函数的一致连续性 集合
集合的紧致性与连续函数的一致连续性
集合的紧致性与连续函数的一致连续性紧凑拓扑空间是拓扑空间的一个性质。
在这种空间中，集合中的任意序列都包含一个收敛子序列。
这种性质是一种在数学上极其重要的性质，在分析、几何和拓扑中都有广泛的应用。
一般地，给定一个拓扑空间$X$，我们称$X$是紧凑的，如果$X$的每个开覆盖都有有限子覆盖。
更具体地说，若对于$X$的每个开覆盖$\{U_\alpha\}$，存在有限子集$\{U_{\alpha_1}, U_{\alpha_2}, \ldots,U_{\alpha_n}\}$也覆盖$X$，则称$X$是紧凑的。
一个紧凑空间通常被称为一个紧空间。
相比之下，一致连续性是函数的性质。
给定两个拓扑空间$X$和$Y$，若$f:X\rightarrow Y$是一个映射，我们称$f$是一致连续的，如果对于任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$使得对于任意$x,y\in X$，只要$d_X(x,y)<\delta$，就有$d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$。
也就是说，无论取定多小的$\epsilon$，只要取足够小的$\delta$，$f$都能保证函数值在$\epsilon$的邻域内。
现在，我们来讨论集合的紧凑性与连续函数的一致连续性之间的关系。
正是这种关系，使得这两个性质在数学领域有着千丝万缕的联系。
首先，我们考虑一个有界闭区间$[a,b]\subset\mathbb{R}$上的连续函数$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$。
根据紧致性的定义，$[a,b]$作为实数集的子集是紧致的。
对于$f$在闭区间$[a,b]$上连续，我们说$f$是一致连续的。
这是因为闭区间上的连续函数在紧致集上的定义域内总是一致连续的，这是由于有界闭区间是一个紧致空间。
因此，有界闭区间上的连续函数必然是一致连续的。
进一步，我们考虑更一般的情况，即考虑任意一个紧致空间$X$上的函数$f:X\rightarrow Y$。
浅谈函数的一致连续性.doc
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州121000中国）摘要:在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打卜'了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
关于函数一致连续性的研究
II
关于函数一致连续性的研究
目录
第一章 绪 论 ....................................................... 1 1.1 选题背景........................................................ 1 1.2 研究意义........................................................ 1
第四章 常见函数的一致连续性问题 .................................... 18 4.1 基本初等函数的一致连续性....................................... 18
4.1.1 幂函数.......................................................... 18 4.1.2 指数函数 ........................................................ 19 4.1.3 对数函数 ........................................................ 20 4.1.4 三角函数 ........................................................ 21 4.1.5 反三角函数 ...................................................... 22
3.8 二元函数的一致连续性问题....................................... 16
函数一致连续性及其应用(数学考研)
1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUPx f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUPx x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f S U P x f x f S U P x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列nx '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管nx x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()Mx x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f .令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()MK K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()Mx x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
无穷区间上连续函数一致连续的判定
无穷区间上连续函数一致连续的判定众所周知，函数的连续性是建立在点上的。
即使几是函数在区间切连续性，也是建立在点上的。
因此函数的连续性是一个局部性的概念，而函数的一致连续性才反映了函数在 整个区间上的整休性质。
一般来说，只有闭区间〔a,b 〕上的连续函数才具有一致连续的性 质，(Cantol 定理)而对于其他类型的区间，函数在其上连续一般不能导致函数在其上一 致连续。
譬如函数()sinf x xπ=在区(0,1)内连续，但在(0,1)内却非一致连续，这样的例子可以举出很多。
因此，讨论连续函数的一致连续性也就成了“数学分析”中 一个很重要的问题。
显然在某个区间上连续的函数自然就可尽分为两大类:一类是非一 致连续的，另一类是一致连续的。
在多数“数学分析”教材中对有限区间上连续函数的 一致连续性讨论得较多，对无穷区间上连续函数的一致连续性的判定虽然也进行过一些 讨论，但大多是关于它的充分判别法，而对它的充分必要条件谈及甚少。
本文给出判定连续函数在无穷区间上一致连续的一个新的充分必要条件。
用它可以 判定一系列连续函数在无穷区问上一致连续的问题，有时比使用定义或其他充分条件要 方便得多，定理1:设函数f(x)在区间〔a ，∞)(a 为任意实数)上连续，则函数f(x)在区间〔a ，+ ∞)上一致连续的充分必要条件是在〔a ，+ ∞)上存在一个一致连续的函数g(x)，使得: lim (()())0x f x g x →+∞-=证 必要性:因为函数f(x)于〔a ，+ ∞)上一致连续，所以，就选g(x)=f(x), 即找到了一个于〔a ，+ ∞)上一致连续的函数g(x)，并且满足:lim (()())lim (()())0x x f x g x f x f x →+∞→+∞-=-=，充分性:由于在〔a ，+ ∞),)内存在一个一致连续的函数g(x)使得:lim (()())0x f x g x →+∞-=则对任意给定的正数ε，总存在一个常数M>0，使得对于适合不等式x>M 的一切x ， 总有()()6f xg x ε-<因为函数f(x)在〔a ，+∞)上连续，从而在有限区间〔a ，M 〕上连续，由康托 (Cantor)定理，函数f(x)必在〔a ，M 〕上一致连续，从而对上述ε>0，总存在1()0δε>，使得对于区间〔a ，M 〕内的任意两点: 12,x x 当121()x x δε-<时，总有21()()2f x f x ε-<()0,()0z g x d s εε∞>>∞又因函数在区间（a,+）上一致连续，从而对于给定的总存在一个时，使得对于(a,+)1212212,,(),x x x x x M x M δε-<>>内任意两点当且21()()6g x g x ε-<21222111222111()()()()()()()()()()()()()()6662f x f x f xg x g x g x g x f x f x g x g x g x g x f x εεεε-=-+-+-≤-+-+-<++=从而有21()()2f x f x ε-<即1212121122(,),(,),,,x a M x M x x M x x M δδεδεδδδεδδε∈∈+∞-<-<<-<<如果任意的取=min((),()),只要必有()()从而有212121()()()()()()()()()()22f x f x f x f M f M f x f x f M f M f x εεε-=-+-≤-+-<+=211221min((),()),()()x x f x f x δδεδεε-<=-<即只要就有不等式：综合上述:对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，使得对于区间〔a,+ ∞)上 的任意两点1x ，2x .只要 21x x -<δ就有不等式:21()()f x f x ε-<根据函数一致连续的定义，f(x)在〔a ，+∞)_上一致连续。
函数的一致连续性
例4.
f ( x) 1 在(0,1)上不一致连续. x
解：
令sn
1 n
1 , tn
1， n
sn
tn
1 n
1 n1
1 n(n 1)
1. n
但 f (sn ) f (tn ) (n 1) n 1 0 .
例⒌ f ( x) 1 在 ,上一致连续.( 0)
x
证明： s,t ,.
f
(s)
f (t)
11 st
t
s st
1
2
st
当s t 2时， f (s) f (t) .
几何解释
y
o x'
x
x
例6. 设f在I上满足Lipschitz条件： L 0,
x1, x2 I , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) L x1 x2 ,
求证：f在I上一致连续.
x2 sin x1
2
x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
取 ,
当 x1 x2 时, 总有| sin x1 sin x2 | .
f ( x) cos x在R上一致连续.
例2. f ( x) x在[0,)上一致连续
证明：| f ( x1 ) f ( x2 ) |
x1
x2
2.
f在I上不一致连续
0 0,n N * ,都有sn , tn I ,
满足 | sn
tn
|
1， n
但是
|
f (sn )
f (tn ) | 0 .
二、例题
例1. 求证 f ( x) sin x在R上一致连续.
证明： x1 , x2 R,
sin x1 sin x2
证明函数连续,一致连续
证明函数连续,一致连续证明函数连续、一致连续是数学分析中的重要课题。
函数的连续性是指在函数定义域内，函数在某一点处连续。
函数的一致连续性是指在函数定义域内，函数在任意两点之间的变化都可以被控制在一定的范围内。
在证明函数连续和一致连续的过程中，我们需要运用极限、序列、Cauchy列、介值定理、等等方法。
首先，我们来证明函数的连续性。
设函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上连续，则对于任意$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<epsilon$。
这意味着在函数定义域内，函数在某一点处的取值可以无限接近于该点的函数值。
我们可以用极限的概念来证明函数的连续性，即证明$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。
若极限存在，则函数在该点连续。
接下来，我们来证明函数的一致连续性。
设函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上一致连续，则对于任意$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$|x-y|<delta$时，有$|f(x)-f(y)|<epsilon$。
这意味着在函数定义域内，函数在任意两点之间的变化都可以被控制在一定的范围内。
我们可以用Cauchy列的概念来证明函数的一致连续性，即证明在函数定义域内，若对于任意$epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|f(x_n)-f(x_m)|<epsilon$，则函数在该定义域上一致连续。
在证明函数的连续和一致连续过程中，我们还需要用到介值定理。
介值定理是指如果函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上连续且$f(a)<y<f(b)$，则在$(a,b)$中必有一点$x_0$，使得$f(x_0)=y$。
介值定理的应用可以帮助我们证明函数的连续和一致连续。
总之，函数连续、一致连续是数学分析中的基本概念，对于深入理解分析学的基本思想和方法具有重要意义。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它反映了函数在定义域内的整体的性质和变化情况。
本文将从一致连续性的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、一致连续性的定义一致连续性是一种特殊的连续性，它描述了在任意给定的公差范围内，函数值与自变量之间的变化情况。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<ε，则称函数f在区间I上是一致连续的。
二、一致连续性的性质1.一致连续函数的一致连续区间如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数ε和负数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<max{ε, -ε}。
因此，一致连续函数的定义域内存在一个一致连续区间。
2.一致连续函数的性质一致连续函数具有以下性质：(1) 如果函数f在区间I上是一致连续的，则f在I上也是连续的。
这是因为当x从左侧逼近于某个点x₀时，一致连续性保证了f(x)与f(x₀)之间的差的绝对值小于任意给定的正数ε。
(2) 如果两个函数f和g在区间I上是一致连续的，那么它们的和、差、积也在这个区间上是一致连续的。
这个性质可以由绝对值不等式的性质得到。
(3) 如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数M和负数m，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有max{f(x₁), f(x₂)}<M和min{f(x₁), f(x₂)}>m。
这个性质说明了函数值的变化范围可以被任意给定的上下界所限制。
三、一致连续性的应用1.微分方程的解的性质一致连续性在微分方程的求解中有着重要的应用。
例如，如果微分方程描述的是一个物理系统在一组时间段上的状态变化，那么解的一致连续性就保证了系统状态的平滑变化，避免了突变和跳跃。
2.函数的逼近和级数求和一致连续性也是函数逼近和级数求和中的一个重要概念。
(整理)浅谈函数的一致连续性
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable peopleto have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
函数的一致连续性
函数的一致连续性一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在微积分中有着广泛的应用，而且在函数论和拓扑学等领域也扮演着关键的角色。
本文将对一致连续性的定义、性质及其与普通连续性的关系进行深入探讨，并通过例子说明其在实际中的应用。
一致连续性的定义传统的连续性涉及到函数在某一点的邻域内的行为，而一致连续性则进一步扩展了这一概念。
设 ( f: A ) 是定义在集合 ( A ) 上的一个函数。
如果对任意的 ( > 0 )，存在一个 ( > 0 )，使得对于所有的 ( x, y A )，只要满足 ( |x - y| < )，就有 ( |f(x) -f(y)| < )，那么我们称函数 ( f ) 是在 ( A ) 上一致连续的。
这种定义与普通的连续性不同，普通的连续性要求在特定点附近都能找到适合的 ( ) 值，而一致连续性则要求这个 ( ) 值能够适用于整个区间或集合。
这种“整体”性质使得一致连续性在分析中极具吸引力。
一致连续性的性质性质一：一致连续性的充要条件一致连续性最重要的一个性质是其与有界闭集上连续性的关系。
即如果函数 ( f: [a, b] ) 在区间上是连续的，并且该区间是有界闭集，那么函数 ( f ) 是一致连续的。
这一性质也可以称为“海涅-博尔查诺定理”的一种表现。
性质二：复合函数的一致连续性如果 ( f: A B ) 和 ( g: B C ) 都是显式一致连续的函数，那么复合函数 ( g(f(x)) ) 也是一致连续的。
这为我们提供了在处理复杂问题时的一种手段，可以将多个容易处理的一致连续函数组合起来。
性质三：一致连续函数的有限性如果一组函数 ( f_n: A_n B_n ) 是一致连续的，并且它们都定义在相同的集合上，则它们的一致收敛也将保持一致性，即如果( f_n(x) f(x) )（对所有 ( x A_n )），那么 ( f(x) ) 同样是一致连续的。
一致连续性与普通连续性的关系虽然所有的一致连续函数都是普通连续函数，但并非所有普通连续函数都是一致连续函数。
函数的一致连续性
在区间X上一致连续 注3:f(x)在区间 上一致连续，区间 ⊂X,则f(x)在区间 在区间 上一致连续，区间E⊂ 则 在区间 E上一致连续 上一致连续. 上一致连续
数学分析选讲
多媒体教学课件
函数f(x)=x2在区间 在区间[0,b]上一致连续，其中 是一 上一致连续， 例1 函数 上一致连续 其中b是一 个正常数,而在区间 上非一致连续. 个正常数 而在区间[0,+∞)上非一致连续 而在区间 ∞ 上非一致连续 证明：对任意ε 对任意x 证明：对任意ε>0 ,对任意 ′,x″∈[0,b] ,由于 对任意 由于
因此
| f ( xn ) − f ( xm ) |< ε
是基本列,由柯西准则 收敛.由归结原则 故{f(xn)}是基本列 由柯西准则 是基本列 由柯西准则,{f(xn)}收敛 由归结原则 收敛 由归结原则, f(a+0)存在且有限 同理可证 存在且有限.同理可证 存在且有限. 存在且有限 同理可证f(b-0)存在且有限 存在且有限
f ( a + 0), f ( b − 0)
存在且有限. 存在且有限 证明：[充分性 设 充分性]设 证明： 充分性
x=a f (a + 0), F ( x ) = f ( x ), a< x<b f (b − 0), x=b
数学分析选讲
多媒体教学课件
在闭区间[a,b]上连续 从而一致连续 因此 上连续,从而一致连续 因此F(x)在开区 则F(x)在闭区间 在闭区间 上连续 从而一致连续.因此 在开区 上一致连续， 在开区间(a,b)上一致连续 上一致连续. 间(a,b)上一致连续，即f(x)在开区间 上一致连续 在开区间 上一致连续 [必要性 即f(x)在开区间 必要性] 在开区间(a,b)上一致连续 则对任意 上一致连续,则对任意 必要性 在开区间 上一致连续 ε>0,存在δ>0,对任意 ′,x″∈(a,b ),当|x′-x″ |< δ时,有 存在δ 对任意 对任意x 存在 当 有
一致连续性定理
一致连续性定理
汇报人：XX
目录
01
添加目录标题
02
一致连续性定理的定义
03
一致连续性定理的证明
04
一致连续性定理的推论
05
一致连续性定理的应用实例
06
一致连续性定理的扩展和展望
添加章节标题
一致连续性定理的定义
描述一致连续性定理的数学定义
一致连续性定理是实分析中一个重要的定理，它在函数的极限、可微性和积分等领域有着广泛的应用。
一致连续性定理是实分析中的一个基本定理，它定义了函数在某个区间上的一致连续性。
一致连续性定理指出，如果函数在区间上满足一致连续性的条件，则该函数在区间上是一致连续的。
解释一致连续性定理在数学中的重要性
数学分析的基础：一致连续性定理是数学分析的重要基础，它为研究函数的连续性和可微性提供了理论支持。
函数性质研究：一致连续性定理在研究函数的性质时具有重要作用，它可以帮助我们更好地理解函数的极限、连续性和可微性等性质。
解决数学问题：一致连续性定理在解决数学问题时具有广泛应用，例如在解决微分方程、积分方程等数学问题时，一致连续性定理可以提供重要的理论支持。
推动数学发展：一致连续性定理是数学发展的重要里程碑之一，它为后续的数学研究提供了重要的理论支撑和启示。
说明一致连续性定理的应用领域
数学分析：用于研究函数的极限和连续性
一致连续性定理在复分析中也有重要的应用，特别是在全纯函数的研究中。
分析一致连续性定理未来的研究方向和前景
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研究前景：研究一致连续性定理的更深层次的理论基础，以及其在解决实际问题中的应用前景。
研究方向：探讨一致连续性定理在不同领域的应用，如数学、物理、工程等。
函数的一致连续性
1 引言 1.1 函数连续性定义 设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-也趋于零，那么就称函数()f x 在点0x 连续。
设0x x x=+∆则x ∆→就是x x →，()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=-即 ()()0f x f x y =+∆可见0y ∆→就是()()0f x f x →因此（1）式与lim x x →()f x =()0f x 相当。
所以，函数()f x 在点0x 连续的定义又可叙述如下设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()f x 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0f x 即那么就称函数()f x 在点0x 连续。
由函数()f x 当0x x →时的极限的定义可知，上述定义也可用“ε-δ”语言表达如下：设函数()y f x =在0x 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数δ，使得对于适合不等式0x x δ-<的一切x 对应的函数值()f x 都满足不等式()()0f x f x -<ε那么就称函数()f x 在点0x 连续。
1.2 函数一致连续性定义定义 设函数()f x 在区间I 有定义,若∃ε> 0 , ∀ δ> 0 ,∃1x ,2x ∈I| 1x -2x | <δ,有|()()12f x f x - | <ε, 称函数()f x 在I 一致连续。
[１]对函数的一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题: (1) 要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。
比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知:前者的δ不仅与ε有关,而且还与点0x 有关,即对于不同的0x 一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续;后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的。
函数的一致连续性(老黄学高数第131讲)
2、证明函数y= 在(0,1)内不一致连续. （尽管它在(0,1)内每一点都连续） 证：(如图)取ε0=2，对足够小的正数δ< ，有 x’=δ，x”= ，使|x’-x”|= <δ，
而
= >ε0.
∴y= 在(0,1)内不一致连续.
1、试用一致连续的定义证明： 若f,g都在区间I上一致连续，则f+g也在I上一致连续.
老黄学高数
第131讲 函数的一致连续性
设f为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0， 存在δ>0，使对任何x’，x”∈I，只要|x’-x”|<δ，就有 |f(x’)-f(x”)|<ε，则称函数f在区间I上一致连续.
1、证明f(x)=ax+b(a≠0)在R上一致连续. 证：任给ε>0，对任何x’，x”∈R， 要使|f(x’)-f(x”)|=|(ax’+b)-(ax”+b)|=|a|·|x’-x”|<ε， 只要取δ= >0，则当|x’-x”|<δ时，就有|f(x’)-f(x”)|<ε，
证：∵f,g在I上一致连续，∴∀ε>0， ∃正数δ1和δ2，使 对任何x’,x”∈I，只要|x’-x”|<δ1，就有|f(x’)-f(x”)|<ε/2； 只要|x’-x”|<δ2，就有|g(x’)-g(x”)|<ε/2； 取δ=min(δ1,δ2)，则只要|x’-x”|<δ，就有 |[f(x’)+g(x’)]-[f(x”)+g(x”)]|=|[f(x’)-f(x”)]+[g(x’)-g(x”)]| ≤|f(x’)-f(x”)|+|g(x’)-g(x”)|<ε， ∴f+g也在I上一致连续.
函数的极限与一致连续性
函数的极限与一致连续性函数是数学中的重要概念之一，而函数的极限和一致连续性是函数分析中的基本概念。
本文将介绍函数的极限和一致连续性的定义、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数分析中一个重要的概念，它描述了当自变量趋于某个特定值时，函数的取值的趋势。
以下是函数的极限的定义：定义1：设函数f(x)在无穷邻域U(x)内有定义，如果存在常数A，对于任意小的ε>0，存在与x无关的正数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，那么称函数f(x)当x趋于x0时的极限为A，记为lim┬(x→x₀)f(x)=A。
其中，ε代表误差的允许范围，δ代表自变量x与x0的距离。
函数的极限存在的条件是对于任意给定的ε，总存在一个δ，使得当自变量x与x0的距离小于δ时，函数的取值与极限A的差的绝对值小于ε。
函数的极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、加减乘除运算等。
在数学中，函数的极限的计算和性质是许多数学分析和微积分的重要基础。
二、函数的一致连续性函数的一致连续性是指函数在定义域上的每一点都满足连续性的性质。
以下是函数的一致连续性的定义：定义2：设函数f(x)在定义域I上有定义，对于任意给定的ε>0，存在与ε无关的正数δ>0，使得当任意两个自变量x1和x2满足|x1-x2|<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，那么称函数f(x)在定义域I上一致连续。
可以看出，函数的一致连续性与函数在每一点的连续性不同，它要求函数的连续性在整个定义域上都成立。
函数的一致连续性保证了函数的取值在定义域上的小波动不会造成函数取值的大波动。
函数的极限和一致连续性在数学分析、微积分以及实际问题的求解中有着广泛的应用。
三、极限与连续性的应用1. 极限的应用在微积分中，函数的极限是导数和积分的基本概念。
导数表示函数变化的速率，而极限则用来计算函数的导数。
函数一致连续的若干方法
函数一致连续的若干方法函数的一致连续性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在整个定义域上的连续性质。
简单来说，如果一个函数在整个定义域上都连续，我们就称这个函数是一致连续的。
一致连续性是一种比普通连续性更强的性质，它保证了函数的连续性在整个定义域上都保持一致，没有局部的不连续点。
要理解一致连续性，我们先回顾一下连续性的定义。
在数学中，函数f(x)在点x=a处是连续的，意味着满足以下三个条件：1.函数f(x)在点x=a处有定义；2. 函数f(x)在点x=a处有极限，即lim(x -> a) f(x)存在；3. 函数f(x)在点x=a的极限值等于函数f(x)在点x=a处的函数值，即lim(x -> a) f(x) = f(a)。
而函数f(x)在整个定义域上连续，则需要对每一个点x=a都满足上述三个条件。
但是，连续性并不保证函数在定义域上的每个点都有相同的性质。
因此，我们引入了一致连续性的概念。
函数f(x)在定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε，其中x和y是定义域上的任意两个点。
接下来，介绍几种常用的方法来证明函数的一致连续性。
1. 利用函数的Lipschitz常数：如果存在一个正数K，对于定义域上的任意两个点x和y，满足，f(x) - f(y)，≤ K，x - y，则函数f(x)是一致连续的。
这里的K称为Lipschitz常数。
证明时可以通过计算函数的导数或者构造辅助函数来得到Lipschitz常数。
2.利用连续性和有界性：如果函数f(x)在定义域上连续，并且有界，即存在一个正数M，使得对于任意的x，f(x)，≤M，那么函数f(x)是一致连续的。
这个方法相对简单，通过连续性可以找到一个正数δ，在这个δ范围内，函数值的变化受到有界性的限制。
3. 利用Cauchy收敛准则：如果函数f(x)在定义域上满足Cauchy收敛准则的条件，即对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x - y，< δ时，有，f(x) - f(y)，< ε，那么函数f(x)是一致连续的。
论函数的一致连续
论函数的一致连续摘要：在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题提出和得不够，广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一致连续的条件、运算性质。
关键词：函数一致连续概念条件运算性质1.一致连续及其相关概念定义1设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上连续是指，某∈I，ε＞0，δ＞0，当某∈I且某-某＜δ时，有f（某）-f （某）＜ε.定义2设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上一致连续是指，对ε＞0，δ＞0（其中δ与ε对应而与某，y无关），使得对区间I上任意两点某，y，只要某-y＜δ，就有f（某）-f（y）＜ε.定义3设f（某）在区间I有定义，称函数f（某）在区间I上不一致连续是指，至少一个ε＞0，对δ＞0，都可以找到某′，某″∈I，满足|某′-某″|＜δ，但|f（某′）-f（某″）|≥ε.评注1：比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知，连续性的δ不仅与ε有关，而且与某有关，即对于不同的某，一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续，函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关，与某无关，即对于不同的某，δ是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续，而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的，反之，在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2：一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小.用定义证明f（某）在I上一致连续，通常的方法是设法证明f（某）在I上满足Lipchitz条件|f（某′）-f（某″）|≤L|某′-某″|，某′，某″∈I，其中L为某一常数，此条件必成立.特别地，若（某）在I上是有界函数，则f（某）在I上Lipchitz条件成立.2.一致连续的条件及有关结论2.1一致连续的条件定理1（G•康托定理）若函数f（某）在区间［a，b］上连续，则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε＞0，可以分区间［a，b］成有限多个小段，使得f（某）在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε，以下用反证法证之，若上述事实不成立，则至少对于某一个某＞0而言，区间［a，b］不能按上述要求分成有限多个小段.将［a，b］二等分为［a，c］、［c，b］，则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，把它记为［a，b］.再将［a，b］二等分为［a，b］、［c，b］，依同样的方法取定其一，记为［a，b］.如此继续下去，就得到一个闭区间套［a，b］，n=1，2，…，由区间套定理知，唯一的点c属于所有这些闭区间.因为c∈［a，b］，所以f（某）在点某=c连续，于是可找到δ＞0，使|某-c|＜δ（某∈［a，b］）时，|f（某）-f（c）|＜ε/2.注意到c==我们可取充分大的k，使|a-c|＜δ，|b-c|＜δ，从而对于［a，b］上任意点某，都有|某-c|＜δ，因此，对于［a，b］上的任意两点某，某都有|f（某）-f（某）|≤|f（某）-f（c）+f（c）-f（某）|＜+=ε.这表明［a，b］能按要求那样分为有限多个小段（其实在整个［a，b］上任意两点的函数值之差已小于ε了），这是和区间［a，b］的定义矛盾的，这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的，从而定理的结论正确.评注3：定理1对开区间不成立.例如函数f（某）=在（0，1）的每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.事实上，对于任意小的δ＞0，令某=δ，某=2δ，则|某-某|=δ，而|f（某）-f（某）|=-=，这时|某-某|可以任意小，但|f（某）-f（某）|可以任意大.函数f（某）=tan某在（-，）也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数，而in在（0，1）内的每一点都连续，且显然在这个区间内有界，然而它也没有一致连续性，因为有任意小（因而也就彼此任意接近）的数某与某存在，使in=1，in=-1.定理2f（某）在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足（某-y）=0的任意两数列{某}、{y}，必有［f（某）-f（y）］=0.证明：必要性.若f（某）在I上一致连续，由一致连续性的定义，坌ε＞0，埚δ＞0，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|＜ε，即任两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，则必有|f（某）-f（y）|→0.充分性.用反证法，若两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，|f（某）-f（y）|→0而f（某）在I上不一致连续，那么一定埚ε＞0，对坌δ＞0，存在某，y，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|≥ε0，取δ→0，我们得到两数列{某}、{y}，当n→∞时，某-y→0，但|f（某）-f（y）|≥ε，这与假设［f（某）-f（y）］=0矛盾.评注4：定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如，函数f（某）=in，在区间（0，1）上是连续的且有界，但在此区间上并非一致连续.事实上，当某≠0时，由基本初等函数在其有定义的区间上连续知，f（某）是连续的，同时，由于|f（某）|≤1，因而它也是有界的.现考虑（0，1）上的两串数列某=，某′=，则当0＜ε＜1时，不论δ＞0取得多么小，只要n充分大，总可以使|某-某′|=＜δ，但是|f（某）-f（某′）|=1＞ε，因而f（某）在（0，1）上并非一致连续.定理3设f（某）在有限区间I上有定义，那么f（某）在I上一致连续的充要条件是对任意柯西（Cauchy）列{某}I，{f（某）}R′也是Cauchy列.证明：必要性.因f（某）一致连续，即对ε＞0，δ＞0，对某′，某″∈I，只要|某′-某″|＜δ，就有|f（某′）-f（某″）|＜ε.设{某}I为Cauchy列，于是对上面的δ＞0，必N＞0，使当n，m＞N时，有|f（某）-f（某）|＜ε，即{f（某）}是Cauchy列.充分性.若不然，必ε＞0，某′，某″∈I，虽然某′-某″＜，但是|f（某′）-f（某″）|≥ε，由{某′}有界知，存在收剑子列{某′}，从而{某″}也收剑于同一点，显然某″，某″，某″，…，是Cauchy列，但是f（某″），f（某″），f（某″），…，不是Cauchy列，此为矛盾，故f（某）在I上一致连续.定理4设f（某）在有限区间（a，b）上连续，则f（某）在（a，b）上一致连续的充要条件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.证明：充分性.令F（某）=f（a+0）（某=a），f（某）（某∈（a，b）），f（b-0）（某=b），则F（某）∈C［a，b］，因此F（某）在［a，b］上一致连续，从而f（某）在（a，b）上一致连续.必要性.已知f（某）在（a，b）上一致连续，所以对于ε＞0，δ＞0，当某′，某″∈（a，b）且|某′-某″|＜δ时，|f（某′）-f （某″）|＜ε成立.对端点a，当某′，某″满足0＜某′-a＜，0＜某″-a＜时，就有|某′-某″|≤|某′-a|+|某″-a|＜δ，于是|f（某′）-f（某″）|＜ε.由Cauchy收敛准则，f（a+0）存在且有限，同理可证f（b-0）存在且有限.评注5：（1）当（a，b）为无穷区间，本例中条件是f（某）在（a，b）上一致连续条件充分但不必要.例如f（某）=某，Φ（某）=in某，某∈（-∞，+∞）及g（某）=，某∈（0，+∞）均为所给区间上的一致连续函数，但f（-∞）=-∞，f（+∞）=g（+∞）=+∞，Φ（+∞）和Φ（-∞）不存在.（2）定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如，研究下列函数在所示区间上的一致连续性.（i）f（某）=（0＜某＜π）;（ii）f（某）=eco（0＜某＜1）.解：（i）因为=1，=0，所以f（某）在（0，π）内一致连续.（ii）因为co某不存在，所以f（某）在（0，1）内不一致连续.（3）由定理知，若f（某）∈C（a，b），则f（某）可连续延拓到［a，b］上的充要条件是f（某）在（a，b）上一致连续.定理5f（某）在区间I上一致连续的充要条件是，对ε＞0及某，y∈I，总正数N，使|f（某）-f（y）|＞N|某-y|（1）.恒有|f（某）-f （y）|＜ε（2）.证明：因为f（某）在I上一致连续的定义等价于：对坌ε＞0，埚δ＞0，使得对于坌某，y∈I，如果|f（某）-f（y）|≥ε（3），就有|某-y|≥δ.而题设条件为对ε＞0，N＞0，对某，y∈I，当不等式（3）成立时，|f（某）-f（y）|≤N|某-y|（4）充分性.若题设中条件成立，则由（4）式得|某-y|≥|f（某）-f（y）|，再由（3）式得|某-y|≥，所以对给定的ε＞0，只要取δ=，当某，y∈I，且满足（3）时，就有|某-y|≥δ成立.必要性.若f（某）在I上一致连续，则对任给的ε＞0，存在δ＞0，使当某，y∈I，且满足不等式（3）时，就有不等式|某-y|≥δ成立，故整数k，使得kδ≤|某-y|≤（k+1）δ.（5）不妨设某＜y，将［某，y］分成k+1等分，记某-1（i=1，…，k+1）为其分点，由（5）式知|某-某|=||＜δ，故|f（某）-f（某）|＜ε，i=1，2，…，k+1，||≤|f（某）-f（某）|/kδ＜＜令N=［］+1，则当I中的点某，y使（3）式成立时，必有（4）式成立，从而（1）式成立时，有（2）式成立.评注6：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范，它在理论研究上具有一定的意义.2.2一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题.命题1：设Φ（某）与ψ（某）在区间I上一致连续，则αΦ（某）+βψ（某）在I上一致连续（α，β为任意常数）.命题2：设Φ（某），ψ（某）在有限区间I上一致连续，那么ψ（某）ψ（某）在I上也一致连续.命题3：设Φ（某），ψ（某）在无限区间I上一致连续且有界，那么Φ（某）ψ（某）在I上也一致连续.其中“有界”的条件不可少，例如f（某）=某在（-∞，+∞）上一致连续，但无界，而f（某）•f（某）=某在（-∞，+∞）上不一致连续.命题4设Φ（某）在区间I上一致连续且infF（某）＞0，那么在I 上也一致连续.最后应指出，一致连续函数的反函数，一般说来，不再一致连续，例如f（某）=在（0，+∞）上一致连续而它的反函数f（某）=某在（0，+∞）内不一致连续，但可以证明在有限区间上，结论为真.。
一致连续与一致收敛的关系
一致连续与一致收敛的关系由于函数项级数的收敛等价于函数序列的收敛，为简单起见，下面只对函数序列作讨论。
定理如果函数序列)(x F n ，⋯,3,2,1=n 中的每一个函数都在区间I 上一致连续，当∞→n 时，)(x F n 区间I 上一致收敛于函数)(x F ，那么)(x F 也在区间I 上一致连续。
证任意给定一个0>ε。
因为)(x F n 区间I 上一致收敛于函数)(x F ，所以对于给定的03>ε，必有一个与x 无关的正整数N ，使得当N n ≥时，对任何I x x ∈21,，有3)()(11ε<−x F x F n ，3)()(22ε<−x F x F n 。
现在取定N n =，因为)(x F N 在区间I 上一致连续，所以对于给定的03>ε，必有一个与x 无关的正数0>δ，使得对任何I x x ∈21,，只要有δ<−21x x ，就一定有3)()(21ε<−x F x F N N 。
所以，对于给定的0>ε，可以找到与x 无关的正整数N 和正数0>δ，使得对任何I x x ∈21,，只要有δ<−21x x ，就一定有)()([)]()([)]()([)()(22211121x F x F x F x F x F x F x F x F N N N N −+−+−=−)()()()()()(222111x F x F x F x F x F x F N N N N −+−+−≤εεεε=++<333。
由此可见，)(x F 在区间I 上一致连续。
如果将上述定理的条件减弱一点，结论就不一定成立了。
（一）如果函数序列)(x F n ，⋯,3,2,1=n 中的每一个函数都在区间I 上连续（但不是一致连续），当∞→n 时，)(x F n 区间I 上一致收敛于函数)(x F ，这时)(x F 不一定在区间I 上一致连续。
例取nx x F n 11)(+=，⋯,3,2,1=n ，其中每一个函数都在区间),0(∞+上连续（但不是一致连续），当∞→n 时，nx x F n 11)(+=显然在区间),0(∞+上一致收敛于x x F 1)(=。
连续有界函数一致连续
连续有界函数一致连续连续有界函数是指在定义域上连续且存在界的函数。
而一致连续是连续的一种更强的性质，它要求函数在整个定义域上都具有一致的连续性。
本文将详细介绍连续有界函数一致连续的概念、性质以及与其他相关概念的关系。
我们来回顾一下连续函数的定义。
对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε成立，那么我们称函数f在点x0处连续。
如果函数f在定义域上的任意点都连续，我们称函数f在整个定义域上连续。
而有界函数是指存在一个实数M，使得对于定义域上的任意x，有|f(x)|≤M。
也就是说，函数f的值都在一个有界的区间内。
连续有界函数一致连续的概念是在连续函数和有界函数的基础上提出的。
具体来说，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε对于定义域上的任意两个点x 和x0都成立，那么我们称函数f在整个定义域上一致连续。
连续有界函数一致连续的性质有以下几个方面：1. 连续有界函数一致连续的充分条件是定义域是一个闭区间。
也就是说，如果函数f在一个闭区间上连续有界，那么它就是一致连续的。
这是因为闭区间上的连续函数一定是一致连续的，而有界函数在闭区间上一定存在界。
2. 连续有界函数一致连续的性质可以通过取极限来证明。
具体来说，如果函数f在定义域上连续有界，那么对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε对于定义域上的任意两个点x和x0都成立。
我们可以通过极限的性质，将该条件推广到整个定义域上，从而证明函数f在整个定义域上一致连续。
3. 连续有界函数一致连续与函数的Lipschitz性质有关。
如果函数f在定义域上满足|f(x)-f(y)|≤K|x-y|，其中K为一个常数，那么函数f是一致连续的。
函数一致连续性的定义与性质文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学函数一致连续性的定义与性质一、前言部分函数一致连续是从函数连续的概念派生出来的，函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。
对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。
是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小.连续与一致连续是建立在函数极限概念的基础之上，用以刻划函数的变化情况和研究函数性质的两个基本的数学分析概念.通常人们说的连续是指不间断，其对立面就是间断.而数学上函数连续与间断的概念，也正是函数在变化过程中渐变与突变的一种反映.因此从几何直观来看，连续函数的特点就在于它的图象是一条连续不斯的曲线；而从分析的角度来看，函数()f x 在一点0x 处连续，包含着以下三层意思：（1）()f x 在0x 处有定义，即()0f x 是一个确定的常数；（2）()f x 在0x 处有极限，即()0lim x x f x →存在； （3）()f x 在0x 处的函数值与极限值相等，即()()00lim x x f x f x →=. 如果以上任何一个条件被破坏，()f x 在点0x 处就不连续了，这时0x 叫做()f x 的间断点.这就是说：如果函数()f x 在点0x 及其附近有定义，而且()()00lim x x f x f x →=，就说()f x 在点0x 处连续.其实函数在变化过程中，并没有仅仅在一点连续的情形，较常见的是函数在区间上连续的概念.定义1 若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数（见文献[1][2][3]）.根据定义1可知，如果函数()f x 在区间I 上连续，则对于事先任意给定的正数ε，就I上的每一点0x 来说，都可以分别找到相应的正数δ，使得对于I 上的点，只要0x x δ-p ，就有()()0f x f x ε-p .其中δ的大小不仅与给定的ε有关,而且与点0x 的位置有关.对于同一个ε，当0x 在I 上变动时，一般来说δ的大小也将随着改变，即δ是依赖于0x 的.如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点0x 在I 上的位置无关，也即是说，对于给定的正数ε，存在这样一个正数δ，它适用于区间I 上所有的点0x ，那么这时()f x 就在I 上一致连续.定义2 函数()f x 定义在区间I 上，如果对于事先任意给定的正数ε，总可以找到这样一个正数δ，对I 上任意两点1x ，2x ，只要12x x δ-p ，就有()()12f x f x ε-p ，那么就说函数()f x 在区间I 上一致连续（见文献[2][3][4]）.一致连续的特点在于，只要I 上的两点接近到同一个程度，就可以使这两点对应的函数值达到所需要的接近程度.因此，它从整体上反映出()f x 在I 上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个重要性质.历史上关于函数一致连续性的研究从未间断，中外大多学者在一元函数一致连续性的判定方面都取得了喜人的理论成果，本篇文献综述将对前人在函数一致连续性定义、性质、判定理论方面的研究作总结性陈述. 二、主题部分关于函数一致连续性的研究已经取得了较为丰富的结果，现将已有文献的理论成果综述如下：文献[5-6]研究函数一致连续的判别方法.其中文献[5]中，作者讨论了一致连续函数的判别及分布.作者指出，关于一致连续函数在平面上的分布，可归纳为以下情况：a 、对于有限区间上的一致连续函数，由于有界性，所以它必包含在一个矩形之内，矩形的边平行坐标轴；b 、对于无限区间来说，凡有垂直渐近线的连续函数都不是一致连续函数，因此，它的“无限部分”应限制在个角形之内，而角形的边不与坐标轴垂直；对于无渐近线的有界或无界的连续函数，如果当x 趋于无穷大时，其切线斜率趋于有限数，则其必为一致连续函数，因此，它应限制在某个角形之内.总之，一致连续函数是分布在平面上的一个“槽形”区域之内，当x 趋于无穷大时，其切线斜率为有界的一类连续函数.文献[6]中，作者给出了用导数判别函数在一般区间上一致连续的方法.并举例说明不可以建立关于一致连续的比较判别法. 文献[6]的主要结论可总结如下：定理1 若函数()f x 在区间I （I 可开、半开、有限或无限.下同）可导，且()f x '在I 有界.则函数()f x 在I 一致连续.定理2 若函数()f x 在区闻[,)a +∞（或(,]b -∞）可导.且()lim x f x →+∞'=∞（或 ()lim x f x →-∞'=∞），则()f x 在[,)a +∞（或(,]b -∞）非一致连续.定理3 若函数()f x 与()g x 在区间I 可导，且()()0f x g x ''≥f ，则（1） 当()f x 在I 一致连续时，()g x 在I 一致连续；（2） 当()g x 在I 非一致连续时，()f x 在I 非一致连续.上面这个定理指出可以根据两个导数间的关系判断函数的一致连续性，进一步的是否能直接利用两个函数（绝对值）的大小关系建立一致连续的“比较判别法”，作者举出了一个例子对这个问题予以否定回答.文献[7]讨论函数一致连续的条件，作者讨论了定义在区间和有界实数集上函数一致连续的充要条件，主要结论总结如下：定理4（Cantor 定理)函数()f x 在区间[],a b 一致连续当且仅当()f x 在区间[],a b 连续.（充分性也可参考文献[8]）定理5 在有界实数集E 上定义的函数()f x 在E 上一致连续的充要条件是E 内任意 的收敛数列{}n x 其对应的函数值数列()n f x 也是收敛的.定理6 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是对任给的正数ε，及x '，x I ''∈， 总存在正整数N ，使得当()()f x f x N x x '''-'''-f 时，有()()f x f x ε'''-p . 定理7 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是区间I 上满足()lim 0n n n x y →∞-=的任意两数列{}n x ,{}n y 总有()()()lim 0n n n f x f y →∞-=. 文献[9]中，作者给出了一元函数在区间上一致连续的一个等价条件，并运用它证明了一些函数的一致连续性.定理8 设f 是区间I 上的函数，那么f 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：存在0r f 及定义在[]0,r 上满足()0lim 0h g h →+=的函数g ，使得对任意的[]0,h r ∈和x I ∈，只要x h I +∈，就有()()()f x h f x g h +-≤.由上面定理的证明，作者得出了一个推论，结论是：f 是区间I 上的函数，若()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠，则f 在区间I 上不一致连续.事实上，同样容易证明：如果f 在区间I 上不一致连续，则()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠.这个推论是证明函数非一致连续的一种有效方法.文献[10]中，作者给出了函数()f x 在某集上不一致连续的一种规范证明方法. 证明1 ()2f x x =在()r -∞∞p p 上不一致连续. 证明2 ()1f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明3 ()21f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明4 ()1sin f x x =在2(0,]π上不一致连续. 文献[11]中，作者研究了函数的一致连续性问题，提出判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法判定定理：定理9 函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，若满足()()()lim x f x Ag x B →+∞-=成立（其中A 为非零定值，B 为定值）.则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.文章给出证明，随后作者又给出了四个相关的命题定理，并对这些定理一一证明其正确性.定理10 设函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，()f x ，()g x 满足：（1）()()lim lim x x f x g x →+∞→+∞==∞， （2）()f x ，()g x 在I 上可导，且()0g x '≠，（3）()()lim x f x g x →∞''存在，若()()lim x f x A g x →∞=，（A 为非零定值），则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.在这个定理的引申下，文章再次给出了五个相关的结论，都为判定函数一致连续提供了理论依据，更方便的函数一致连续的判定.对于函数的一致连续性问题，作者提出并证明了判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法，从而大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围.文献[12]中，作者研究得到了函数一致连续的几个充分条件. 文献[12]的主要结论可总结如下：定理11 若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上单调，且()Df x 在I 内处处存在、有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.在此基础上作者给出两个推论，一个是：若函数()f x 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.另一个是：若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上，满足一定的条件，就可以得到函数是一致连续的.文章对得出的定理给出了详细证明.文献[13]中，作者给出函数在无限区间上一致连续的三个判别条件，并对文献[14]的两个判别定理进行了改进. 文献[13]的主要结论可总结如下：定理12 若函数()f x 是可微函数，且()f x '在区间I （I 可开、半开、有限或无限）上有界，则()f x 在I 上一致连续.定理13 若函数()f x 在[,)a +∞上一致连续，()x φ在[,)a +∞上连续，且()()lim 0x f x x φ→+∞-=⎡⎤⎣⎦则函数()x φ在[,)a +∞上一致连续（以上两个定理的证明参考文献[15]）.定理14 实函数()f x 在[0,)+∞上连续，在[0,)+∞内处处可导，且()lim x f x A →+∞'=存在，则当且仅当A +∞p 时，()f x 在[0,)+∞上一致连续.定理15 设存在0L f ，使对任意x '，x I ''∈，都有：()()()()f x f x L g x g x ''''''-≤-成立，而()g x 在区间I 上一致连续，则()f x 在I 上一致连续.定理16 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且x →+∞时，()f x 有渐近线y ax b =+.则()f x 在[,)a +∞上一致连续.定理17 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()lim 0x bx f x →+∞-=⎡⎤⎣⎦，其中b 是非零常数，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.三、总结部分数学是一门基础学科，我们生活的方方面面无不有数学的影子在里面，，它不仅指导我们进行生产和学习，同时对我们认识自然，了解事物的本质都有着积极的作用．函数一致连续性近几年在自然界和生活中有着广泛的应用背景，因此近几年关于函数一致连续性的各方面研究都取得了突破性的进展，这些研究成果渗透到了社会的方方面面，为社会的发展做出了重要的贡献，各国的专家学者对函数一致连续性做了深入的研究，并且已经取得很多重要的有益的结论，并且这些结论在函数一致连续性的研究上经常被采用．根据所总结的文献来看，许多学者已对函数一致连续性的性质、定义以及定理、应用进行了研究，然而以上有关函数一致连续性的定义与性质的文献总结都是在一元函数的框架下，而二元函数的研究显得很微弱，所以将一元函数的相关定理推广到二元函数中是很有必要的.这就是说函数一致连续性还尚存在很多不明确的问题，多元函数一致连续性还有很多需要解决的问题.所以随着科学技术的发展，时间的推移，我相信多元函数一致连续性的研究应用，会越来越占有重要的位置.四、参考文献[1] 华东师范大学数学系·数学分析(上册第三版)[M]·北京：高等教育出版社，2001[2] T.M ·Apostol.Mathematical Analysis[M]·Addison-Welsey Publishing Compony,inc.,1974[3] 菲赫金哥尔茨·微积分学教程[M]·北京：人民教育出版社，1959[4] 王孚和·连续与一致连续[J]·江西教育学院，教学参考资料：41─43[5] 袁南桥·一致连续的判别及分布[J]·四川文理学院学报，2007，17(2)：6─7[6] 鞠正云·用导数判别函数的一致连续性[J]·工科数学，1999, 15(1):127─129[7] 赵向会·函数一致连续性的几个充要条件[J]·张家口职业技术学院学报，2007, 20(4):75─77[8] 裴礼文·数学分析中的典型问题与方法[M] 北京：高等教育出版社，1993[9] 成波，李延兴·函数一致连续的一种新证法[J]·安康师专学报，2006，18(4)：71─72f x在某集上的一致连续性[J]·内江师范高等专科学校学[10] 黄崇智·关于()报，2000，15(2)：14─17[11] 杨小远·关于函数一致连续的判别方法研究[J]·北京航空航天大学[12] 邱德华，李水田·函数一致连续的几个充分条件[J]·大学数学，2006，22(3)：136─138[13] 陈惠汝，何春羚·再探函数在无穷远处的一致连续性[J]·宜春学院学报，2006，28(2) ：45 ─46[14] 杨中南·函数在无穷远处的一致连续性[J]·集美大学报，1997，2(1)：70─75[15] 陈慧汝·函数一致连续判别法的再研究[J]·数学教学研究，2005，(1)：57─58。
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第一章 集合与简易逻辑(一)(B 卷)第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.数集{1，2，x 2-3}中的x 不能取的数值的集合是A.{2，5}B.{-2，-5} C.{±2,±5} D.{2,- 5} 2.若|3x -1|＜3,化简162492+-x x +41292++x x 的结果是A.6x -2B.-6C.6D.2-6x 解析:由|3x -1|＜3,解得-32＜x ＜34. ∴162492+-x x +41292++x x =2)43(-x +2)23(+x =|3x -4|+|3x +2|=-(3x -4)+(3x +2)=6. 答案:C3.已知M ={x |x1＜1},N ={y |y =x 2},则M ∩N 等于 A.∅ B.{x |x ＞1} C.{x |x ＜0} D.{x |x ＜0或x ＞1} 解析:M ={x |x ＞1或x ＜0},N ={y |y ≥0},两个集合都是数集，集合中的元素是数，易知M ∩N ={x |x ＞1}. 答案:B4.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式错误的是A.( I A )∪B =IB.( I A )∪(I B )=IC.A ∩(I B )= ∅D.( I A )∩(I B )= I B 解法一:韦恩图法.由题意画出满足条件的图形.如图所示,阴影部分为(I A )∪(I B ),而不是集合I .解法二:特例法.设A ={a ,b ,c },B ={a ,b ,c ,d },I ={a ,b ,c ,d ,e},∵I A ={d ,e},I B ={e},∴(I A )∪(I B )={d ,e}≠I . 答案:B5.下列5个命题,其中正确的个数为①a ∈A ⇒a ∈A ∪B ②A ⊆B ⇒A ∪B =B ③a ∈B ⇒a ∈A ∩B ④A ∪B =B ⇒A ∩B =A ⑤A ∪B =B ∪C ⇒A =CA.2B.3C.4D.5 解析:①②④正确;③错误，例如A =∅;⑤错误，例如A ={1，2}，B ={3，4}，C ={1，2，3}，显然有A ∪B =B ∪C ，但A ≠C. 答案:B6.若ax 2+ax +a +3＞0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是A.(-4,0)B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.［0,+∞)D.(-∞,0)解析:当a =0时，不等式ax 2+ax +a +3＞0恒成立，∴a 可取0. 答案:C7.已知集合M ={x |x =2k +41,k ∈Z},N ={x |x =4k +21,k ∈Z}.若x 0∈M ,则x 0与N 的关系是A.x 0∈NB.x 0∉NC.x 0∈N 或x 0∉ND.不能确定解法一:可利用代入检验法，令k =0，则x 0=41，对于集合N ，当k =-1时，x =41,∴x 0∈N . 令k =1，则x 0=43,对于集合N ，k =1时，x =43,∴x 0∈N . 归纳得x 0∈N .解法二:集合M 的元素为x =2k +41=412+k (k ∈Z)，集合N 的元素为x =4k +21= (k ∈Z),而2k +1为奇数，k +2为整数，∴总有x 0∈N . 由以上分析知A 正确. 答案:A8.二次函数y =x 2+(a -3)x +1的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2,且x 1＜2,x 2＞2,如图所示,则a 的取值范围是A.a ＜1或a ＞5B.a ＜21 C.a ＜-21或a ＞5 D.-21＜a ＜1 解法一:由题意可得f (2)＜0,即4+(a -3)×2+1＜0,解得a ＜21. 解法二:由题意知方程x 2+(a -3)x +1=0的两根为x 1、x2. ∴⎩⎨⎧<-->∆.0)2)(2(,021x x ∴⎩⎨⎧<++->∆,04)(2,02121x x x x 即⎩⎨⎧<+--∙->+-.04)]3([21,0562a a a 解得a ＜21. 答案:B9.设集合P ={1,2,3,4,5,6},Q ={x ∈R|2≤x ≤6},那么下列结论正确的是A.P ∩Q =PB.P ∩Q QC.P ∪Q =QD.P ∩Q P解析:解这类选择题可采用“直接代入法”，对A 、B 、C 、D 四个答案逐一作出判断,从而确定问题的答案.P ∩Q ={1,2,3,4,5,6}∩{x ∈R|2≤x ≤6}={2,3,4,5,6}是集合P 的真子集. 答案:D10.设函数f (x )=⎩⎨⎧∈-∈,,,,M x x P x x 其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集,又规定f (P )={y |y =f (x ),x ∈P },f (M )={y |y =f (x ),x ∈M }.给出下列四个判断:①若P ∩M =∅,则f (P )∩f (M )= ∅;②若P ∩M ≠∅,则f (P )∩f (M )=∅; ③若P ∪M =R,则f (P )∪f (M )=R;④若P ∪M ≠R,则f (P )∪f (M )≠R.其中正确的判断有A.1个B.2个C.3个D.4个 答案:B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合应为_______.答案:{(x ,y )|-1≤x ≤23,-21≤y ≤1,xy ≥0} 12.不等式3252---x x x ≤-1的解集为_______.解析:原不等式等价于322322--+-x x x x ≤0 )1)(3()1)(2(+---x x x x ≤0⎩⎨⎧≠+-≤---+.0)1)(3(,0)3)(2)(1)(1(x x x x x x 由数轴穿根法可知原不等式解集为{x |-1＜x ≤1或2≤x ＜3}(如图).答案:{x |-1＜x ≤1或2≤x ＜3}13.设集合M ={x ∈Z|x -26∈Z},若用列举法表示集合M ,则M =_______.答案:{-4,-1,0,1,3,4,5,8}14.对于定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)=x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点.若二次函数f (x )=x 2+ax +1没有不动点，则实数a 的取值范围是________.解析:函数没有不动点,即方程x 2+ax +1=x 无解，即x 2+(a -1)x +1=0无解.∴Δ=(a -1)2-4＜0.得-1＜a ＜3.答案:(-1,3)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)已知集合A ={a |22-+x a x =1}有唯一实数解，用列举法表示集合A .解:由22-+x a x =1得⎪⎩⎪⎨⎧≠-=---.02,0222x a x x 由方程x 2-x -a -2=0得Δ=1+4(a +2)=0，解得a =-49,此时x =21满足②. ∴A ={-49}. 16.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-5x +6＜0},B ={x |x 2-4ax +3a 2＜0},且A ⊆B ,求实数a 的取值范围.解:A ={x |x 2-5x +6＜0}={x |2＜x ＜3}，B ={x |x 2-4ax +3a 2＜0}={x |(x -a )(x -3a )＜0}.(1)当a ＞0时,B ={x |a ＜x ＜3a }.∵A ⊆B ,∴⎩⎨⎧≥≤.33,2a a 解得1≤a ≤2.(2)当a ＜0时，B ={x |3a ＜x ＜a }.由A ⊆B ,得⎩⎨⎧≥≤,3,23a a 解集为∅.(3)当a =0时，B ={x |x 2＜0}=∅不合题意.综上(1)(2)(3)可知1≤a ≤2.17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-4x +3＜0},B ={x ||x -3|≤1}.(1)试定义一种新的集合运算Δ，使A ΔB ={x |1＜x ＜2};(2)按(1)的运算，求出B ΔA.① ②解:易得A ={x |1＜x ＜3},B ={x |2≤x ≤4}.(1)∵A ΔB ={x |1＜x ＜2},由上图可知A ΔB 中的元素都在A 中但不在B 中， ∴定义A ΔB ={x |x ∈A 且x ∉B }.(2)由(1)可知B ΔA ={x |x ∈B 且x ∉A }={x |3≤x ≤4}.18.(本小题满分12分)设函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ,不等式(x -a -1)(2a -x )>0(a <1)的解集为B.(1)求A ;(2)若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.分析:本题考查不等式的解及集合的关系等基础知识,可先利用已知条件求出集合A 、B ,然后借助于数轴的直观性解决此类问题.解:(1)由2-13++x x ≥0,得11+-x x ≥0. ∴x <-1或x ≥1,即A =(-∞,-1)∪［1,+∞).(2)由(x -a -1)(2a -x )>0,得(x -a -1)(x -2a )<0.∵a <1,∴a +1>2a .∴B =(2a ,a +1).∵B ⊆A ,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥21或a ≤-2. 而a <1,∴21≤a <1或a ≤-2. 故当B ⊆A 时,实数a 的取值范围是(-∞,-2］∪［21,1). 19.(本小题满分12分)已知汽车从刹车到停车所滑行的距离s (m)与速度v (m/s)的平方及汽车的总重量t (t)的乘积成正比.设某辆卡车不装货物以50 m/s 行驶时，从刹车到停车滑行了20 m.如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶，并与前面的车辆距离为15 m(假设卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1 s)，为了保证前面车辆紧急停车时不与前面车辆撞车，最大限制速度是多少？解:由题意知s =k v 2t,当v =50时,s =20，∴kt =2v s =1251. 设不撞车时的速度为v ，则v 应满足k v 2·2t ＜15-v ·1， 即1252v 2+v -15＜0,解得-75＜v ＜225. 又∵v ＞0,∴0＜v ＜225. 答:最大限制速度是225m/s.。