有关其余决策单元如何有效的管理信息，转入第
2 阶段。

阶段：按以下步骤进行：价指数后，将第咒 +1 个的理想决策单元从评价中去掉，其余” 个决策单元的评价指数值分别为 01 ， 02 ，…口，设
Oi=max{01，02 ，…决策单元中，第 i 个决策单元是相对最有效的。

(2) 以臼，为标准，对这” 个决策单元的评价指否=鲁Oi=￡，砖 =，此时，第 i 个决策单元的评价指数变为 p，解与模型 (1)相对应的如下数学规划 min[B-e(gTS-+ 眙+)]=VD(e) i=l，2，…n： = YO k=l，5¨，i= i,,s二≥0,s+=(s},5;, … ,s;) ≥0 (1 7)
注意，此时上述规划中的 Oj 为常数。

若第j76代入规划 ( 1') 解得
s?=(sf,sf, … ,s 二 ); s?+==(sf,s ^、 r OJ=Orro ，一水平，生产运营就会步人增
长阶段。

这样，我们不仅获得了有关” 个已知决策单元有效性排序结果，而
且获得了在现存决策单元中有关他们如何变得有效的管理决策信息。

3例有4个
决策单元，6 个输入指标和 4 个输表l输入、输出数据┏━┳┓输出（个：┣╋┫┗┻┛
得个决策单元的有效值都为 1 ，即 4 个决策单元地决策单元 1 优于决策单元 2 （输出相同输入不同）；决策单元 4 优于决策单元 2 （输入相同输出不同）有效，说明传统 DEA 模型在评价时存在缺陷，不仅无法对决策单元排序，而
且难以获得更多的管理信息。

为此，应用本文介绍的两阶段法，引入理想决策
单元 5 ，其中理想决策单元 5 的投入为已知 4 个决策单元各项投入的最小者，即 X5=(850 ， 310 ， 50，660 ，2.2 ，10)；输出为已知 4 个决策单元各项输
出最大者，即 Y5=(700 ，50 ，4 ，40) 。

将 4 个决策单元连同理想决策单元 5 的投入、输出指标代人数学规划模型 (1) ，解得各决策单元的排序效率指数及排
序结果如表 2 所示。

民，等：评价决策单元 DEA 有效的两阶段法表 2 各决策单元的排序效率指数及排序结果┏ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃ ┃口 l 02 03 04仃5（理想决策单元）┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃效率指数
0.7150.65290.55300.9125 1.000排序结果┃ ┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛表 2 已经获得了各决策单元的排序结果。

为获得更多的管理信息，去掉理想决策单元 5 ，对其余 4个决策单元取其中的最大效率指标 0.9125 ，每个决策单元的效率指标均除以 0.9125 得否
l=0.9125=0.7837, 02=0.7155,臼 3=0.606, 臼 4=1显然，在现存的决策单元中，决策单元 4 是最有效的。

分别将Oi(i=1 ，2 ，3) 代人数学规划 (1')并解之。

如用日 2=0.7155代替数学规划 (1')中的Oi ，解之得
S2=(So,S2, … ,s2)=(0,0,0.0434,0,0.0271,0) s≠
=(s2+,s2+, … ,52)=(0,0,0,0.568452) 则当决策单元 2 的投入要素调整到rOi=
02r02-S2=(715.5,221.8,35.76,472,1.57,7.9)水平上，产出相应提高到
^Y02=Y02+s ≠=(500,40 ,2,28.568452)水平，生产经营就步人了增长阶段。

同理，可计算决策单元 1 和决策单元 3 当投入要素分别调整到
rOt=(666.1,242.9,39.2,517.2,1.7,8.62)r03=(909,272.7,60.6,787.8,3.03 ,6.06)
水平，产出分别提高到 Yoi=(500,40,2,28)y03=(700,50,4,40) 水平时，生产经
营就步人了增长阶段。

4结论从上例可以看出，利用本文提出的评价决策单元DEA 有效的两阶段法，不仅可对每个决策单元相对有效性进行排序，而且可获
得如何使现存决策单元中每个决策单元有效的有关管理决策信息，克服了传统DEA模型的不足。

参考文献：[1]魏权龄，评价相对有效性的 DEA 方法一运
筹学的新领域[M] ．北京：中国人民大学出版社，1988.7-33．[2]李果，沈晓勇，王应明．对决策单元进行排序的一种方法[J]．预测，2000 ，19(4)：51-5 3 ．（上接 55 页）合作的战略联盟理念的实施奠定了基础，提供了手段，其
进一步的深入研究和系统的开发实现将极大地促进企业核心竞争力的提升。

参考
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Systems,2001Proceedings, Sth InternationalSymposiumon,IEEE,2001.271-277.· 77 ·各决策单元的排序效率指数及排序结果仃5（理想决策单元）0. 715 9125 1. 000已经获得了各决策单元的排序结果。

为个决策单元取其中的最大效
率指标 0.9125 ，每个决策单元的效率指标均除以 0.9125 得l= 0.9125=0.7837, 02=0.7155,臼 3=0.606, 臼 4=1分别将Oi(i=1 ，2 ，3) 代人数学规划 (1')并解之。

如用日 2= 0.7155之得S2 =(So,S2, … ,s2)=(0,0,0.0434,0,0.0271,0) s≠
=(s2+,s2+, … ,52)=(0,0,0,0.568452)则当决策单元 2 的投入要素调整到 rOi=
02r02 S2=(715.5,221.8,35.76,472,1.57,7.9) Y02=
Y02+s≠=(500 ,40 ,2,28.568452)水平，生产经营就步人了增长阶段。

同理，可
计算决策单元 1 和决策单元 3 当投入要素分别调整到
rOt=(666.1,242.9,39.2,517.2,1.7,8.62) r03=(909,272.7,60.6,787.8,3.03 ,6.06)
水平，产出分别提高到 Yoi=(500,40,2,28)y03=(700,50,4,40)水平时，生产经营就步人了增长阶段。

元有效的两阶段法，不仅可对每个决策单元相对有效性进行排序，而且可获得如何使现存决策单元中每个决策单元有效的有关管理决策信息，克服了传统 DEA参考文献： [1]魏权龄，评价相对有效性的 DEA 方法一运筹学
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53 ．上接 55 页）合作的战略联盟理念的实施奠定了基础，提供了手 [1]徐福缘，何静．多功能开放型企业供需网初探 [J]．预 [3] 黄京华，赵纯均，马晖．Agent 在电子商务环境下的供应链中的应用研究[J].管理科学学报，2001 ，4(5):58- 64． [4] FoxMS,BarbuceanuM.Agent-orientedsupply-chain management[Jl.TheInternationalJournalof Flexible ManufacturingSystems,2000,12:165-188.
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[9] BlakeMB.Rule-drivencoordination agents:aself-con- figurableagentarchitecture for distributed control[C]. Autonomous Decentralized Systems,2001Proceedings, Sth InternationalSymposiumon,IEEE,2001.271-277.77
【文献来源】https:///academic-journal-
cn_forecasting_thesis/0201243606457.html
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3.超效率DEA的两阶段法及其在服务业评价中的应用 [J], 张晓林，王磊
4.基于DEA-Tobit两阶段法的社区卫生服务中心技术效率评价与影响因素分析 [J], 张瑶，郭亚楠，张航，杨立成，赵临，王耀刚
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紫锐，殷丽梅，张旻旻，秦颖。