函数一致连续性的判定及应用论文

数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用

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2007 年4 月19 日

函数一致连续性的判定及应用

摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。

关键词：函数；连续；一致连续函数

Decisions of uniformly continuous function and application

TANG Yong

The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China

Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region.

Key words: function; continuity; uniformly continuity

1. 引言

我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数()

f x在某区间内连续，是指函数()

f x在该区间上一点

f x在该区间内每一点都连续，它反映函数()

附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()

f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()

f x的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。

现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论：

2. 函数连续与一致连续的关系

2.1 函数连续与一致连续的区别

2.1.1 函数连续的局部性

定义1 函数()f x 在某()0x 内有定义，则函数()f x 在点0x 连续是指，0ε∀>，0δ∃>，使得当0x x δ-<时，有 0()()f x f x ε-<。 （2-1）

那么，函数()f x 在点0x 处连续，是否意味着 ()f x 在0x 的邻域内连续呢？或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的。如函数()y xD x =只在0x =连续；函数(1)(2)()y x x D x =--仅在12x x ==，两点连续；又如函数

2sin 0()00x x y f x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，，，，

（2-2） 容易证明这个函数在任意点是连续的，但是我们却不能一笔画出函数在0x =的任意小邻域内的图形。上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面去理解 ()f x 在0x 连续。当且仅当 ()f x 在0x 的邻域0(,)x δ内每一点都连续，才能说()f x 在0x 的邻域内连续。函数在点0x 处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这确实是个遗憾，但是，如果在连续点0x 的函数值0()0f x ≠，那么上述例外情形就不会发生了，有如下命题

命题 设()f x 在0x 连续，且0()0f x ≠，则一定存在0x 的某个邻域，使 ()f x 在此邻域内连续。

证明: 因()f x 在点0x 连续，即00,0,(;)x x εδδ∀>∃>∀∈使得，都有 0()()2f x f x ε-<

。 （2-3）

现对0(;)x x δ'∀∈，由（2-3）显然有 0()()2

f x f x ε'-<， （2-4） 又0()0f x ≠，当δ充分小时，由局部保号性有

0()()0f x f x '>， （2-5）

即()0f x '≠，从而有 00()()()()()()f x f x f x f x f x f x ε''-≤-+-<。 （2-6）

可见()f x 在x '连续，由x '的任意性，知()f x 在0x 的δ邻域内连续。

因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质。

2.1.2 函数一致连续的整体性

连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象，然而在连续函数中，又以一致连续的函数最为重要。因此，判定一个函数在其定义域内是否一致连续，是数学分析的一个重要内容之一。

定义2 设函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I '''∀∈，只要x x δ'''-<，就有

()()f x f x ε'''-<，

（2-7） 则称函数()f x 在区间I 上一致连续。

定义中的“一致” 指的是什么呢？只要与函数()f x 在区间I 上连续的定义进行比较，不难发现，连续定义中的δ，不仅仅依赖于ε，还依赖于点0x 在区间I 中的位置，即0(;)x δδε=；而()f x 在I 上一致连续是指，存在这样的δ，它只与ε有关而与0x 在区间I 中的位置无关，即()δδε=。也就是说，如果函数 ()f x 在区间I 上连续，则对任意给定的正数ε，对于I 上的每一点0x ，都能分别找到相应的正数δ，使得对I 上的任意一点x ，只要0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<，其中0(;)x δδε=。对于同一个ε而言，当0x 在I 上变动时，δ的大小一般也随着改变，即δ依赖于0x 。如图1，在曲线比较平坦的部分所需的δ远比在曲线比较陡峭的部分所需的δ大得多。

如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点0x 在I 上的位置无关，那么这时()f x 就在I 上一致连续。可见“一致”指的就是存在适合于I 上所有点x 的公共δ，即()δδε=。