Hertz点接触参数的工程计算方法

ISSN1000 -3762 轴承 2018年9期
CN41 -1148/TH Bearing2018, No. 94-6,15
DOI： 10.19533/j. issnl000 - 3762.2018.09.002
Hertz点接触参数的工程计算方法
杨咸启1荣超2邹星波2
(1.黄山学院，安徽黄山242700;.安徽日飞轴承有限公司，安徽铜陵244000)
摘要:针对Hertz型点接触参数理论计算复杂的问题，通过理论分析和数值拟合，给出了点接触曲率函数与接触
椭圆率的关系。

利用接触曲率比函数直接计算出接触椭圆率，不需要查表和插值计算接触椭圆率的过程，使接
触计算变得相对简化。

最后以深沟球轴承为例进行了实例分析，结果表明，3种点接触参数近似计算方法的结
果接近。

关键词:滚动轴承;Hertz点接触;接触参数;理论计算;近似计算
中图分类号:TH133.33;O313.7 文献标志码：B 文章编号：1000 -3762(2018)09 -0004 -03 Engineering Calculation Metliods for Hertzian Point Contact Parameters
YANG Xianqi1,RONG Chao2,ZOU Xingbo2
(1. Huangshan University , Huangshan 242700 , China; 2 Anhui Rifei Bearing Co. Ltd. , Tongling 244000 , China)
Abstract ：Aiming a t complex theoretical calculation of Hertzian point contact parameters，the relationship between
point contact curvature f unction and contact ellipticity is given through theoretical analysis and numerical fitting. The
contact ellipticity is calculated directly by using contact curvature ratio function，and not required by table look - up
and interpolation calculation，which makes the contact calculation more simplified. Finally，a deep groove ball bearing
is taken as an example for analysis. The results obtained from three kinds of approximate calculation contact parameters are close.
Key words：rolling bearing; Hertzian point contact; contact parameter; theoretical calculation; approximate
calculation
在球轴承零件受力分析时，需考虑2个零件的 相互接触力，该接触力通常为Hertz点接触应力分 布。

Hertz点接触是指在空载状态下2个物体初始 接触为一个点的二次光滑曲面的接触。

在计算接 触力的大小时首先要利用接触表面的曲率系数，再 计算椭圆积分函数，但该计算过程相对复杂[1_4]。

鉴于此，给出了近似的Hertz点接触参数的近似计 算方法，从而方便分析接触应力分布情况。

1Hertz点接触参数理论计算方法一般Hertz点接触模型和接触区域如图1所 示。

分析接触应力时需要计算的接触参数有:接触
收稿日期：017 -08 -29;修回日期:2017 - 12 -26
作者简介:杨咸启（157—），男，安徽枞阳人，教授，主要从 事机械工程设计、轴承理论、摩擦学等方面的研究，E - mail: yang_xianqi@ 163. com。

区域椭圆长、短半轴和2个接触体的弹性趋近量。

Fig. 1 Hertzian point contact model
利用弹性力学接触理论，可以得到点接触区 域上的表面压应力分布为[]
心，)l a x槡1 - {i f -⑴，⑴
^m a x' 2n a b，
式中1，分别为接触区域椭圆长、短半轴;0为法
向接触载荷。

杨咸启，等:Hertz点接触参数的工程计算方法
假设相互接触的轴承零件材料均为G&15,其 弹性模量£= 207 GPa，泊松比v = 0. 3，则接触椭 圆长、短半轴分别简化为
a= 0.023 63 3
0.023 63 31
1
Q\13
I p)
Q\13
I p)
⑵
⑶
3*=[
2F⑶）] n(1 -e2)]
e =槡1 - (3/3)2 ，
I±1±1±1±1
L p= r7i+ r^2+ r7i+ r^2，
式中:F⑶），E⑶）分别为第一、二类完全椭圆积 分；为接触椭圆率；I p为曲率和函数;对于凸面 ±取+，对于凹面±取-;/?…，心2分别为接触体 1，在第I主曲面内接触点的曲率半径;R ni，R n2分别为接触体1，在第n主曲率面内接触点的曲 率半径。

2个接触体的弹性接触趋近量为
S= 2.791 x 10'4S* ⑶?2!p)1/3,⑶）
只*= 2F(()[n(1 -e2)]13
_ n i2E(e)J。

为了计算接触区域参数，需要采用曲率比函 数，即
F(p)=P I1 -n1 +P I2 -n2，(5)
I
式中:P I1P I2分别为接触体1，在第I主曲面内 接触点的主曲率;P m，n2分别为接触体1，在第 n主曲率面内接触点的曲率。

曲率比函数又可表示为
F（ )12(1 - e2)F(e)- E(e)
^e E⑶)^(6）当已知接触表面的主曲率后，首先计算出F()，再 定出接触椭圆率e。

进一步计算出第一、二类完全 椭圆积分F⑶），E⑶）及3*，/*，*，但该计算过程 复杂。

实际工程问题计算中是给定参数e计算出 F(e，E(e)，将计算结果制成图表。

利用图表直接 查找和插补方法来进行快速近似计算。

2点接触参数近似计算方法
由于理论计算方法过程复杂，主要步骤是确 定接触椭圆偏心率及椭圆积分，再通过(2)〜（4)式确定接触参数3，3，，最终得到接触应力分布情 况。

下面介绍3种接触椭圆率及椭圆积分的近似 计算方法。

将接触区域的主曲率面设为坐标面，第I主 曲率面内包含y轴方向（接触椭圆短轴方向），第 n主曲率面内包含*轴方向（接触椭圆长轴方
向）。

将接触点处的综合曲率表示为
= px! + pX2，⑶VRy= p7i + p72，()
Px l—P ni，x2=P n2，j1=p I 1J p y l—p I2 ，式中：R，Ry为接触体表面的综合曲率半径参数P,，P,，Py，Py为接触体的主曲率面内接触点的曲率。

由（5)式可得曲率比函数为
F⑶=|^R;0 矣F⑶矣 1，（9)
+ M y
显然，这里要求R>R y。

2.1第1种近似计算方法
根据文献[4]，接触椭圆半轴比值和椭圆积分
的近似计算方法为
1.033 9彡1
)
k(0)
1 —k*1-1/[1.003 9(
R)]
(11 F(e-1.527 7 -f0.602 31n(
:R)，
y(2) E(e-1.000 3 ■0.596 8(13)
1R/R y。

通过（1)〜（3)式可得到接触椭圆率及椭圆 积分。

在上面的计算过程中，需要注意接触区域 的长轴和短轴与坐标轴之间的位置对应关系。

2.2第2种近似计算方法
文献[5-6]给出了接触椭圆率e的一种近似 计算方法，即
ln(+)0.496 51
n[—1] -0.435；F(p) ^0.065
F(
0.224[1n F-1]I'4〇7；F(p)>0.065
F(
，（4)通过（4)式计算出e后，再对椭圆积分进行近似 计算，即
F(e)* 1.386 294 4 + 0. 111 972 3(1 - e2)+
0.072 529 6(1 - e2)2 -
[0.5 +0. 121 347 8(1 - e2)+
0.028 872 9(1 - e2)2]ln(1 - e2)，（15
)
《轴承》2018. No.9• 6 •
E(e)- 1.0 + 0.463 015 1(1 - e2)+
0. 107 781 2(1 - e2)2 -
[0.245 272 7(1 - e2)+
0.04 1 249 6(1 - e2)2]ln(1 - e2),(1 6)
通过（14)〜（16)式可得到接触椭圆率及椭圆积
分。

利用此方法计算时需要注意0<^(0)$1，不
包括 F(p)= 0。

2.3第3种近似计算方法
(1)式计算过程还是比较复杂，且参数八（）
趋近于零时为一种不定式，需要取更多的项才能
准确计算F(e)，E(e)值。

为避免不定式计算，对
椭圆积分进行变换，即
F()= I:槡广22，
槡中
n/2_____
E(e)=丨槡1 - e2cos2<^d<^=
0槡1 - e2cos2<^0槡1-e2cos2<^
e2：,in、—di(18)
0槡1 - e2cos2<^
令
A(e)= :y Sm22dl，(19)
0槡1 - e cos c p
则
E(e)= (1 -e2)F(e)+e2A(e)。

（20)
上面各式中，e的取值范围为0<e<1，则
n/2 $F(e)，1$E(e)$n/2，n/4 $A(e)
^ 1。

由（6)式经变换可得
(1 -e2)F(e) -E(e)= 1 - F(p)= .1 + F(p)
e E(e)' 2 _ _ 2
将(20)式代入(21)式可得
A(e)
E(e)=士[1 +F(P]，(21 )
(22)
(22)式表示椭圆率与椭圆积分和曲率比函数的关 系。

利用这种曲率比函数关系，对e，F(e)，E(e)进行近似计算如下
e2= 1 -—1 -[1 - F(p))仏
1 + F(p))
(23 ）
F e)十(2W瑞]，⑶
E(e) —叫2 1)^K p，(25)通过(23)〜（25)式可得到接触椭圆率及椭圆积分。

利用此方法计算时，允许0$^(()$1。

3 实例分析
以某深沟球轴承为例，采用上节介绍的近似 方法进行接触参数计算，其中的接触模型如图2 所示。

轴承主要结构参数为:球径化=22 mm，球 组节圆直径Dp w = 12mm，内、外沟曲率半径系数 /= 0.515，/e= 0.520，接触角《=0。

Fig. 2 Contact model of deep groove ball bearing
在内圈沟道接触点处
^yi= 1/(y1 +Py2)
1= 1/(,1 +P2)
2 + 2y/( 1 - y)，
A w
2 - 1//i
112y s
=瓦(4_7m + 1-y)，
(26 ）
(27
(28
)= (\~ +. 2y),(4 -+ +. 2y)，
J i1 - Y J i1 - Y
(29 )
Y = A w cos a/D p w。

在外圈沟道接触点处
R e1Z1/P y1-+1/P y2Z w
2 - 2下/( 1 + y)，
(30)
R e^=1/P x1+ i z p A w
'2 - 1//e，
(31)
餐（万+々)/(4-万+
(32)
(33)通过(26)〜（33)式，可得足，'，（），见表1。

表1足，^，F(P)的计算结果
Tab. 1 Calculated results of Rx,Ry ,F(p)
接触点R R F(p)
内圈377.666 79.506 1720.950894
外圈286.000 012.493 8280.916287
(下转第1
页)
刘高杰,等:某铁路轴承外圈辗扩模具的优化设计与应用■ 15 ■
穿孔工序中，料芯直径约为80 mm。

模具改进 前，辗压辊直径为77 mm，为便于安装工件，其马架 扩孔内径一般比辗压辊直径大10 mm左右，马架扩 孔后内径为90 mm;模具改进后由于辗压辊直径调 整至90 mm，其马架扩孔后内径也适当调整至100 mm，辗扩后内径尺寸为210 mm。

辗扩比由2.3降 至2.1(按辗扩后内径与辗扩前内径的比值近似计
算），虽然辗扩比有所降低，但仍在合适范围内。

辗 扩比过大时，辗扩时间较长，易产生轴向毛刺;辗扩 比过小时，锻件组织粗大，壁厚差、平行差等几何精 度不易保证。

经试制加工，改进后锻件几何精度及 组织均满足产品要求。

3 应用效果
采用优化后的辗扩模具，铁路轴承外圈端面
(上接第6页）
再用上述3种近似计算方法计算e，F(e)和E ()，结果见表2。

3种近似计算的接触椭圆率e 比较接近，而第1种和第2种近似计算方法的F()，E()较接近，第3种计算方法计算过程更为简化一些。

表2 e,F(),E()的计算结果
Tab. 2 Calculated results o fe,F(e) ,E(e)
接触点近似计算方法
e F(e)E(e)
第1种
0.995 666 3.745411 1.015322
内圈第2种0.996 664 3.892047 1.011271
第3种0.995 387 3.672504 1.014367
第 1 种0.991242 3.413355 1.026371外圈第2种0.992763 3.515110 1.021730
第3种0.990 671 3.357816 1.024935
4结束语
介绍了 Hertz点接触的理论计算方法，将 Hertz点接触参数计算过程进行了近似计算。

拟
合出Hertz点接触曲率函数与接触椭圆偏心率e、椭圆积分之间的关系函数。

在接触计算工程中省毛刺折叠现象大大减少，废品率由原来的4.39%。

降低到1. 28%。

改进后的模具取得了较好的效 果，减少了废品损失和下工序生产隐患，有利于提
高轴承的使用寿命。

参考文献：
[1]贾群义.滚动轴承的设计原理与应用技术[M].西
安:西北工业大学出版社,1991.
[2]刘吉远，陈雷.铁路货车轮轴技术概论[M].北京：中
国铁道出版社,009.
[3]李爱民.轴承辗扩锻件常见缺陷的形成和预防[J].
哈尔滨轴承,2011,32(1)19 -21.
(编辑:李超强）
去了复杂的计算过程，使得接触计算变得相对简化。

最后以深沟球轴承为例进行实例分析，并对
比分析了 3种近似计算方法。

说明介绍的近似方
法是有效的。

参考文献：
[1 ]钱伟长,叶开沅.弹性力学[M ].北京:科学出版社，
1956：297 -326.
[]加林.弹性理论的接触问题[M].王君键，译.北京：科学出版社，1958:262 -265.
[3] JOHNSON K L. Contact mechanics[ M]. Cambridge U­
niversity Press, 1985.
[4] HARRIS T A，KOTZALAS M N.滚动轴承分析[M].罗
继伟，马伟,杨咸启，等译.北京:机械工业出版社,009. [5]杨咸启，刘胜荣，褚园，等.轴承接触应力计算与塑性
屈服安定[J]轴承,2015(3) : -10.
[6]杨咸启，刘胜荣,曹建华.HERTZ接触应力屈服强度
问题研究[J].机械强度，016(3) :580 -584.
(编辑:钞仲凯）
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