函数的一致连续性

f
(s)
f (t)
11 st
t
s st
1
2
st
当s t 2时， f (s) f (t) .
几何解释
y
o x'
x
x
例6. 设f在I上满足Lipschitz条件： L 0,
x1, x2 I , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) L x1 x2 ,
求证：f在I上一致连续.
1
1
总有 x1 x2 | x1 x2 |2 2 .
例3. f ( x) x2，在0,上不一致连续.
证明： sn
n, tn
n
1 2n
,
sn
tn
1 2n
1. n
f
(sn )
f
(tn )
n2
(n
1 )2 2n
(2n
1 ) 1 2n 2n
1.
进而x n 在0, 上不一致连续.
x 一致连续性?
2008／11／04
§2.9 函数的一致连续性
一、定义
1. 0, 0,x1, x2 I ,| x1 x2 | ,总有:
| f ( x1) f ( x2 ) | , 称f在I上一致连续.
说明：
一致连续必连续， 反之未必.
一致连续是区间上整体的性质,强调有公共的 .
连 续 : 0, ( , x0 ). 一致连续: 0, ( ).
x1 x2 x1 x2
而对任意的x1, x2 0, 无妨设x2 x1 0，此时x2 x2 x1 ,
易见 x1 x2 x2 x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 )
x1 x2 x1 x2
x1 x2
0, 取 2 , 对x1 , x2 0,当 x1 x2 时，
例4.
f ( x) 1 在(0,1)上不一致连续. x
解：
令sn
1 n
1 , tn
1， n
sn
tn
1 n
1 n1
1 n(n 1)
1. n
但 f (sn ) f (tn ) (n 1) n 1 0 .
例⒌ f ( x) 1 在 ,上一致连续.( 0)
x
证明： s,t ,.
x2 sin x1
2
x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
取 ,
当 x1 x2 时, 总有| sin x1 sin x2 | .
f ( x) cos x在R上一致连续.
例2. f ( x) x在[0,)上一致连续
证明：| f ( x1 ) f ( x2 ) |
x1
x2
2.
f在I上不一致连续
0 0,n N * ,都有sn , tn I ,
满足 | sn
tn
|
1， n
但是
|
f (sn )
f (tn ) | 0 .
二、例题
例1. 求证 f ( x) sin x在R上一致连续.
证明： x1 , x2 R,
sin x1 sin x2
2 cos
x1 2
证明： 0,为使 f ( x1) f ( x2 ) L x1 x2 .
取 即可.
L
可以看出， 一致连续要求函数变化不要“太陡”
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作业 (数学分析习题集)
习题2.8 函数一致连续性 1、(1), (2)；2、(2),(4)；3；4；5.