最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．已知i 是虚数单位，则复数1012i
i
-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．设i 为虚数单位，若复数z 满足1z
i i
=-，其中z 为复数z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1
B ．2
C ．
22
D ．2
4．复数z 满足，则 A ．
B ．2
C ．
D ．
5．已知复数3412i
z i
+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55
B ．
221
5
C ．5
D ．5
6．已知i 为虚数单位，a R ∈,若2i
a i
-+为纯虚数，则复数23z a i =的模等于（ ） A 17B 3C 11
D ．2
7．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．
3322
i + B ．
1322
i - C ．
3322
i - D ．
1322
i + 8．复数4
11-i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值是( )． A ．－4i
B ．4i
C ．－4
D ．4
9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2
B ．22
C 17
D 3410．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．0
11．设i 为虚数单位，则复数13i z -=的共轭复数是（ ） A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．2i +
12．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数1
2
z z 的虚部为( )
A ．1
B ．i
C ．
25
D ．0
二、填空题
13．设复数1z i =+，则22
|
|z z
-=___________. 14．复数21
2i z i
-=-的共轭复数z =__________.
15．已知||1z =且z C ∈，则|22i |z --（i 为虚数单位）的最小值是________
16．()20
173
i +-=________.
17．若复数(2)
3i =2+i a
b (,a b ∈R )，则
34a
i b i
_________．
18．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|z -，y
x
的取值范围是______ 19．已知复数z 满足1
|z |2z
-
=，则||z 的最大值为____________ 20．下列四个命题中正确的有_______（填上所有正确命题的序号） ①若实数,,a b c 满足3a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个不小于1 ②若z 为复数，且z =1，则z i -的最大值等于2 ③(0,),sin x x x ∈+∞>任意都有
④2
4
π=
三、解答题
21．设复数2(1),()z a a a i a =---∈R . （1）若z 为纯虚数，求|3|z +；
（2）若z 在复平面内对应的点在第四象限，求a 的取值范围. 22．已知虚数z 满足|21||22|z i z i +-=+-（i 为虚数单位）. （1）求||z 的值; （2）若1
mz R z
+
∈，求实数m 的值. 23．在复平面内，复数21i
z i
=+(i 为虚数单位)的共轭复数z 对应点为A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，求： （Ⅰ）点A 所在的象限；
（Ⅱ）向量OB 对应的复数．
24．设复数z ()()
2
1312i i i
++-=
+，若2z + az +b ＝1+i ，求实数a ，b 的值
25．关于复数z 的方程2(2)430()z a i z i a R -+-+=∈． （1）若此方程有实数解，求a 的值；
（2）用反证法证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根． 26．根据12z z -的几何意义讨论下列各式的几何意义. （1）|(1)|2-+=z i ； （2）|1||1|2z z ++-=.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 先计算出
104212i
i i
=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】 由题得1010(12)20104212(12)(12)5
i i i i
i i i i +-+===-+--+， 所以
1012i
i
-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C 【点睛】
本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．C
解析：C 【分析】
利用复数的几何意义，转化求解即可． 【详解】
解：复数z 满足1z =（i 是虚数单位），复数z 表示，复平面上的点到()0,0的距离为1的圆．
|34|z i -+的几何意义是圆上的点与(3,4)-的距离，
14=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
3．B
解析：B 【分析】
设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-，利用复数代数形式的乘除运算化简即可. 【详解】
由题意，设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-， 由
1z
i i
=-，得()11z i i i a bi =-=+=-， 所以1a =，1b =-，即1z i =-，故2z =.
故选：B. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数的摸，属于基础题.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用复数模的公式可得结果. 【详解】 因为
，
．
故选A ． 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5．C
解析：C 【解析】
分析：利用复数模的性质直接求解．
详解：∵3412i
z i
+=
-， ∴22
22343434512121(2)
i i z z i i +++=====--+-， 故选C ．
点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =
+，模的性质：1212z z z z =，
11
22z z z z =． 6．D
解析：D 【分析】
先根据纯虚数概念得a ，再根据模的定义求结果. 【详解】 因为
()()2
21221
a a i
i a i a --+-=++为纯虚数，所以21020a a ，-=+≠，即12a =， 因此2313z a i i =+=+，所以2z =，选D. 【点睛】
本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．B
解析：B 【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】 ：
，
∴（1-i ）（1+i ）z=（1-i ）（1+2i ），化为2z=1+3i ，∴13
22
z i =+ ． 则z 的共轭复数为，
故选B ． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用复数的代数形式的乘除运算法则将4
11i ⎛⎫- ⎪⎝⎭
化简，即可求值. 【详解】
∵21111i
i i i
-=-
=+ ∴2(1)1212i i i +=+-=
∴()4
21124i i ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭
故选C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，利用i 的幂的性质是迅速化简的关键，属于基础题．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先确定复数z ，然后求解复数的模即可. 【详解】
由题意可得：351i
z i +=-，则353511i i z i i ++=
===--. 本题选择C 选项. 【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能和计算求解能力.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值. 【详解】
复数()
()2
11z m m i =--+是纯虚数，则：
(
)2
10
10m m ⎧-=⎪⎨
-+≠⎪⎩，据此可得：1m =. 本题选择A 选项. 【点睛】
复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果 【详解】
()2
2111i z i i
-=
=
=
=--，则共轭复数为1i +
故选A 【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题
12．A
解析：A 【分析】
先化简12z z ，利用12z z 为纯虚数，实部为零，可求得a 的值，进而求得1
2
z z 的虚部.
【详解】 依题意可知
()()()()()122i 12i 224i
2i 12i 12i 12i 5
a a a z a z ++-+++===--+为纯虚数，故220,1a a -==，故虚部为
41
15
+=. 【点睛】
本小题主要考查复数的运算，考查复数的除法，考查复数实部和虚部的概念及其应用.属于基础题.
二、填空题
13．【分析】利用复数运算化简得到再计算复数模得到答案【详解】则则故答案为：【点睛】本题考查了复数的计算复数的模意在考查学生的计算能力和转化能力
【分析】
利用复数运算化简得到2
2
12z i z -=--，再计算复数模得到答案. 【详解】
1z i =+，则()
()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+，
则
22
z z
-==
【点睛】
本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14．【分析】根据复数的运算法则计算得到再计算共轭复数得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算共轭复数意在考查学生的计算能力和转化能力 解析：
425
i
-+ 【分析】
根据复数的运算法则计算得到425
i
z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】
()()()222124222225i i i z i i i i -+----====---+，故425
z i
=
-+. 故答案为：425
i
-+. 【点睛】
本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15．【分析】设根据复数的几何意义分析即可【详解】设因为故即在复平面内是在以原点为圆心1为半径的圆上又几何意义为到的距离故最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的运用属于基础题
解析：1
【分析】
设z x yi =+,根据复数的几何意义分析即可. 【详解】
设z x yi =+,因为||1z =,故221x y +=,即z 在复平面内是在以原点为圆心,1为半径的圆上.
又()|22i ||22i |z x y --=-+-=几何意义为(),x y 到()2,2的距离.
11=.
故答案为：1 【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义的运用,属于基础题.
16．【分析】根据复数的除法及复数的乘方计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查复数的代数形式的运算属于中档题 解析：42i +
【分析】
根据复数的除法及复数的乘方计算可得. 【详解】 解：
1i i =，21i =-，3i i =-，41i =
17441i i i ⨯+∴==
()1
11i i +=+，()2
21122i i i i +=++=
()
()()10
20
210
10101011222i i i i ⎡⎤∴+=+==⨯=-⎣⎦
(
)20
173i ++-
()()()
2020
113
i i
i --+
=++-
(()
2
2
102
20
12
2312i i
i ---=
++-
⎛⎫- ⎪⎝⎭
10
10232i i -=++-
42i =+
故答案为：42i + 【点睛】
本题考查复数的代数形式的运算，属于中档题.
17．【解析】【分析】由复数相等的充要条件求得进而利用复数的化简即可求解【详解】由题意复数满足所以解得所以复数【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的运算其中解答中熟记复数相等的条件和复数的四则运算 解析：i -
【解析】 【分析】
由复数相等的充要条件，求得4,3a b ==，进而利用复数的化简4334i
i
，即可求解． 【详解】
由题意，复数满足(2)
3i =2+i a
b ，所以22
3a b -=⎧⎨
=⎩
，解得4,3a b ==，
所以复数
4334343254343
43425
i i a i i i i b i i
i i
．
【点睛】
本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的运算，其中解答中熟记复数相等的条件和复
数的四则运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18．【分析】由复数得到复数表示的轨迹设即则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率再利用直线与圆的位置关系即可求解【详解】由复数可得即复数表示的轨迹为表示以为圆心以为半径的圆设即则表示的几何意义是点与原点的
解析：3,3⎡⎤-⎣⎦
【分析】
由复数23z -=，得到复数z 表示的轨迹22:(2)3C x y -+=，设
y
t x
=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，再利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由复数23z -=，可得2
2
22
2(2)(2)z x yi x y -=-+=-+，
即复数z 表示的轨迹为22:(2)3C x y -+=，表示以(2,0)C 为圆心，以3为半径的圆，
设
y
t x
=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率， 如图所示，当t 最大时，直线y tx =与圆相切（过一三象限的直线），
则圆心C 到直线y tx =的距离等于半径，即2
231
t t =+，解得3t =±，
所以
y
x
的取值范围是[3,3]-， 故答案为[3,3]-.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的几何意义得到复数表示的轨迹，合理利用直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
19．【分析】将等式变为根据复数模的运算性质得到根据不等式求得最大值【详解】由复数模的性质可得：即解不等式可得：本题正确结果：【点睛】本题考查复数的模的性质的应用通过模的性质构造出不等关系解不等式求得最值 21
【分析】 将等式变为212z z -=，根据复数模的运算性质得到2
21z z ≥-，根据不等式求得最大值.
【详解】 2112z z z z
--== 212z z ⇒-= 由复数模的性质可得：222111z z z -≥-=-，即221z z ≥-
解不等式可得：max 1z =
1
【点睛】
本题考查复数的模的性质的应用，通过模的性质构造出不等关系，解不等式求得最值. 20．①②③④【解析】试题分析：：①若实数abc 满足a+b+c=3则用反证法假设abc 都小于1则a+b+c ＜3矛盾故可得abc 中至少有一个不小于1故①正确；②若z 为复数且|z|=1则由|z-i|≤|z|+
解析：①②③④
【解析】
试题分析：：①若实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，则用反证法，假设a ，b ，c 都小于1，则a+b+c ＜3，矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；
②若z 为复数，且|z|=1，则由|z-i|≤|z|+|-i|=2，可得|z-i|的最大值等于2，故②正确； ③任意x ∈（0，+∞），根据（x-sinx ）的导数为1-cosx≥0，可得（x-sinx ）在R 上为增函数，
再根据当x=0时，（x-sinx ）=0，可得任意x ∈（0，+∞），都有x-sinx ＞0，故③正确．
④0表示14圆0y x =<<的面积，则为24π，故④正确 考点：命题的真假判断与应用；微积分基本定理；复数求模
三、解答题
21．（1；（2）1a > .
【分析】
（1）由z 为纯虚数，可得实部为0，虚部不为0，可得z 的值，可得|3|z +的值； （2）由实部大于0且虚部小于0，列出不等式组可得答案.
【详解】
解：（1）若z 为纯虚数，则2010a a a ⎧-=⎨-≠⎩
, 所以0a =，故i z = ,
所以|3|z +=；
（2）若2在复平面内对应的点在第四象限，则2010a a a ⎧->⎨-+<⎩
, 解得1a > .
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义及复数的有关概念，比较基础.
22．（12）12m =
. 【分析】
（1）设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠），利用模长的定义可构造出方程，整理出222a b +=，从而求得z ；（2）整理得到122a b mz am bm i z ⎛⎫+
=++- ⎪⎝⎭
，根据实数的定义求得结果.
【详解】 （1）z 为虚数，可设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠） 则22122a bi i a bi i ++-=++-，即()()()()212122a b i a b i ++-=++- ()()()()2222
212122a b a b ∴++-=++-
整理可得：222a b +=
z ∴==（2）由（1）知221122a bi a b mz am bmi am bmi am bm i z a bi a b -⎛⎫+=++=++=++- ⎪++⎝⎭ 1mz R z +∈ 02
b bm ∴-= 又0b ≠ 12m ∴=
【点睛】
本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.
23．（Ⅰ）位于第四象限；（Ⅱ）－1＋i.
【分析】
（I ）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
（II ）利用复数的几何意义即可得出． 【详解】
解：（Ⅰ）z ()()()
2i 1i 2i 1i 1i 1i -===++-1+i ，所以z =1﹣i ， 所以点A （1，﹣1）位于第四象限．
（Ⅱ）又点A ，B 关于原点O 对称．
∴点B 的坐标为B （﹣1，1）．
因此向量OB 对应的复数为﹣1+i ．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 24．a=-3,b=4.
【解析】
【分析】
利用复数的混合运算，化简复数z ，然后代入等式，利用复数相等求a ，b ．
【详解】
解：由已知，z ()()3223335512255
i i i i i i i i i --+---=====-++， ∴2z +az +b ＝-2i+a （1﹣i ）+b ＝a +b ﹣(a+2)i ＝1+i ，
∴a b 1a 21+=⎧⎨--=⎩
， 解得a ＝﹣3，b ＝4．
【点睛】
本题考查了复数的运算以及利用复数相等求参数；如果复数相等，那么它们的实部和虚部分别相等．
25．（1）76a =-
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）设方程的解为t ()t R ∈，将z t =代入原方程，整理化简，令实部与虚部分别为零解t 的值及a 的值；
（2）先假设存在一个实数a ，使原方程有纯虚数根，并设纯虚数根为,0z mi m =≠，然后将z mi =代入原式推出矛盾，证明假设错误.
【详解】
（1）解：设方程的实数解为t ，则2(2)430t a i t i -+-+=，
所以24(32)i 0t at t --+-=，
所以320t -=，所以32
t =． 因为240t at --=，所以76
a =-． （2）证明：假设原方程有纯虚数根，令,0z mi m =≠，且m R ∈，
则2()(2)430mi a i mi i -+-+=，
整理可得224(3)0m m am i -+-+-+=，
即2240,30,m m am ⎧-+-=⎨-+=⎩
①②
对于①，由于判别式∆<0，所以方程①无解，故方程组无解，故假设不成立， 故原方程不可能有纯虚数根．
【点睛】
本题考查复数的综合运算，考查了复数与二次方程的结合，难度一般.解答时注意方程的实数根与虚数根的区别，结合二次方程有解的条件判断即可.
26．（1）圆心为()1,1，半径为2的圆；从1,0到()1,0线段上的点 【分析】
将已知复数转化为复平面内对应的点，再结合点与点的位置关系求解即可
【详解】
设z a bi =+，则对应复平面内的点为(),a b ，
（1）则|(1)|2-+=z i 的几何意义为：到点()1,1的距离为2，即圆心为()1,1，半径为2的圆；
（2）则|1||1|2z z ++-=的几何意义为：到点()1,0的距离与1,0的距离之和为2，即从1,0到()1,0线段上的点.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，属于基础题。