空间向量运算的坐标表示-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)

a b ab 0
x1 x2 y1 y2 0.
x1x2 y1 y2 z1z2 0.
PART 3 空间向量长度和夹角的坐标表示
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设 a (x1, y1 ), b (x2 , y2 ),
设 a (x1, y1, z1 ), b (x2 , y2 , z2 ),
当 b 0 时，a∥b a=b R 当b 0时，a∥b a=b R
x1 y1
x2 ,
y2.
R
x1 y2 x2 y1 0.
a b ab 0
x1 y1
x2 ,
y2 ,
R
z1 z2 .
b1, b2 , b3 均不为0时，a∥b
x1 x2
y1 y2
z1 . z2
减 a b x1 x2 , y1 y2 , 数乘 a x1, y1 , R,
数量积 a b x1x2 y1 y2 .
设 a (x1, y1, z1 ), b (x2 , y2 , z2 ),
a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 , a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ,
PART 1 空间向量运算的坐标表示
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设 a (x1, y1 ), b (x2 , y2 ), 设 a (x1, y1, z1), b (x2 , y2 , z2 ),
加 a b x1 x2 , y1 y2 , a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ,
设 P1(x1 , y1 , z1), P2 (x2 , y2 , z2 ), 则
P1P2 = P1P2 x2 x1 2 + y2 y1 2 .
P1P2 = P1P2 x2 x1 2 + y2 y1 2 + z2 z1 2 .
练习
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别
a x1, y1,z1 , R,
a b x1x2 y1 y2 z1z2 .
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设i, j, k为空间的一个单位正交基底， 则 a x1i y1 j z1k，b x2i y2 j z2k，
所以 a b x1i y1 j z1k x2i y2 j z2k
减 a b x1 x2 , y1 y2 , 数乘 a x1, y1 , R,
数量积 a b x1x2 y1 y2 .
设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ),
AB x2 x1, y2 y1 .
a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ,
a x1, y1,z1 , R,
a b x1x2 y1 y2 z1z2 .
设 A(x1, y1, z1 ), B(x2 , y2 , z2 ),
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1 .
PART 2 向量平行和垂直的坐标关系
问题2 平面向量的坐标运算可以解决平行、垂直等位置关
系.空间向量的坐标运算是否仍然可以？
当b 0时，a∥b a=b R
(x1, y1, z1 ) (x2 , y2 , z2 )
x1 x2 ,
y1
y2 ,
R
y
z1
z2.
PART 2 向量平行和垂直的坐标关系
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设 a (x1, y1 ), b (x2 , y2 ),
设 a (x1, y1, z1 ), b (x2 , y2 , z2 ),源自是BB1，D1B1的中点.
（1）求证 EF⊥DA1; （2）求AE与CD1所成角的余弦值
D1
A1
F
C1
B1
? 如何用向量刻画两条直线垂直？
EF DA1
EF DA1
EF DA1 0
D
A
E
C
B
判断垂直的依据
练习
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别
是BB1，D1B1的中点.
D1
A1
C1
F
B1
? 两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？ D
O
有区别，取值范围不同.
A
x
直线夹角的范围：0,90 .
EC y
B
向量夹角的范围: 0,180 .
方法总结
空间直角坐标系
写出点坐标
向量坐标
平行 垂直 长度 夹角
特殊位置关系 几何度量问题
向量运算
关注向量的夹角与直线的夹角的区别
例1 空间向量的坐标运算
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设 a (x1, x2 ), b ( y1, y2 ),
当 b 0 时，a∥b a=b R
(x1, y1 ) (x2 , y2 )
x1 y1
x2 ,
y2.
R
x1 y2 x2 y1 0.
设 a (x1, y1, z1 ), b (x2 , y2 , z2 ),
a a a x12 y12 .
a a a x12 y12 z12 .
cos a, b a b ab
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
.cos
a,b
ab ab
x1 x2
y1 y2
z1z2
.
x12 y12 z12 x22 y22 z22
设 P1(x1 , y1), P2 (x2 , y2 ),则
(－3，1，7)
例2 空间向量的平行与垂直
设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
例3 空间向量夹角与长度的计算
在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
z
ay O
x
PART 1 空间向量运算的坐标表示
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐 标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设 a (x1, y1 ), b (x2 , y2 ),
加 a b x1 x2 , y1 y2 ,
z
（1）求证 EF⊥DA1; （2）求AE与CD1所成角的余弦值
D1
A1
C1
F
B1
? 如何用向量刻画两条直线垂直？
EF DA1
EF DA1
EF DA1 0
D O
A
x
EC y
B
判断垂直的依据
练习
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别
是BB1，D1B1的中点.
z
（1）求证 EF⊥DA1; （2）求AE与CD1所成角的余弦值
x1x2i i x1 y2i j x1z2i k y1x2 j i y1 y2 j j y1z2 j k z1x2k i z1 y2k j z1z2k k.
因为 i i=j j=k k= i j=j k=k i= 所以 a b x1x2 y1 y2 z1z2 .