春季奥数2

多笔画
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第四级下一笔画游戏(二年级秋季第1讲)判断图形能否一笔画的规律第五级下多笔画游戏公式是：奇点数÷2＝笔画数，即2n÷2＝n
第七级下最短路线，行程以及加乘原理中的应用最短路线图的转换
一笔画问题是一种有名的数学游戏。

所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复。

我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点。

相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点。

1．判断图形能否一笔画的规律：
⑴能一笔画出的图形必须是连通的图形。

⑵凡是只由偶点组成的连通图形，一定可以一笔画出。

画时可以由任一偶点为起点。

最后仍回到这点。

⑶凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出。

画时必须以一个奇点为起点。

另一个奇点为终点。

⑷奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画。

2．我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画。

多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半。

事实上，对于任意的连通图来说，奇点个数必为偶数，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成。

公式是：奇点数÷2＝笔画数，即2n ÷2＝n 。

请试着将下列图形一笔画出。

例1
判断下列图形能否一笔画。

若能，请给出一种画法，若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形。

例3
(第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题(小学组))同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻的旗帜色彩不同，则贝贝至少需要_____种颜色的旗子。

如果贝贝从某营地出发，不走重复的路就_____(填“能”或“不能”)完成这项任务。

例4
下图中的两个图形均不能一笔画出，你能将原图形中的某一线段取消使之能够一笔画成吗？
例5
地上有一个六面体形状的木块(如下图)，小蚂和小蚁都打算在上面做巢，它们分别选择了六面体的顶点B和F 处，为了独占木块，它们决定进行一场比赛，赢的就可以拥有这个木块。

比赛内容是看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D。

已知它们的爬速相同，那么哪只蚂蚁能获胜？
下图中每个小正方形的边长都是100米。

小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？
测试题
1．一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。

怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？
2．(2007年秋明心奥数挑战赛)下图是某街区的示意图，各线段代表马路。

街区为正方形，边长400米，各小区都是100米×200米的长方形。

在S处的某人想找到G处的那个人，但是，由于他缺乏运动，所以，想尽量走最长的路，顺便锻炼锻炼，并且不想走重复的路。

那么，他最多可以走多少米？
3．小明假日去看画展，展览分四个展区，展览馆内外一共有六扇门，平面图如下，请问小明能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。

如果能，应从哪开始走？
4．如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？
答案
1．【解析】
图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。

在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如上图a中粗线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程23548214
⨯+⨯+⨯+⨯
=(千米)(图b画法不唯一)
46
2．【解析】
根据一笔画原理，根据图形，若要从S点出发到G点不重复的走最长的路，需要通过取消一些线段将该图形改变成仅有,S G两个奇点的图形。

观察可知原图中共14个奇点，S与G是偶点，由于,S G两点的相邻点均为奇点，那么将这14个奇点变成偶点并且将,S G两点变成奇点至少需要取消8条线段，也就是说至少有8段路不能走到。

若要使走得路程最长，那么只需找出最短的8段路共800米，去掉即可。

全街区道路共3200米。

因此他最多可以走：32008002400
-=(米)。

3．【解析】
我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右上图。

能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右上图是否可以一笔画问题。

图中只有A，B两个奇点，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走。

4．【解析】
用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图171
--，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥，走法如图172
--。