(整理)函数的一致连续性63604

§2.9 函数的一致连续性

定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ∀>∃>,使得当

12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一

致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确).

命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续

0ε⇔∃>和{},{}n n x y X ⊂,使得lim()0n n n x y →∞

-=,并且()()n n f x f y -

,n ε*

≥∀∈

.

证: “⇒”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε∃>,n *

∀∈

,

n x ∃,n y X ∈满足1

n n x y n

-<

和()(),n n f x f y n ε*

-≥∀∈.这说明右

边成立.

“⇐”.假定0ε∃>和{}n x ,{}n y X ⊂,使得l i m ()0

n n n x y →∞

-=,并且()(),n n f x f y n ε*

-≥∀∈

.这时,0δ∀>,,,N N N N x y X x y δ

∃∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在

0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤.

证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立

12()()f x x ε-<.再取n *

∈

使得

,M n n

δδε<=令.当,,x y I ∈x y -

0δ≤时,()()f x f y -1

1(())(())n

k k k

f x y x f x y x n n

=-≤+

--+-∑n ε< M =.□

命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续⇔存在有限单侧

极限()f a +和()f b -.

证:“⇒”.若f 是(,)a b 上的一致连续函数,即0,0εδ∀>∃>,使得当,(,),2x y a b x y δ∈-<时成立()()f x f y ε-<,则当,(,)x y a b ∈,0

x a <-,0y a δδ<<-<时有()()f x f y ε-<.根据函数单侧极限的Cauchy 收敛原理,便知存在有限右极限()f a +.同理,存在有限左极限

()f b -.

“⇐”. (反证法)假定存在有限单侧极限()f a +和()f b -,但连续函数f 不一致连续.由命题1,0ε∃>和{},{}(,)n n x y a b ⊂,使得l i m ()0

n n n x y →∞

-=,并且()()n n f x f y -,n ε*

≥∀∈.取{}n x 的收敛一个

子列{}n k x ,则(1),n n k k x y a →+；(2),n n k k x y b →-；(3)0,n n k k x y x →

(,)a b ∈三者必居其一.这样,便有0lim ()()n n k k n f x f y →∞

=- 0ε≥>,得

到矛盾.□ 例1 设Y X ∅≠⊂⊂

.

(1) 若f 是X 上的连续函数,则f 也是Y 上的连续函数； (2) 若f 是X 上的一致连续函数,则f 也是Y 上的一致连续函数. (3) 若,f g 都是X 上的一致连续函数,则f g ±也是X 上的一致连续函数.

(4) 若,f g 都是一致连续函数,g f 有意义,则g f 也是一致连续函数.

例2 当常数(0,1]μ∈时,幂函数x μ是[1,)+∞上的一致连续函数. 证: 121x x ∀≤<,有不等式

1111112222

(1)(1)x x x x x x x x μμμμ

---=-≤-=-,

即 2

121x x x x μ

μ-≤-. 故 0ε∀>,令0δε=>,则当12,[1,)x x ∈+∞,12x x δ-<时总成立

1212x x x x μμ

δε-≤-<=.□

例3 (连续但不一致连续的函数) 当常数(1,)μ∈+∞时,幂函数x μ不是[1,)+∞上的一致连续函数(这说明两个一致连续函数的积可能不是一致连续函数).

证: 1x y ∀≤<,有不等式 11()y x x y x x y x μμμμμ---≥-=-.n *∀∈,

令 11,n n x n y n n μ-==+,则 11lim()lim 0n n n n y x n μ-→∞→∞-==, n n y x μμ

-

1

()n n n x y x μ-≥-1111n n

μμ--==.由命题1便知x μ不是[1,)+∞上的一致连

续函数.□

例4 (连续但不一致连续的函数) 1

sin x

不是(0,1)上的一致连续函数.

证: 由命题3.□ 例 5 1

0,

x

σ∀>是[,)σ+∞上的一致连续函数,但却不是(0,)+∞上的一致连续函数.

证: 12x x σ∀≤<,有不等式

21212

121211

x x x x x x x x σ

---=≤.故0ε∀>,令20δσε=>,则当12,[,)x x σ∈+∞,12x x δ-<时总成立

12

11x x -212

x x σ-≤ε<. 这说明1x 是[,)σ+∞上的一致连续函数. 由命题2或命题3知1

x

不是

(0,)+∞上的一致连续函数.□

练习题2.9(109P ) 1,2,3. 问题2.9(109P ) 2.