篇静定系统静力学STATICS_OK

Fy y
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例：在图示立方体中，已知力与尺寸a。试求
力对O点矩。
解：力的投影
Fx F
2 1 1 F
32
3
1
Fy
F 3
Fz
1F 3
F ( 1 i 1 j 1 k)F
r (i 2 j)a
B
3
3
3
力对O的矩：
MO(F) r F (
2 i 3
1 j 3
1 k )Fa 3
问题：如何求力对B点的矩？
(F)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MOx yFz zFy
M Oy
zFx
xFz
M Oz
xFy
yFx
力对轴之矩与力对点之矩的关系
MO
z
F
O
r
y
x
M M
x y
(F (F
) )
M M
Ox Oy
M
z
(F
)
M
Oz
• 力对(z)轴之矩等于力对(z)轴上任意一点(O)之矩在该轴(z)上的投影。
F1 cos
cos
32
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（2）解析表示式
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
i jk
MO = r F x y z
Fx Fy Fz
Moxi Moy j Mozk
z
Fz
F
kr z
i x
jj Fx
x
y
MOx MOy
yFz zFx
zFy xFz
MOz
xFy
yFx
力对点之矩在轴上的投影
k Fx
r xi yj zk
i
j
F Fxi Fy j Fzk
y
x
Fx
F
z
Fy
Fxy
x
y Fy
Fxy
Mz (F) xFy yFx
M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
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力对轴之矩
M x (F ) M y(F)
yFz zFx
zFy xFz
Mz
其中，Fx、Fy 、Fz就是力 F在各坐标轴上的投影。
问题：已知力F在直角坐标轴上的三个投影，试用 投影表示F的大小和方向。
F
y Fy
模：
F Fx2 Fy2 Fz2
方向余弦：
cos Fx , cos Fy , cos Fz
F
F
F
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例求各力图在中三a个=坐b 标= 轴上m的，投c影3= 。m。力F1 = 2100N，F2 = 200N，F3 = 300N，方向如图。
2 Fa 3
M y (F ) Fz a
1 Fa 3
M z (F ) Fx 2a Fy a
1 Fa 3
对O点的矩：
MO (F ) r F (
2 i 3
1 j 3
1 k )Fa 3
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例：已知，F1，θ，β，求F1对ξ轴的矩。
解：用方法一 很麻烦
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力对（z）轴之矩等于力对（z）轴上任意一点（o）之矩在该轴（z） 上的投影。
建立平衡条件（平衡方程）。
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第一章 刚体静力学基本概念 与基本力系的简化 第一节 力矢量
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一、力的概念
• 力(force)：力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动 状态或物体的形状发生改变。
• 力的作用效应(effects of action of the force): 外效应（external effect)— 物体的位置状态的改变。 内效应 (internal effect)— 物体的形体状态的改变。
• 力的三要素: 大小(N)，方向(指向、方位），作用点。 用矢量表示力！
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• 力的三要素: 大小(N)，方向(指向、方位），作用点。
二、力的矢量表示法
FA
A
• 力的单位: 牛[顿](N)，千牛[顿](kN)
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第二节 静力学公理及其推论
一、力系简化规律
1. 加减平衡力系公理 同一刚体上增加或减少若干个平衡力系，不改变 原力系的作用效果。
， ,,
y
则：
x
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
其中 , 不,独立。 cos,cos ,cos 称为方向余弦，满足
cos2 cos2 cos2 1
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（2）二次投影法
已知力与z轴正向交角为 ，
则在xOy面上投影大小：
在z轴上投影：
Fxy F sin Fz F cos
b
o d a Fxy
由右手螺旋法则定正负：
沿轴定一正方向，力矢量右手螺旋 拇指方向与所定正方向相同为正。
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问题：
M z dFxy
什么情况力对轴之矩为零？
力与该轴平行或相交时力对该轴 之矩为零。
z 分解,分别求三个分力对轴之矩， 然后将三个分力对轴之矩 的代数值相加。
FR
F1 F2
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二、力系平衡规律
1. 二力平衡公理
作用于同一刚体上的两个力平衡的充分必要条件是：此
二力等值、反向、共线。
二力构件/二力杆
F B
F F
A F
B F A F
若刚体上只有两点受力且不计其重量，则该刚体称为二力构件或二力杆。作用力方 向沿两点连线、大小相等、方向相反。
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2. 三力平衡汇交定理
F3y F3 cos30cos45 75 6N
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第四节 力 矩
F1 F2
力矩：力对物体转动效应的度量
1、力对点之矩 2、力对轴之矩
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一、力对点之矩 ( moment of a force about a point )
力对点之矩： 力使物体绕某点转动效应的度量
电视机天线：
z
O x
F y
需要度量： 1、转动快慢 2、转动方向
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二、力对轴之矩( moment of a force about an axis )
力对轴之矩：度量力使物体绕某轴转动的效应。 轴的方位已知。
？应该用矢量还是标量表达这个量？
F
定义：力对轴之矩等于该力在垂直于该轴的平面上的投影 对该轴与该平面交点之矩。
z Fz
F Fxy
方法一：定义
M z dFxy 2SOab
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力对点之矩的数学描述 （1）矢量表示式
z MO
MO (F) r F
O
O
d
xr
讨论：
方向：
确定的方向；即垂直于矩心和力
A
r F矢量所在的平面。
大小：
作用点： 取M矩O点(OF) r F sin F d 2SOAB
B
F y
点O称为力矩中心（矩心）， 该矢量通过矩心，为定位矢量。
力矩单位： 牛顿.米（N.m）
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1. 加减平衡力系公理
同一刚体上增加或减少若干个平衡力系，不改变 原力系的作用效果.
推论:力的可传性原理
力可沿其作用线在同一刚体上移动， 而不改变该力对物体的效应。
F B
A
F
力是滑动矢量
F
•力的三要素(对刚体)：
F F F 大小、方向、作用线
F
B A
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•力的可传性原理不适用于变形体
刚体
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问题：力的分解与力的投影有何不同？
Fn
Fn
n
F
F
n
F
τ
分解
τ
F
投影
二、力在平面上的投影
力在xoy面上的投影为 （矢量F）xy，
它的大小： Fxy F cos
注意： 力在轴上投影是标量。 力在平面上的投影是矢量。
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问题：
z
求力在直角坐标轴上的投影。
（1）直接投影法（一次投影法）
已知 F与x、y、z轴正向交角为
力对任意一轴的矩
矢量在轴上的投影:
F
n
Fn F n
→标量O
B A
◎若轴的单位矢量为n，O为
轴上一点，则：
M (F) Mo(F)n (r F) n
方法三
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例：已知，F1，θ，β，求F1对ξ轴的矩。
解：
F1x F1 cos sin
F1y F1 cos cos
F1z F1 sin
r
使物体保持平衡状态的力系。该力系满足的条件为平衡条件。
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•平衡力系(force system in equilibrium)： 使物体保持平衡状态的力系。该力系满足的条件为平衡条件。
静力学要研究的问题：
F3 Fn
•力系的简化（等效）
F1
F2
用作用效果相同的简单力系来替原复杂力系。
原力系等效力系
•力系的平衡
式中为两三角形平面之间的夹角，即
与z轴之夹角M。O (F)
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例：在图示立方体中，已知力与尺寸a。试求
力对x、y、z 轴之矩。
解：用方法二
Fx F
2 1 1 F
32
3
1
Fy
F 3
Fz
1F 3
F ( 1 i 1 j 1 k)F
3
3
3
对x轴矩： 对y轴矩： 对z轴矩：
M x (F ) Fz 2a
若 F与xy x轴正向交角为 ，则
Fx F sin cos Fy F sin sin
注意： 力在坐标轴上的投影是代数量， 应特别注意它的正负号。
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z
能否用投影表达力矢量？
Fz
设 i j k 为直角坐标系 x y z 轴
Fx
的单位矢量（基矢量），则力 F 可以写成 x
F = Fxi + Fy j + Fzk
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力对轴之矩与力对点之矩的关系
• 力对(z)轴之矩等于力对(z)轴上任意一点(O)之矩在该轴(z)上的投影。
证明：
力F对O点之矩、力F对通过O点的z轴之矩的大 小分别为
M O (F ) 2SOAB M z (F ) 2SOab
SOAB cos SOab
MO (F)
Mz (F) MO (F) cos
问题：三力作用下物体平衡，
FA
三力方位有何特点？
A
FA FB FAB
C FC
D B
FC FB
FA
D C
FAB FB
因 FA FB FC 0, 所以 FAB FC 0, FC 通过交点D 。
即，三力必汇交于一点。三力大小关系： FA
FB
不平行三力平衡
FC
闭口 力多边形
不平行三力平衡的必要条件：作用于刚体上的三个力 相互平衡时，若其中两个力的作用线相交于一点，则第三 个力的作用线必通过该点。(是否共面？？？)
解： 力F1在各坐标轴上的投影： F1x 0, F1y 0, F1z F1 100
力F2在各坐标轴上的投影：
F2x F2 cos 60 100 N F2 y F2 cos30 100 3N F2z 0N
力F3在各坐标轴上的投影：
F3z F3 sin 30 150N F3x F3 cos30sin 45 75 6N
第一篇 静定系统静力学
STATICS
1
前言
•静 力 学(statics)：研究物体在力系作用下平衡规律的科学。
•力系(force system): 作用在物体上的一组力：
F3
{F1, F2 , , Fn} 。 Fn
•平 衡(equilibrium)：
物体在惯性参考系中处于静止状态。
F1
F2
•平衡力系(force system in equilibrium)：
F
F
变形体
F
F
FF
FF
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2. 力的平行四边形公理
作用在同一点的二个力 和F1 ，其F2 合力的大小和方向 ，是由该两个力的有向线段为邻边所组成的平行四边
形的对角线来确定，且具有相同的作用点，并可表示
为：
FR F1 F2
F1 FR
A
F2
F1 F2
A
FR
•合力(resultant force)
称为该力系的合力， 和 称为合力的分力
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二、力的传递规律
作用力与反作用力公理
B A
FA
A
B
FB
FA FB
两物体间相互作用的一对力，总是等值、反向、共线 ，并分别作用在两个物体上.
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第三节 力的投影
一、力在轴上的投影
F
F
x
B A
在x轴上的投影
x
B
A
投影 Fx F cos
Fx F cos
若x轴单位向量为 i 则： Fx F i →标量
F1对O点的矩 O
MO (F1) r F1
(ak)(F1 cos sin i F1 cos cos j F1 sin k)
(cos i sin j)aF1 cos
ξ轴的单位矢量： n (bi ak) 1
a2 b2
F1对ξ轴的矩：
M MO (F1) n ab
1 a2 b2