山东高三高中数学高考模拟带答案解析

山东高三高中数学高考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.复数=（）
A．1-2i B．1+2i C．-1+2i D．-1-2i
2.设的值（）
A．B．C．D．
3.等差数列的前n项和为= （）
A．18B．20C．21D．22
4.已知集合，B =∣,则A∩B=（）
A．B．
C．D．
5.曲线在点（1，）处的切线方程为（）
A．B．
C．D．
6.下列判断错误的是（）
A．“”是“a<b”的充分不必要条件
B．命题“”的否定
是“”
C．若p,q均为假命题,则为假命题
D．若～B（4，0．25）则
7.如果执行右边的程序框图,输入x=-12,那么其输出的结果是（）
A．9B．3C．D．
8.设函数（x ∈R ）为奇函数，＝，，则
＝（ ）
A ．0
B ．1
C ．
D ．5
9.已知动点在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A
（
，则0≤t≤12时，动点A 的横坐标x 关于t （单位：秒）的函数单调递减区间是（ ）
A ．[0,4]
B ．[4,10]
C ．[10,12]
D ．[0,4]和[10,12]
10.已知，若
在
上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.如图，平面四边形中，
，，将其沿对角线折成四面体，
使平面平面，若四面体
顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知F 1、F 1分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与双曲
线在第一象限的交点为P,则当△PF 1F 2的面积等于a 2时，双曲线的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．2
二、填空题
1.如果对于任意实数a,b （a<b ）,随机变量X 满足
=
,称随机变量X 服从正态分布,记为
,若X ～（0，1）,P （X>1）=p,则
=_________
2.如图,过抛物线
焦点的直线依次交抛物线与圆[
于点A 、B 、C 、D,则
的值是
________
3.设x 、y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为6，则的最小值为
____________.
4.若
，则该数列的前2011项的乘积
_____________
三、解答题
1.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =
，且
（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.
2.某市第一中学要用鲜花布置花圃中五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择． （1）当区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数； （2）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（3）记为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量的分布列及其数学期望.
3.已知在四棱锥中，底面是矩形，且
，，平面，、分别是线段
、的中点． （1）证明：； （2）判断并说明上是否存在点，使得∥平面
；
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
4.已知椭圆的的右顶点为A ，离心率
，过左焦点
作直线与椭圆交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与
直线交于点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）证明以线段为直径的圆经过焦点．
5.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3且2a n ＋1＝a n ＋2＋a n （n ∈N *）．数列{b n }的前n 项和为S n ，其中b 1＝－
，b n ＋
1＝－S n （n ∈N *）．
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若T n ＝＋
＋…＋
，求T n 的表达式．
6.已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点
处的切线与直线垂直，求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若对于都有
成立，试求的取值范围； （Ⅲ）记
.当
时，函数
在区间
上有两个零点，求实数的取值范围.
山东高三高中数学高考模拟答案及解析
一、选择题
1.复数=（ ）
A ．1-2i
B ．1+2i
C ．-1+2i
D ．-1-2i
【答案】B 【解析】∵，故选B
2.设的值（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】∵，∴
，∴=
，故选A
3.等差数列的前n 项和为
= （ ） A ．18
B ．20
C ．21
D ．22
【答案】B 【解析】∵，又
，∴
，故选B
4.已知集合
，B =
∣
,则A∩B=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵，B =∣=，∴A∩B=，故选A
5.曲线在点（1，）处的切线方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴过点（1，1）处的切线斜率为，所以切线为，故
选C
6.下列判断错误的是（）
A．“”是“a<b”的充分不必要条件
B．命题“”的否定
是“”
C．若p,q均为假命题,则为假命题
D．若～B（4，0．25）则
【答案】D
【解析】对于选项A:∵⇒a＜b为真命题，“a＜b”⇒”为假命题，故“”是“a＜b”的充分
不必要条件正确；对于B：将∀→∃，≤→＞得到命题的否定，故命题“”的否定是
“”正确；对于选项C：若p,q均为假命题,则为假命题，正确．对于选项D：ξ～B（4，
0.25）则Dξ=4×0.25×（1-0.25）=0.75，错误，故选D
7.如果执行右边的程序框图,输入x=-12,那么其输出的结果是（）
A．9B．3C．D．
【答案】C
【解析】第一次循环后x=-9,第二次循环后x=-6,第三次循环后x=-3，第四次循环后x=0，第五次循环后x=3,∵3>0，∴，故选C
8.设函数（x∈R）为奇函数，＝，，则＝（）
A．0B．1C．D．5
【答案】C 【解析】∵
，∴
，所以
，故选C
9.已知动点在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A
（
，则0≤t≤12时，动点A 的横坐标x 关于t （单位：秒）的函数单调递减区间是（ ）
A ．[0,4]
B ．[4,10]
C ．[10,12]
D ．[0,4]和[10,12]
【答案】D
【解析】t=0时，点A 的坐标是 （
，∴点A 的初始角为60°，当点A 转过的角度在[30°，180°]或[360°，
420°]时，动点A 的横坐标x 关于t （单位：秒）的函数的单调递减，∵12秒旋转一周，∴每秒转过的角度是
360°÷12=30°，240°÷60°=4，则当0≤t≤12时，动点A 的横坐标x 关于t （单位：秒）的函数的单调递减区间是[0，4]和[10，12]，故选D 10.已知，若
在
上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】当1≥x>0时，恒成立，∴
恒成立，∴
，当x=0时，a ∈R ，当-1≤x<0时
，∴，综上满足实数的取值范围是
，故选B
11.如图，平面四边形中，
，，将其沿对角线折成四面体，
使平面平面，若四面体
顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由题意平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，BD=
，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A′-BCD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ，若四面体A′-BCD 顶点在同一个球面上，可知A′B ⊥A′C ，所以BC 是外接球的直径，所以BC= ，球的半径为
；所以球的体积为：
，故选A
12.已知F 1、F 1分别是双曲线
的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与双曲
线在第一象限的交点为P,则当△PF 1F 2的面积等于a 2时，双曲线的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．2
【解析】设F 1F 2=2c ，由题意知△PF 1F 2是直角三角形，∴，又根据曲线的定义得：=2a ，平方得从而得出
,∴
,又当△PF 1F 2
的面积等于a 2,即
,所以
，∴c=
a ，∴双曲线的离心率e=
，故选A
二、填空题
1.如果对于任意实数a,b （a<b ）,随机变量X 满足
=
,称随机变量X 服从正态分布,记为
,若X ～（0，1）,P （X>1）=p,则
=_________
【答案】
【解析】：
=
，∴
=P （-1＜X≤0）
∵若X ～（0，1），P （X ＞1）=p ，故P （-1＜X≤0）=
2.如图,过抛物线
焦点的直线依次交抛物线与圆[
于点A 、B 、C 、D,则
的值是
________
【答案】1
【解析】设A 、D 的坐标分别为，，依题意知焦点F （0，1），则设直线AD 方程为：y=kx+1，联立消去x ，得，∴
,又根据抛物线定义得AF=
，FD=，∴AF=
，FD=
,
=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1）=
．
3.设x 、y 满足约束条件
，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为6，则的最小值为
____________.
【答案】1
【解析】由题意x 、y 满足约束条件
的图象如图目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为6从图
象上知，最优解是（2，4）故有2a+4b=6,∴，
等号当且仅当时成立,故
的最小值为
4.若
，则该数列的前2011项的乘积
_____________
【解析】由递推关系式，得，
则．∴是以4为循环的一个数列．由计算，得
∴，
∴
三、解答题
1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =，且
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）C=60°（2）．
【解析】（Ⅰ）把已知的等式左边第一项先利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，可得出关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用
特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理得到c2=a2+b2－2abcosC，再利用完全平方公式变形后，将c及a+b的值代入，求出ab的值，再由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可
求出三角形ABC的面积．
∵A+B+C=180°由
∴整理，得……4分
解得：……5分∵∴C=60°…………6分
（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab ∴
由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分……10分
∴
所以的面积．
2.某市第一中学要用鲜花布置花圃中五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．
（1）当区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；
（2）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（3）记为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量的分布列及其数学期望.
【答案】（1）36 （2）6/35 （3）1
【解析】（I）颜色相同的区域只可能是区域A、D和区域B、E，求出基本事件的总数和恰有两个区域用红色鲜花
所包含的基本事件的个数即可求得．
（II）花圃中红色鲜花区域的块数可能为0，1，2．求出相应的概率即可求得分布列及期
望．
3.已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段
、的中点．
（1）证明：；
（2）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）．
【解析】解法一（向量法）
（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；
（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；
（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解法二（几何法）
（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质
得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则
FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．
解法一：（Ⅰ）∵平面，，
，，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．…………2分
不妨令∵，
∴，
即．…………………………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
由，得，令，解得：．∴．
设点坐标为，，则，
要使∥平面，只需，即，
得，从而满足的点即为所求．………………8分
（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，
又∵平面，∴是与平面所成的角，
得，，平面的法向量为……10分
∴，
故所求二面角的余弦值为．………12分
解法二：（Ⅰ）证明：连接，则，，
又，∴，∴……2分
又，∴，又，
∴……4分
（Ⅱ）过点作交于点，则∥平面，且有…5分
再过点作∥交于点，则∥平面且，
∴平面∥平面…………………7分∴∥平面．
从而满足的点即为所求．…………………………8分
（Ⅲ）∵平面，∴是与平面所成的角，且．
∴取的中点，则，平面，在平面中，过作，
连接，则，则即为二面角的平面角……10分
∵∽，∴，∵，且∴，
，∴
4.已知椭圆的的右顶点为A，离心率，过左焦点作直线与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别
与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明以线段为直径的圆经过焦点．
【答案】（Ⅰ）椭圆方程为．（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）由离心率，过左焦点F（-1，0），可求得 c=1，a=2，从而可求b=" 3" ，进而可得椭圆方程；
（Ⅱ） 斜率存在时，设直线l 方程为 y=k （x+1），与椭圆方程联立，消去y 整理得
．进而可求M ，N 的坐标关系，从而可证
；斜率不存在时，同理可证
，从而以线段MN 为直径的圆经过定点F
（Ⅰ）由已知 ∴
，
∴ 椭圆方程为．——————————5分
（Ⅱ） 设直线方程为 ，
由
得
．
设，则
．—————7分
设，则由
共线，得
有 ．同理
．
∴
．——————9分
∴
，即，以线段为直径的圆经过点F ；
当直线的斜率不存在时，不妨设．则有,
∴，即，以线段为直径的圆经过点F ． 综上所述，以线段为直径的圆经过定点F ．
5.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3且2a n ＋1＝a n ＋2＋a n （n ∈N *）．数列{b n }的前n 项和为S n ，其中b 1＝－
，b n ＋
1＝－
S n （n ∈N *）．
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若T n ＝
＋
＋…＋
，求T n 的表达式．
【答案】（1）a n ＝2n －1.∴b n ＝
（2）T n ＝－
＋（n －1）×3n －1.
【解析】本题主要考查递推关系式求数列的通项公式，利用错位相减法和公式法求出数列前n 项和，是解题的关键．
（1）∵2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，∴数列{a n }是等差数列，∴公差d ＝a 2－a 1＝2，∴a n ＝2n －1.∵b n ＋1＝－S n ，∴b n
＝－
S n －1（n≥2）．∴b n ＋1－b n ＝－
b n ，则b n ＋1＝b n .又∵b 2＝－
S 1＝1，
＝－
≠，
∴数列{b n }从第二项开始是等比数列， ∴b n ＝
（2）∵n≥2时，
＝（2n －1）·3n －2，∴T n ＝
＋＋…＋＝－＋3×30＋5×31＋7×32＋…＋（2n －1）
×3n－2，∴3T
＝－2＋3×31＋5×32＋7×33＋…＋（2n－1）×3n－1，
n
＝－＋（n－1）×3n－1.
错位相减并整理得T
n
6.已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；
（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（I）的单调增区间是,单调减区间是．
（II）的范围是
（III）的取值范围是．
【解析】本题考查导数的几何意义；切点处的导数为切线斜率；用导数求单调区间：导数大于0对应区间为单调递增区间；导数小于0对应区间为单调递减区间；用导数求最值及恒成立问题．
（I）直线的斜率为1.函数的定义域为，，所以，所以．所以．.由解得；由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是．……………………4分
（II），由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则
．由解得．所以的范围是.8分
（III）依题得，则.由解得；由解得所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．又因为函数在区间上有两个零点，所以
解得.所以的取值范围是．。