高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性(第1课时)奇偶性的概念a

对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－1x2＝x12＝f(x)，
则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)， 则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非
奇非偶函数．]
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3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x
－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则 a－4＝0，即 a＝4.
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自主预习 探新知
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第三页，共三十八页。栏Fra bibliotek导航函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论 图象特点
f(－x)＝f(x) 关于 y 轴 对称
f(－x)＝－f(x) 关于原点 对称
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法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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利用函数的奇偶性求值 [探究问题] 1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇 偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？ 提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
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1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝x12； ④f(x)＝x＋1x；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
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②③ [对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数； 对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；
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思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示：定义域关于原点对称．
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1．下列函数是偶函数的是
() A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
1 x
D．y＝x2，x∈[0,1]
B [选项C、D中函数的定义域 不关于原点对称，选项A中的函数是 奇函数，故选B.]
即f(－x)＝0，x＝0， －x－1，x<0.
于是有f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数．
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判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：
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(2)图象法：
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点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]
A．－1
B．0
C．1
D．无法确定
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4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2) 3 [∵f(x)为 R 上的偶函数，∴
＝3，则f(－2)＝________.
f(－2)＝f(2)＝3.]
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值 x，都有 f(－x)＝－f(x)(或 f(－x)＝f(x))，才能说 f(x)是奇函数(或偶函数)．
2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于 原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思 想的应用．
1,2a]，则 a＝________，b＝________；
(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝________.
[思路点拨] (1) fx是偶函数 定原义―点―域对→关称于 求a的值 图y―轴象―对关→称于 求b的值
(2)
令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx
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[解] 因为f(x)＝x2＋1 1所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－ x)＝－x12＋1＝x2＋1 1＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对 称，其图象如图所示．
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由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． [解] (1)如图所示
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
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2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶 函数呢？
提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的 值．
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【例 3】 (1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－
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2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(
A
B
C
D
)
B [B选项的图
象关于y轴对称，是
偶函数，其余选项
都不具有奇偶性．]
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3．函数 y＝f(x)，x∈[－1，a](a> C [∵奇函数的定义域关于原
－1)是奇函数，则 a 等于( )
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[解] (1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．
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(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
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(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． －x－1，－x<0，
f(－x)＝0，－x＝0， －x＋1，－x>0，
－x＋1，x>0，
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奇偶函数的图象问题 【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图 象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
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[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于 原点对称．
第三章 函数的概念 与性质 (gàiniàn)
3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性
第1课时(kèshí) 奇偶性的概念
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学习目标
核心素养
1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观 1．理解奇函数、偶函数的定义． 想象素养．
2．了解奇函数、偶函数图象的特征．2．借助函数奇、偶的判断方法，培 3．掌握判断函数奇偶性的方法. 养逻辑推理素养．
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[解] (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
因此函数f(x)是奇函数．
1－x2≥0， (2)由x2－1≥0
得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
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巧用奇、偶函数的图象求解问题 1依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. 2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画 出奇偶函数图象的问题.
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2．如图是函数f(x)＝x2＋1 1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐 标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
B [∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1 ＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．]
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3．已知函数 f(x)＝ax2＋2x 是奇 函数，则实数 a＝______.
0 [∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0，
∴2ax2＝0 对任意 x∈R 恒成立，
所以 a＝0.]
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4．已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2 ＋2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合．
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第三章 函数(hánshù)的概念与性质
内容(nèiróng)总结
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[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函
数．( )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不
是奇函数就是偶函数．( )
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2．函数f(x)＝|x|＋1是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
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合作探究 提素养
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函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (3)f(x)＝2xx2＋＋12x；
x－1，x<0，
(4)f(x)＝0，x＝0， x＋1，x>0.
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∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
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利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义域关 于原点对称，利用a＋b＝0求参数. 2解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系数 即可求解.
―→
判断gx 的奇偶性
―→
计算g－3
―→
代入求得f3
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1 (1)3 0 (2)7
[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1
＝－2a，解得a＝13.
又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易
得b＝0.
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( ) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)， 则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )