浅析数学分析一致连续性
高等数学函数一致性连续性问题研究
高等数学函数一致性连续性问题研究【摘要】高等数学函数在目前的研究当中，出现了一些问题，在一致性和连续性的研究当中出现了一些分歧.连续函数是数学分析当中，着重讨论的一类函数，对深入研究具有非常重要的作用，而函数的一致性对日常教学和高等数学的进步来说，也能够起到较大的推动作用.在学习数学分析的时候，多数人都会将函数的连续性与一致性混淆，导致学习人员仅仅能够理解浅层意思，而不了解深层含义，甚至无法学习后续的知识，因此，对高等数学函数一致性连续性问题研究，还是非常有必要的.【关键词】函数；连续性；一致性一、高等数学分析中函数一致连续的概念的理解函数的一致连续性体现了一个连续函数的变化速度有无“突变”.相对来说，函数的变化既有规律可循，同时也无规律可循.高等函数在一定程度上可以通过定义或者数学函数式来寻求结果.但是，部分函数由于自身的性质比较特殊，因此不具有意义.函数连续一致性不仅仅体现在区间上的每一点，同时还要在区间上所有点邻近点的函数的大致变化趋势要均匀.这就是理论上的函数一致连续性.下面，本文从两个方面来讨论一下高等函数的一致连续性.（一）定义1高等数学分析中函数一致连续的概念过于理论化，如果没有实际的证明，势必得不到认可，并且无法在实际的工作当中产生较大的积极作用.经过长久的研究和积淀，数学家将高等数学函数一致连续分为两个定义.定义1：（假设函数f（x）在区间I上连续）区间为I上的f（x）函数，如果ε>0，那么函数上的每一个点x∈I，由此可以推理出，函数区间上的每一个点都存在相应的δ=δ（ε，x）.从以上的定义来分析，只要x∈I，并且|x2-x1|（二）定义2相对来说，高等数学函数一致连续性不仅仅具有一种性质或者一种定义，而是能够通过两种或者是两种以上的定义、性质来表达.定义1是教学和研究常用的定义，并且对高等数学函数一致连续性问题的研究，产生了较大的积极意义.下面，本文就定义2进行阐述.定义2：此定义也被称为一致连续性的定义.在区间I上定义的f（x）函数，如果对ε>0，并且存在δ（且δ>0），在此范围内的任意x（x∈I），只要符合|x1-x2|小于δ，那么就可以推导出|f（x1）-f（x2）|（三）归纳从以上的阐述来看，一致连续概念与连续概念当中的δ并不一样，可以通过很多的例子来说明.当函数f（x）在区间I上拥有一致连续性的概念时，可以通过相应的例子来引出.通过不同的例子和不同的定义，学生和教师在学习、研究高等数学函数一致性连续性问题的时候，就能够对δ的取值方法更加清楚，同时也可以对高等数学函数一致性连续性问题更加深入地理解和学习.我们在研究和分析高等数学函数一致性连续性问题的时候，应该从两个定义出发，因为具体的数学式和具体的表达含义是不同的，在实际当中的应用范围也不一样.为了保证能够更好地利用函数，同时在深入研究的时候，减少混淆和不必要的问题发生，必须对函数连续一致性的其他方面进行研究，获得更多的规律和知识.二、函数连续一致性条件“条件”在函数的研究当中，具有非常重要的影响和意义.简单来说，“条件”就是保证高等数学函数一致性连续性问题具有研究意义的保障.函数连续一致性要想能够继续研究下去，并且能够对实际的工作产生意义，就需要依赖条件来进行.从目前的研究情况来分析，函数连续是函数一致连续的必要条件，但不是充分条件，是一种在自然情况下，推出的结论.由此可见，高等数学函数一致性连续性问题的研究，“条件”的研究是非常重要的方面.根据G康托定理，区间连续性要想转变为区间一致连续性，一共有两种情况，同时这两种情况是目前都能够满足的.第一，区间存在界限，但是并不是完全为闭区间，一致连续性的点可能被开的端点所破坏.这种情况是一种比较普遍的情况，同时是研究“条件”的重要方式.第二，区间的两个端点或者一个端点的取值为正无穷的时候，函数的一致连续性也可能被函数在无穷远处所破坏.在这种情况下，我们就要附加一些条件，比方说在函数一致连续性的开的端点或者无穷远点破坏点处加上一些限制性的条件，让无意义的函数不成立，从而可以继续推导.“条件”的研究并不是依靠一两个数学式就能够确定的，即便是现在只有两个方面，难保日后不会有更多的方面，所以还要加深研究才行.：本文对高等数学函数一致性连续性问题进行了一定的研究，从目前的情况来看，高等数学函数一致连续性的相关问题并没有得到彻底的解决，虽然一些小问题没有影响到学生的学习，但后续的研究工作必须将其解决，尽量通过完善的研究方式和推导方式，将高等数学函数深入推理，得到更好的结论.【参考文献】[1]陈佩树.分段函数在分段点的求导[J].巢湖学院学报，2022（3）.[2]张月华.分段函数有关概念探析[J].牡丹江教育学院学报，2022（5）.[3]林新和.函数在区间上一致连续和不一致连续的几个判别法[J].呼伦贝尔学院学报，2022（3）.。
数学分析考研函数一致连续性问题总结
下面证明 lim f (x) 存在:
x→a+
对于上面给定的 ∀ε > 0 存在对应的 δ > 0, 当任意的 x1, x2 ∈ U˚(a, δ) 时, 即当 |x1 − x2| < δ 时, 都有 |f (x1) − f (x2)| < ε(华东师范第四版数分上册 56 页柯西准则), 所以 lim f (x) 存在,
定理 1.1.1. 一致连续性定义: 设 f (x) 为定义在区间 I 上的函数, 若对 ∀ε > 0, 存在对应的 δ = δ(ε) > 0, 使得对 ∀x1, x2 ∈ I, 只要 |x1 − x2| < δ, 就有 |f (x1) − f (x2)| < ε
例 1.1.1. 设 f (x) 在有限开区间 (a,b) 上连续, 则 f (x) 在有限开区间 (a, b) 上一致连续
2. f 在开区间 (a, b) 可导
则在
(a, b)
上至少存在一点
ξ
使得
f ′(ξ)
=
f (b)−f (a) b−a
现在将这个等式转换一下:f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a). 这个等式的好处就是两个函数值的 差可以跟对应的自变量的差建立联系, 这一点在一致连续性问题上利用很多, 一定要认真对待.
x→0+
在零这一点单侧极限不存在, 故假设不成立, 所以函数在此区间上不一致连续.
关于函数一致连续性的研究
II
关于函数一致连续性的研究
目录
第一章 绪 论 ....................................................... 1 1.1 选题背景........................................................ 1 1.2 研究意义........................................................ 1
第四章 常见函数的一致连续性问题 .................................... 18 4.1 基本初等函数的一致连续性....................................... 18
4.1.1 幂函数.......................................................... 18 4.1.2 指数函数 ........................................................ 19 4.1.3 对数函数 ........................................................ 20 4.1.4 三角函数 ........................................................ 21 4.1.5 反三角函数 ...................................................... 22
3.8 二元函数的一致连续性问题....................................... 16
浅析数学分析一致连续
一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。
数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。
弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。
数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。
但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。
一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。
在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。
数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。
函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。
为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是指在定义域内的每一个点上，函数值的变化都可以通过自变量的微小变化来控制，即函数在整个定义域上的变化都是连续的。
一致连续性是连续性的一种更强的性质，它要求函数在整个定义域上都保持连续性，而不仅仅是在某个点或某个区间上连续。
在数学分析中，一致连续性是一个重要的性质，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
一、函数的连续性在介绍函数的一致连续性之前，首先需要了解函数的连续性。
函数的连续性是指函数在某一点或某一区间上没有间断或跳跃，即函数在这些点上的极限存在且与函数在该点的取值相等。
如果函数在定义域内的每一个点上都是连续的，那么我们称这个函数在整个定义域上是连续的。
二、一致连续性的定义函数的一致连续性是指对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当函数的自变量之间的距离小于δ时，函数值之间的距离小于ε。
换句话说，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε对于所有的x,y∈D都成立。
这就是函数的一致连续性的定义。
三、一致连续性与局部连续性的区别函数的一致连续性与局部连续性是两个不同的概念。
局部连续性是指函数在某一点附近连续，而一致连续性要求函数在整个定义域上都连续。
局部连续性只要求函数在某一点附近连续，对于不同的点可以有不同的δ，而一致连续性要求对于整个定义域上的任意ε，都存在一个δ，使得函数在整个定义域上都满足ε-δ的条件。
四、一致连续性的性质1. 一致连续性是连续性的更强的性质，具有更好的连续性和稳定性。
2. 一致连续性可以保证函数在整个定义域上的变化都是连续的，而不仅仅是在某个点或某个区间上连续。
3. 一致连续性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，对于分析函数的性质和性质具有重要的作用。
五、一致连续性的应用1. 在实际问题中，一致连续性可以帮助我们更好地分析函数的性质和行为，从而更好地解决实际问题。
数学分析函数的一致连续性探讨
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２５数学分析函数的一致连续性探讨数学分析函数的一致连续性探讨Һ许奕喆㊀（湖南科技大学，湖南㊀湘潭㊀４１１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ以函数的一致连续性分析为研究切入点，结合实例将函数连续㊁一致连续二者区别所在，分析函数一致连续性的几何意义，包括有限区间㊁无限区间的一致连续性函数判定，通过讨论得出一致连续函数判定的方法，可以为更多同学能够快速对一致连续函数概念知识点的理解提供参考．ʌ关键词ɔ数学分析函数；一致连续性；实例数学分析作为一门需要学习中抽象理解的学科，具有较强的逻辑思维性与严密性，通过运用简单明了的数学语言，对用冗长的文学语言也无法定量描述的事物发展过程进行准确表达．所以了解几何意义，作为数学分析课程的入门引导，能够帮助我们理解抽象的数学概念，也可以帮助我们在数学学习中发散思维．本文将结合自身所学，对函数的一致连续性相关问题展开探讨．一㊁连续概念引出一致连续一致连续是基于函数连续概念派生所获，主要指的是对于微小变化界限中，假若函数定义域内部的任何两点间距离都不会超出该界限，那么两点之间的对应函数值产生的差值，就可以达到任意小点．函数一致连续性作为函数具备的重要基本特征，表示了一个连续函数变化速度是否发生 突变 ．在数学问题中针对函数一致连续性来讲，不仅要求对于每一个区间函数都能够保持连续一点，还要求所属区间点临近大体呈均匀变化．用数学语言表达就是说针对一个任意给出的正数ε，要求存在ｘ个无关的正数δ，只要ｘ和δ二者之间距离条件满足ｘᶄ－ｘᵡ＜δ，相对应函数值ｆ（ｘᶄ）－ｆᶄ（ｘᵡ）＜ε．显而易见，一致连续要强于连续条件，目前数学学科教材中，仅仅给出一致连续概念和运用定义证明ｆ（ｘ）函数所处某区间的一致连续的方法，呈现了完美的函数一致性逻辑结果，所以我们很难理解到定义中的δ，需要教师将概念内的隐含知识点逐一解释，才能够让我们更加快速地对这一概念成功掌握．二㊁一致连续函数等价条件定理１㊀函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上一致连续的充要条件：对于区间Ｉ上任何两数列｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝，在ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０条件下，ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］＝０．证㊀显而易见必要性，现证明充分性．假设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上非一致连续，那么∃ε０＞０，∀δ＞０，ｘ，ｙɪＩ：｜ｘ－ｙ｜＜δ，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）ȡε０．（１）根据以上对于δ取值为１的情况下，存在ｘ１，ｙ１ɪＩ：ｘ１－ｙ１＜１，有ｆ（ｘ１）－ｆ（ｙ１）ȡε０．（２）根据以上对于δ取值为１２的情况下，存在ｘ２，ｙ２ɪＩ：ｘ２－ｙ２＜１２，有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｙ２）ȡε０．（３）根据以上对于δ取值为１ｎ的情况下，存在ｘｎ，ｙｎɪＩ：ｘｎ－ｙｎ＜１ｎ，有ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）ȡε０．所以在区间Ｉ上也就成功构造了｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝这两个数列，显而易见ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０，但是ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］ʂ０，与已知条件自相矛盾，所以ｆ（ｘ）函数在区间Ｉ上一致连续．推出结论：函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上不一致连续，充要条件是区间Ｉ上存在两个数列｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝，在ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０条件下，ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］ʂ０．例１㊀函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ２在Ｒ上不一致连续．证㊀假设ｘｎ＝２ｎπ＋π２，ｙｎ＝ｓｉｎ２ｎπ，那么ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０．但是ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］＝ｌｉｍｎңɕ[ｓｉｎ２ｎπ＋π２()－ｓｉｎ２πｎ]＝１ʂ０．推出结论：ｓｉｎｘ２在Ｒ上不一致连续．三㊁有限区间上判定一致连续函数定理２㊀函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续的充要条件：ｆ（ｘ）函数在［ａ，ｂ］上连续．定理３㊀函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续的充要条件：ｆ（ｘ）函数在（ａ，ｂ）上连续并且均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．证（１）必要性：由于函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续，∃ε＞０，∀δ＞０，ｘ１，ｘ２ɪ（ａ，ｂ）：｜ｘ１－ｘ２｜＜δ，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜＜ε．在ｘ１，ｘ２ɪ（ａ，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２５ａ＋δ）情况下，当然存在ｘ１－ｘ２＜δ，也就有ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜ε．以柯西收敛准则为依据，证实存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），同理证实存在ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．（２）充分性：由于均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ），各自设为Ａ，Ｂ，建立函数公式如下：Ｆ（ｘ）＝Ａ㊀ｘ＝ａｆ（ｘ）㊀ｘɪ（ａ，ｂ）Ｂ㊀ｘ＝ｂ{．显然发现［ａ，ｂ］上函数Ｆ（ｘ）连续，根据定理２能够获得Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续，进而推断得出函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续．推导结论①㊀函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ］（［ａ，ｂ））上一致性连续的充要条件：函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ］（［ａ，ｂ））上连续并且均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．推导结论②㊀假若在有限区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）连续，单调，有界，那么区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）一致连续．四㊁无限区间判定一致连续函数定理４㊀假若函数ｆ（ｘ）在［ａ，＋ɕ）上连续，并且ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么函数ｆ（ｘ）在（ａ，＋ɕ）上一致连续．推导结论①㊀假若函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，ｂ］上连续，并且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，ｂ］上一致连续．推导结论②㊀假若函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，并且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ），ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么ｆ（ｘ）函数在（－ɕ，＋ɕ）上一致连续．推导结论③㊀假若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ定义，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）存在垂直渐近线，那么区间Ｉ中不一致连续存在函数ｆ（ｘ）．定理５㊀假若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ定义，均存在∀ｘɪＩ，ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ），ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ），并且有限个角点，那么在区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）一致连续．证㊀可以假设Ｉ＝（－ɕ，＋ɕ），由于函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上任何一点都存在左右导数，那么在区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）连续存在，只有有限个角点，分别设为ｘ１，ｘ２， ｘｋ，ｋɪＮ．记为ｍ＝ｍｉｎｘɪ１，２， ，ｋ（ｘｉ），ｎ＝ｍｉｎｘɪ１，２，３ ，ｋ（ｘｉ），根据（－ɕ，＋ɕ）＝（－ɕ，ｍ－１］ɣ［ｍ－２，ｎ＋２］ɣ［ｎ＋１，＋ɕ］，那么在［ｍ－２，ｎ＋２］上连续存在函数ｆ（ｘ），必然一致连续．在［ｎ＋１，＋ɕ）上可导函数ｆ（ｘ），有界，得∃Ｍ＞０，ｘɪ［ｎ＋１，＋ɕ），ｆ（ｘ）ɤＭ，∀ｘ１，ｘ２ɪ［ｎ＋１，＋ɕ）．据此可以假设ｘ１＜ｘ２能够在［ｘ１，ｘ２］上可导，根据拉格朗日中值定理可得∃ζɪ（ｘ１，ｘ２），ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ（ζ）（ｘ２－ｘ１）．所以ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ɤＭｘ２－ｘ１，∀ε＞０，∃δ＝εＭ，ｘ２－ｘ１＜δ，ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＜ε，那么在［ｎ＋１，＋ɕ）上函数ｆ（ｘ）一致连续．根据以上推论过程，同理在（－ɕ，ｍ－１］上函数ｆ（ｘ）一致连续，根据一致连续性质能够知道（－ɕ，＋ɕ）上函数ｆ（ｘ）一致连续．五㊁总㊀结根据几何形象层面可以粗略表示，假若函数是连续的，那么就形成了连绵不断的连续曲线图像，那所得一致连续函数图像又如何？根据本次分析，笔者认为可以这样描述：一条一致连续的曲线，可以采用一系列长㊁宽各为２ε，δ并且平行于ｘ轴的小矩形覆盖（δ与ε是随之变化而变化的关系）．这样在对函数的一致连续性的学习中，加深了对该理论知识点的理解，如同在一个函数区间刻画了全局性的一致连续函数图像．六㊁结㊀论综上所述，在本次研究中探讨了数学分析中函数的一致连续性知识点，这是数学分析中的热点问题，函数又作为数学学科知识中的重要组成，所以有必要进一步展开本次讨论．只有对函数基本性质充分了解，才能够在不断的解题计算中逐渐理解并熟练掌握，加深探索可以将其具象地呈现出来，更好地帮助我们理解数学知识点，有效地转化新问题为旧问题，简化复杂问题，掌握函数一致连续性，熟悉解题思路和数学思想，真正做到举一反三地解决数学问题．ʌ参考文献ɔ［１］李一帆．函数一致连续性证明方法探究及推广［Ｊ］．知识文库，２０１８（１４）：１８１－１８２．［２］钟满田．山区高职院校函数一致连续性教学研究［Ｊ］．新教育时代电子杂志（教师版），２０１９（１８）：１９７．［３］段炼，方贤文．例析函数连续及一致连续的判别［Ｊ］．科技风，２０１８（３１）：２２．［４］李书馨．证明函数在无界区间一致连续的一种方法［Ｊ］．赢未来，２０１８（１５）：１８．［５］费时龙，洪佳音，朱少娟．多元函数列的一致收敛性及相关极限性质的研究［Ｊ］．廊坊师范学院学报：自然科学版，２０２０（２）：８－１０．［６］王海权，付英．一个修正的周期Ｃａｍａｓｓａ⁃Ｈｏｌｍ系统解对初值的不一致连续依赖性［Ｊ］．聊城大学学报：自然科学版，２０２０（２）：１－６．［７］米合甫孜㊃胡达拜地．函数的连续和一致连续的差别和关系［Ｊ］．考试与评价，２０１８（１）：６５－６６．［８］舒天军，莫智文．结构元线性生成的模糊值函数的连续性［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２０１８（３）：５１－５７．. All Rights Reserved.。
浅析一致连续函数
浅析一致连续函数摘要：对函数的一致连续性的定义、定理加以系统的总结，指出了函数的收敛性和导数有界性与函数的一致收敛性的紧密联系。
关键词：一致连续；区间；收敛；导数；有界函数Abstract:The definitions and theorems of uniformly continuous function are made a summary，and the closer ties between the boundness and uniform continuity of function are stated here.Key words:uniformly continuous；interval；convergence；derivative；bounded function前言一致连续是一个极限概念，是从连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小（也就是分析中常说的epsilon）。
函数的一致连续性一直是数学分析学习中的难点，现就此问题加以总结分析。
1 一致连续定义2 一致连续判定方法2.2.1若f是X上的一致连续函数，则f也是Y上的一致连续函数。
2.2.2若f，g都是X上的一致连续函数，则f±g也是X上的一致连续函数。
2.2.3若f，g都是一致连续函数，g。
f有意义，则g。
f也是一致连续函数。
2.3区间上的一致连续性判定2.3.1闭区间（Cantor定理）[a，b]：函数f（x）在[a，b]上一致连续的充分必要条件是f（x）在[a，b]上连续。
证法Ⅰ：用Weirerstrass定理反证。
证法Ⅱ：用有限覆盖定理。
2.3.2有限非闭区间（1）（a，b）：函数f（x）在（a，b）上一致连续的充分必要条件是f（x）在（a，b）上连续且f（a+）与f（b-）都存在。
证法：构造辅助函数、Contor定理。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它反映了函数在定义域内的整体的性质和变化情况。
本文将从一致连续性的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、一致连续性的定义一致连续性是一种特殊的连续性，它描述了在任意给定的公差范围内，函数值与自变量之间的变化情况。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<ε，则称函数f在区间I上是一致连续的。
二、一致连续性的性质1.一致连续函数的一致连续区间如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数ε和负数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<max{ε, -ε}。
因此，一致连续函数的定义域内存在一个一致连续区间。
2.一致连续函数的性质一致连续函数具有以下性质：(1) 如果函数f在区间I上是一致连续的，则f在I上也是连续的。
这是因为当x从左侧逼近于某个点x₀时，一致连续性保证了f(x)与f(x₀)之间的差的绝对值小于任意给定的正数ε。
(2) 如果两个函数f和g在区间I上是一致连续的，那么它们的和、差、积也在这个区间上是一致连续的。
这个性质可以由绝对值不等式的性质得到。
(3) 如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数M和负数m，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有max{f(x₁), f(x₂)}<M和min{f(x₁), f(x₂)}>m。
这个性质说明了函数值的变化范围可以被任意给定的上下界所限制。
三、一致连续性的应用1.微分方程的解的性质一致连续性在微分方程的求解中有着重要的应用。
例如，如果微分方程描述的是一个物理系统在一组时间段上的状态变化，那么解的一致连续性就保证了系统状态的平滑变化，避免了突变和跳跃。
2.函数的逼近和级数求和一致连续性也是函数逼近和级数求和中的一个重要概念。
浅谈函数的一致连续性问题
浅谈函数的一致连续性问题摘要：本文指出数学分析中判别函数的一致连续性，可直接应用的理论是定义、康托定理、归结原则等。
在具体解题时，通常利用某些命题的结论作为解题的指导思想，帮助判知结论，迅速找到正确的解题方法，再利用可直接应用的理论对其加以佐证。
关键词：数学分析；一致连续；可直接应用的理论；解题的指导思想函数在区间上的一致连续性问题是数学分析中的典型问题之一。
函数在区间上一致连续是函数在区间上逐点连续的加强，二者之间有着密切的联系，同时又有着本质上的区别。
函数类型纷繁复杂，如何准确的判别函数在所给区间上的一致连续性，很多人都觉得无从下手，尤其是初学者，更是觉得解决问题的思路不清晰。
现将解这一类型题的理论进行简单归纳。
一、函数在区间上逐点连续与一致连续的本质及其关系(一)数学语言的刻画(二)几何直观体现与通俗理解函数在区间上逐点连续，指的是函数在所定义区间上处处连续，其函数图像连绵无间断；函数在区间上一致连续，指的是其函数图像在定义的区间上连绵不断且函数值变化缓慢，与区间上连续的非一致连续函数的图像形成鲜明的对比，非一致连续函数的图像在所定义的区间上，特别是在一致连续性“破坏点”附近是“陡峭”的。
(三)二者的关系由函数在区间上连续和一致连续的定义可推知，逐点连(二)康托定理及其推广由康托定理知，函数在闭区间上连续。
在闭区间上一致连续。
这个定理简单好用，但仅限于在有限闭区间上可直接用，而对于有限开区间或无限区间上不能直接应用。
因此，不妨将如下命题看作康托定理的推广。
命题2.1f(x)在有限开区间(a，b)上连续f(x)在(a，b)上一致连续当且仅当f(a+0)与f(b-0)都存在(有限值)。
命题2.2f(x)在有限开区间(a，b)上连续，若f(a+0)与f(b-0)至少有一者不存在，则f(x)在(a,b)上非一致连续。
对《数学分析》中“函数一致连续”概念的理解
函数 Ａｘ 在某区间上一致连续的数学方法 ， ） 呈现
了函数 一致 连续 完 美 的逻辑 结 果 ，但学 生对 定 义 特别 是 其 中 ６的很 难 理解 ，那 么 我们 在 上课 时就 不宜 照 本宣 科 ，需 要把 概念 中所 隐含 的知 识逐 步 解释 清 楚 ，才 可 以帮助 学 生较 快地 理解 一 致连 续
ｑ ｃ ｌ． ｕｉｋ ｙ Ｋ ｅ ｒ ｓ：ｕｎｆ ｒ ｏ ｔ ｉｙ； ｏ ｔｎ ｏ ｓ ｇ ｏ ｅｒｃ ｍｅ ｎ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｍ ｃ ｎ ｉ ｔ ｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ； ｅ ｍ ｔｉ ａ ｉ ｇ ｏ ｎｕ
一
致 连 续 是从 函数 连 续 的概 念 派 生 出来 的 ，
一
中图分 类号 ： ６ ２ Ｇ４
文 献标 志码 ： Ａ
文章 编号 ：０ ８ ６ ４ （０ ０ ０ — ０ ９ ０ １０ — ７ ９ ２ １ ）５ ０ ７ — ３
Ｏｎ Ｃｏ ｐ ｅ ｅ ｓｏ ｆ ｎ ｅ ｔ ｎ ｆ ｒｔ ｅＵｎ ｆ ｒ Ｃｏ ｔｎ ｉｙ ｏ ｍ ｒ ｈ ｎ ｉｎ ｏ Ｃｏ ｃ ｐ ｉ ｈ ｉｏ ｍ ｎ ｉ ｕ ｔ ｆ ｏ ｏ
收稿 日期 ：０ ０ ０ — ６ ２ １ — ４ １
义出发 ， 通过 ２ 个例子 ， 快速建立函数Ａｘ 在区间 ）
作者简介 讲 硕士 。
丽 水 学 院 学 报 ， 一致连 续 的定义 。 上 定义 １１函数 ） 区 间 ， 【（ ｌ 在 上连续 ） 设 ｆ ｘ （） 为 定义 在 区间 ， 的 函数 ， 上 若对 Ｖｅ＞０ 对 于每 一 ，
第 ３ 卷第 ５期 ２
Ｖｏ ３ １． ２ Ｎｏ． ５
丽 水 学 院 学 报
Ｊ 『 ＮＡＬ ｏＦ Ｓ ｏＩ】 Ｒ ＬＩ ＨＵＩ ＵＮⅣ ＥＲＳ ＴＹ Ｉ
连续函数与一致连续性的研究分析
连续函数与一致连续性的研究分析在数学领域中，连续函数是一种重要的概念，它在分析学、微积分和实变函数等学科中都有广泛的应用。
连续函数的研究对于理解数学的发展和应用具有重要的意义。
而一致连续性是连续函数的一个重要性质，它在实际问题的建模和解决中也起到了关键的作用。
首先，我们来探讨连续函数的定义和性质。
在数学中，连续函数是指在定义域上的任意一点，函数值都能无限接近于其函数极限。
具体来说，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，总有|f(x)-f(x0)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。
连续函数具有一些重要的性质。
首先，连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
其次，连续函数的复合函数也是连续函数。
这些性质使得连续函数在数学分析中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，我们需要对函数进行求导和积分，而连续函数的这些性质保证了这些运算的合法性。
然而，仅仅满足上述定义的连续函数并不能满足一些特殊情况下的需求。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，它在定义域上是连续函数。
但是，当x趋近于0时，f(x)的变化速度变得非常快，这导致了在一些问题中的数值计算的不稳定性。
为了解决这个问题，我们引入了一致连续性的概念。
一致连续性是连续函数的一种更强的性质。
对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，对于区间[a, b]上的任意两个点x和y，总有|f(x)-f(y)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在区间[a, b]上一致连续。
一致连续性的引入解决了连续函数在局部变化剧烈的情况下的数值计算问题。
它保证了函数在整个定义域上的变化是平缓的，从而提高了数值计算的稳定性。
例如，在数学建模中，我们经常需要对连续函数进行数值逼近，而一致连续性保证了逼近的精度和稳定性。
(整理)浅谈函数的一致连续性
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable peopleto have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
试析高等数学函数一致性连续性问题
试析高等数学函数一致性连续性问题1 高等数学分析中函数一致连续的概念的理解函数的一致连续性体现了一个连续函数的变化速度有无“突变”。
它要求函数连续性不仅仅只体现在区间上的每一点上，还要求在区间上所有点邻近的函数有大致变化趋势要均匀，这就是函数的一致连续。
定义1：（函数区间上连续）区间为上的函数，若对，对于每一点，都存在相应，只要，且，就有，則称函数在区间上连续。
例1：考虑函数在区间上的连续性。
解：对，存在领域，使得时，有。
对，取，该，就有。
定义2：（一致连续的定义）在区间上定义的函数，若对，存在，使得任意，，只要，就有，则区间上，一致连续。
一致连续概念与连续概念中的δ不同，可以通过具体的例子来说明。
函数在区间上一致连续的概念，可以通过这样的1个例子引出。
这样我们对于一致连续中δ的就有一种非常直观的感受。
这样对δ的取法就相对的清楚，同样的，我们也可以加快对一致连续的理解。
2 函数一致连续通过采利用函数一致连续的概念来证明对，为了证明存在。
为此，把这个式子不失真发大，同时要求在放大后的式子中，除了因子之外，其余部分中不含有和，然后使所得式子，从中解出。
例1：验证函数在区间（0<c<1）内的一致连续性。
< p=""></c<1）内的一致连续性。
<>证明因为所以对于，取，使得对任何，，只要，就有。
3 函数连续一致性的条件函数连续是函数一致连续的必要条件，但不是充分条件，是自然而然就得到的结论。
为了使函数在区间上一致连续，那么连续函数在区间还应满足什么条件？通过G·康托定理我们知道：闭区间上函数一致连续的充分必要条件，是在上是连续。
因此，在闭区间连续的函数也一定一致连续，我们也可以在无界的区间和有界的开区间应用G·康托定理。
在两种情况下，区间连续性可以转变为区间一致连续性：（1）区间有界但非闭，一致连续性的点可能被开的端点所破坏；（2）区间的两个端点或者一个端点为无穷时，函数的一致连续性也可能被函数在无穷远处所破坏。
函数的一致连续性
函数的一致连续性一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在微积分中有着广泛的应用，而且在函数论和拓扑学等领域也扮演着关键的角色。
本文将对一致连续性的定义、性质及其与普通连续性的关系进行深入探讨，并通过例子说明其在实际中的应用。
一致连续性的定义传统的连续性涉及到函数在某一点的邻域内的行为，而一致连续性则进一步扩展了这一概念。
设 ( f: A ) 是定义在集合 ( A ) 上的一个函数。
如果对任意的 ( > 0 )，存在一个 ( > 0 )，使得对于所有的 ( x, y A )，只要满足 ( |x - y| < )，就有 ( |f(x) -f(y)| < )，那么我们称函数 ( f ) 是在 ( A ) 上一致连续的。
这种定义与普通的连续性不同，普通的连续性要求在特定点附近都能找到适合的 ( ) 值，而一致连续性则要求这个 ( ) 值能够适用于整个区间或集合。
这种“整体”性质使得一致连续性在分析中极具吸引力。
一致连续性的性质性质一：一致连续性的充要条件一致连续性最重要的一个性质是其与有界闭集上连续性的关系。
即如果函数 ( f: [a, b] ) 在区间上是连续的，并且该区间是有界闭集，那么函数 ( f ) 是一致连续的。
这一性质也可以称为“海涅-博尔查诺定理”的一种表现。
性质二：复合函数的一致连续性如果 ( f: A B ) 和 ( g: B C ) 都是显式一致连续的函数，那么复合函数 ( g(f(x)) ) 也是一致连续的。
这为我们提供了在处理复杂问题时的一种手段，可以将多个容易处理的一致连续函数组合起来。
性质三：一致连续函数的有限性如果一组函数 ( f_n: A_n B_n ) 是一致连续的，并且它们都定义在相同的集合上，则它们的一致收敛也将保持一致性，即如果( f_n(x) f(x) )（对所有 ( x A_n )），那么 ( f(x) ) 同样是一致连续的。
一致连续性与普通连续性的关系虽然所有的一致连续函数都是普通连续函数，但并非所有普通连续函数都是一致连续函数。
浅析函数的一致连续的判定及应用
届学生毕业论文(设计)题目:浅析函数的一致连续的判定及应用系别:专业:班级:姓名:学号:指导教师:完成时间: 年月日浅析函数的一致连续的判定及应用摘要连续性是函数的一个重要分析性质，如何判定函数的连续性及一致连续性是数学分析的主要内容.本文首先介绍了函数的连续性及一致连续性的概念与性质及其之间的关系；其次给出了若干种判定函数一致连续的方法，并给出相应的例题.关键词：极限；连续；一致连续STUDY ON DETERMINATION OF UNIFORMLY CONTINUOUS OF FUNCTION AND ITS APPLICATIONSABSTRACTContinuity is an important analysis property of function, and how to determine the function of continuity and uniform continuity is the main content of mathematical analysis. The concept of continuity and uniform continuity and properties of function and relations between them is introduced firstly in this paper; Some kind of decision methods for uniformly continuous of function and the relevant examples are given secondly.Keywords：limit; continuity; uniformly continuous目录1. 前言 (1)2. 函数的连续性与一致连续性 (2)2.1函数的连续性概念及其性质 (2)2.2函数一致连续性的概念及其性质 (8)2.3函数的连续性与一致连续性的关系 (13)3. 函数一致连续的判定及应用 (15)3.1函数一致连续的判定方法 (15)3.2函数一致连续性的简单应用 (26)4. 结论 (28)致谢 (29)参考文献 (30)。
连续函数的一致连续性与逼近性
连续函数的一致连续性与逼近性连续函数是数学中非常重要的一类函数，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究连续函数的性质时，一致连续性与逼近性是两个重要的概念。
本文将就连续函数的一致连续性与逼近性进行论述，并进行相关的分析。
1. 一致连续性连续函数的一致连续性是指函数在整个定义域上满足一致性条件，并且对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，当|x-y|<δ时，总有|f(x)-f(y)|<ε。
一致连续性的定义表明了函数在整个定义域上对于任意小的ε值都能找到相应的δ值，使得函数值的差距小于ε。
这种性质保证了函数的连续性在整个定义域上都是平滑的，避免了在某些特定点处出现跳跃或不连续的情况。
2. 逼近性逼近性是指连续函数能够用一系列接近它的函数来逼近。
对于给定的连续函数f(x)，存在一列连续函数{f_n(x)}，使得当n趋向于无穷大时，f_n(x)逐渐逼近于f(x)。
逼近性的概念体现了连续函数的近似性质。
通过逼近，我们可以用一系列更加简单或易于计算的函数来近似描述原函数，简化问题的求解过程。
逼近理论在数学分析、数值计算等领域有着广泛的应用。
3. 连续函数的一致连续性与逼近性的关系一致连续性是逼近性的基础。
如果一个函数在定义域上是一致连续的，那么它是可逼近的。
这是因为对于给定的ε>0，由于函数的一致连续性，我们可以找到一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，总有|f(x)-f(y)|<ε/2成立。
然后通过选取适当的函数n，我们可以使得当n足够大时，|f_n(x)-f(x)|<ε/2。
因此，当|x-y|<δ时，有：|f_n(x)-f(x)| ≤ |f_n(x)-f(y)| + |f(y)-f(x)| < ε/2 + ε/2 = ε因此，函数f_n(x)在定义域上是一致连续的，并且逐渐逼近于函数f(x)。
综上所述，连续函数的一致连续性与逼近性是密切相关的。
一致连续性为函数提供了逼近的基础，使得我们可以使用一系列逼近函数来近似描述原函数。
浅析多元函数一致连续性的判定定理
浅析多元函数一致连续性的判定定理多元函数的一致连续性是微积分中一个重要的内容，它极大地拓宽了函数的表达范围及其应用。
下面我们来分析多元函数一致性的原理及其判定定理。
一致性的定义是，当代表函数的多元函数在每个域上都是连续函数时，就称此函数是一致性的。
比如在实数域上，当 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 函数在每一个自变量上都是连续函数时，函数就具有一致连续性.多元函数一致连续性的判定定理是：如果函数 f 在多元空间的每一点处都是连续的，即$f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的双分派在点 (x1,x2,...,xn) 周围每一点处都连续，那么函数f 就具有一致连续性。
它的理论特征就是：n个变量x1,x2,...,xn中，任选其一个变量xi，其他变量取任一定值 $\overset{\widetilde{}}{x_i}$使得x1,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn构成多元函数f (x1,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn) 式，这时再证明函数f (x1,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn) 对变量xi有着良好的利处，也就是说它在变量-$xi$的每一点处都是连续的，也就是说，变量xi周围的点构成的分支的极限一定等于f (x1,x2,...,xn).它的特殊情况就是：n 个变量x1,x2,...,xn 中，任选其一个变量xi，其余变量取任一定值 $\overset{\widetilde{}}{x_i}$, 如果函数f (x1,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn) 对变量xi有着良好的利处，也就是此函数在变量xi的每一点处仍然是连续的，那么此函数就具有一致连续性。
总之，多元函数一致连续性是一个重要的内容，它有两个特征，一是多元函数在每个域上都是连续函数；二是有至少一个变量，当该变量在变化过程中，函数仍然连续。
多元函数一致性的判定定理具有重要的理论意义，也提高了多元函数的实际应用，有着重大的现实意义。
数学分析中的“一致连续”
ｒ正
１
１）非 一 致 连 续 ．对 于 ｇ（ ）＝ｓｉｎ ，取 ＝１，在 （０，１）选 取
１
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＝ ２ 叮ｒ， ＝— —一 ，对任 意 ６＞０，当 ｎ充 分大 时 Ｉ 一
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２ｎ１ｒ＋
：Ｉ＜÷ ＜６，但是Ｉｇ（ ）一ｇ（ ）ｌ≥１，因此，ｇ（ ）＝ｓｉｎ
在 （０，１）非 一 致 连续 ． 康托定理 给 出有 限闭 区间上的连续 函数 一定是一
致 连 续 的 ，但 对 有 限 开 区 间 和 无 限 区 间 上 的 连 续 函 数 如 何 判定其一致连续性 呢？下面我们对 幂 函数 的判定 给出一般 规 律 ．用 定 义 易 验 证 函数 ）＝ 在 （一 ，＋。。）内 一 致 连 续 ，即 Ｖ８＞０，取 ６＝ ，任 取 ｌ， ２∈（一∞，＋∞ ），只要 Ｉ 一 ：Ｉ＜６，有 Ｉｆ（ ）一，（ ）Ｉ＜Ｂ 显然 ，若 函数在一 个 区 间上一致 连续 ，那 么 它在 其 任何 子 区 间 上也 一致 连 续 ，因 此 ）＝ 在 ［１，＋ ）ｃ（一ａ。，＋ｏ。）上 也 是一 致 连续 的．特别注意到 函数 ＿厂（ ）＝ 的 自变量 和 函数值保持 同步 变化 ，也就是 ６＝ 以函数 Ｙ＝ 作为标 尺在 ［１，＋ ）来判 断下列 函数 的一致 连续 性 ，对 函数 ， ， ，（ｍ≥２），从 图 像上看这些 函数 曲线 在 ［１，＋＊）区间皆位于 轴 上方和直 线 Ｙ＝ 的下 方 ．判 定 的 关 键 要 考 虑 趋 于 ＋ 时 函 数 的极
的 ６＝ （ ）表示 ６仅依赖 于 ｓ不依赖于 ‰，也就是通 常所说 的公共 的最 小 的 ａ 函数 的一致 连 续是 函数 的一 个重 要 特
征 ，它标志着一个连续 的函数 其函数值 的变化速度 没有 “陡
浅析数学分析一致连续性分解
浅析数学分析一致连续性分解一致连续性是指对于一个函数，无论取什么样的两个点，只要这两个点的距离足够接近，函数的函数值之间的差异也足够小。
在数学分析中，我们常常需要研究函数的连续性和一致连续性，而一致连续性分解就是对函数一致连续性的一种研究方法。
一致连续性的重要性在于它可以保证函数在一定区间内的性质一致，即无论在哪个点取函数值，函数值之间的差异都足够小。
在实际应用中，经常会遇到一些复杂的问题，需要使用一致连续性分解来研究函数的性质和其它一些相关的问题。
一致连续性的分解基本思想是将一个函数分解成两个函数的形式，以便更好地研究函数的性质。
其基本步骤如下：1.首先，将函数分解为两个部分，这两个部分可以使原函数的两个充分小的变差函数。
2.其次，研究这两个变差函数的性质，并且通过研究这两个变差函数的性质，来研究原函数的性质。
3.最后，将这两个变差函数分解的结果合并起来，得到原函数的分解形式。
数学分析一致连续性分解的研究方法有很多，主要包括泰勒级数展开、傅里叶级数展开和变分法等。
其中，泰勒级数展开法是最常用和基础的方法。
泰勒级数展开法的基本思想是将一个函数展开为一个级数的形式，通过对级数的研究来研究函数的性质。
在实际应用中，一致连续性分解可以用于研究函数的收敛性、解析性、极限性质等。
例如，在微分方程的求解中，一致连续性分解可以用于研究解的存在性和唯一性等问题。
此外，在数学物理学中，一致连续性分解还可以用于研究函数的边界性质和奇异性质。
总之，数学分析一致连续性分解是一种重要的研究方法，通过对函数的分解可以更好地理解函数的一致连续性和性质。
一致连续性分解的研究方法有很多，主要包括泰勒级数展开、傅里叶级数展开和变分法等。
在实际应用中，一致连续性分解可以用于研究函数的收敛性、解析性、极限性质等。
浅谈函数的一致连续性的性质
浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。
其次给出了一致连续函数的有界性质。
再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。
最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。
在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。
关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界;Discusses the properties of the uniform continuity functionName：zhang ya nan Number：0707216College：College of Mathematics and Computer ScienceAbstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given.Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;一引言函数的一致连续性是学习数学分析的一个重点,更是一个难点.之前在学习函数的一致连续性时就觉得比较抽象难以理解,借此机会我探讨了函数一致连续性的若干性质，希望对后来者学习函数的一致连续性时有所帮助.二基本概念定义1（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得12,x x X ∀∈,只要12x x δ-<,就有12()()f x f x ε-<,则称()f x 在X 上一致连续.定义2（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得0x X ∀∈,只要0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<,.则称()f x 在X 上一致连续.定义3（非一致连续）设()f x 在区间X 有连续,若00,0εδ∀>∃>,总存在,x x X '''∈,使得虽有x x δ'''-<,但0()()f x f x ε'''-≥,,则称()f x 在X 上非一致连续. 定义4（（非一致连续））设在区间X 上,有()f x 连续,若0120,,(1,2...)n n x x X n ε∃>∃∈=,使得虽有120n n n x x →∞-−−−→,但120()()n n f x f x ε-≥则称()f x 在X 上非一致连续.定理（Cantor 定理）有界闭区间[],a b 上的连续函数()f x 必在[],a b 上一致连续.例1:用定义证明()f x =[)1,+∞上是一致连续的.证明:由于[),1,x x '''∀∈+∞,2x x '''-=≤,于是0ε∀>,取2δε=,当[),1,x x '''∈+∞且x x δ'''-<时,ε<,所以()f x =[)1,+∞上是一致连续的.例2:用定义证明1()sin f x x=在()0,1内非一致连续,但0c ∀>,其在(),1c 内一致连续.证明对012ε=,取()120111,,,,1,2 (2222)k k x x k k k επππ====+则()12,0,1k k x x ∈,且120,0k k k k x x ++→+∞→+∞−−−→−−−→,有120k k k x x →+∞-−−−→但1201()()12k k f x f x ε-=>=.所以1()sin f x x =在()0,1内非一致连续.0,0c ε∀>∀>,只要取()2120,,0,1c x x δε=>∀∈,当12x x δ-<时,就有1212122121211()()sin sin x x x x f x f x x x x x c ε---=-≤≤<故1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.说明:当0x +→时,1sin x连续的无限振荡于[]1,1-上,故存在00ε>与点列对{}{}12,k k x x ,使120,0k k x x ++→→, (故有120k k k x x →+∞-−−−→),而120()()0k k f x f x ε-≥>;但0c ∀>,在(),1c 内考虑时,上述性质不存在,在证明中可以看出,1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.,对给定的0ε>,所求得的(,)0c δδε=>,即0δ>不仅与ε有关,而且与0c >有关.特别是0(,)0c c δε++→−−−→.正因为这样,给定的0ε>,不可能找到对()0,1公用的0δ>.这就是该函数在()0,1内非一致连续的原因.三函数一直连续性的有界性定理1（有界性定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界. 下面讨论当()f x 在开区间(),a b 上一致连续时,是否有()f x 在(),a b 上有界. 分两种情况讨论：1当(),a b 为有限区间时,有()f x 在(),a b 上有界.证法1：由()f x 在(),a b 上一直连续,可知0,0εδ∀>∃>,当(),,x x a b '''∈，x x δ'''-<时,有()()f x f x ε'''-<,故(),,x x a b '''∀∈,,a x a a x a δδ'''<<+<<+时,有()()f x f x ε'''-<,从而由柯西收敛准则知lim ()x af x +→存在（有限），同理可证lim ()x b f x -→存在（有限）,进而可补充定义令()lim (),()lim ()x a x bf a f x f b f x +-→→==,则()f x 在[],a b 上连续,由定理1知()f x 在[],a b 上有界,进而()f x 在(),a b 上有界.证法2:因为函数()f x 在(),a b 上一致连续,所以对10>,存在00δ>,当(),,x x a b '''∈且0x x δ'''-<时,()()1f x f x '''-<.取定N 充分大将(),a b N 等分,使每个小区间长度小于0δ.令1231(),(),()...()N M f f f f N N N N ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭,由前面讨论可知,对任意(),x a b ∈,存在,11i i N ≤≤-,满足0i x Nδ-<,此时一定有()()()()1i i f x f x f f M N N≤-+<+,这就证明了()f x 在(),a b 上是有界的. 2当(),a b 为无限限区间时,不能推出()f x 在(),a b 上有界.反例：()f x x =在区间()0,+∞上是一致连续的,但是无界的.证明：0,εδε∀>∃=当(),0,,x x x x δ''''''∈+∞-<,就有()()f x f x x x δε''''''-=-<=,从而()f x 在()0,+∞上一致连续，但显然()f x 在()0,+∞上是无界的.例:证明无界函数()sin f x x x =+在(),-∞+∞上一致连续.证明:由于()()()(sin sin )sin sin f x f x x x x x x x x x '''''''''''''''-=-+-≤-+-2cos sin 222x x x x x x x x ''''''+-''''''≤-+≤-,于是0ε∀>,取2εδ=,当(),,x x '''∀∈-∞+∞且x x δ'''-<时,皆有()()f x f x ε'''-<,由,x x '''的任意性,知()f x 在(),-∞+∞上一致连续.说明：这是由于当(),a b 为无限区间时,不妨设为()0,+∞,则当柯西收敛准则条件为：,A ε∀∃当,x x A '''>时()()f x f x ε'''-<,而题中()f x 在()0,+∞上一直连续只能保证对一定的间距δ,当x x δ'''-<时,才有()()f x f x ε'''-<,不能保证柯西收敛准则成立.四函数一致连续的四则运算性质我们探讨当函数(),()f x g x 均在区间I 上一致连续()()f x g x +,()()f x g x - ,()()f x g x ⋅ ,()()f x g x （()g x 在I 上不为零）,在I 上是否也一致连续.1加法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x +在I 上是否也一致连续.证明：由()f x 在I 上一致连续,可知10,0εδ∀>∃>,当1x x δ'''-<时,有()()2f x f x ε'''-<,又由()g x 也在I 上一致连续知，对上述的ε存在2δ,当2x x δ'''-<时()()2g x g x ε'''-<,取{}12min ,δδδ=则当x x δ'''-<时,有()()()()()()()()()22f x g x f x g x f x f x g x g x εεε''''''''''''+-+≤-+-=+=.从而()()f x g x +在I 上一致连续. 2.减法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x -在I 上是否也一致连续.说明：函数一致连续性的减法与加法的证明方法完全相同.3.乘法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x ⋅在I 上的一致连续性. a.当区间I 为有限区间（无论开闭）时,有()()f x g x ⋅在I 上是一致连续的. 证明：由(),()f x g x 在区间I 上是一致连续的,则(),()f x g x 在I 上都是有界的（I 为开区间时即为本文的第二部分结论,I 为闭区间是显然成立）.从而存在0,0M L >>使得(),(),f x L g x M x I ≤≤∈,且有10,εδ∀>∃,当1,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2f x f x M ε'''-<,对上述ε,存在2δ,当2,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2g x g x L ε'''-<,取{}12min ,δδδ=,于是当,,x x I x x δ''''''∈-<时()()()()f x g x f x g x ''''''⋅-⋅=()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x ''''''''''''⋅-⋅+⋅-⋅()()()()()()22f x f x g x g x g x f x M L M L εεε'''''''''<-⋅+-⋅<⋅+⋅=所以()()f x g x ⋅在有限区间I 上是一致连续的.b.当I 为无限区间,不能推出()()f x g x ⋅在I 上是一致连续的.反例1取()(),(),,f x x g x x I ===-∞+∞,则()()f x g x ⋅在I 上不是一致连续的.证明：.不妨令()()()h x f x g x =⋅取两个点列：1,,()n n x n x n n N n+'''=+=∈则有1n n x x n δ'''-=<,这只需1Nδ=,当n N >就可办到,给定01ε=有220211()()()2h x h x n n n nε'''-=+-=+>,可见()()()h x f x g x =⋅在(),-∞+∞上不一致连续.反例2.取,()(),()sin ,0,f x x g x x I ===+∞ ,则()()f x g x ⋅在I 上不是一致连续的.证明：.不妨令()()()h x f x g x =⋅考虑两点列：12,2()n n x n x n n N nππ+'''=+=∈,虽有1n n x x nδ'''-=<,但是11111()()(2)sin 02sin sin n n h x h x n n n n n n n ππ'''-=+⋅-=⋅+⋅ 2102ππ→⋅+=, ()1,02n n π→+∞<<,现取021,0N επ=-∃>,不论0δ>多么小(可取11N δ=+),当n N >时,虽有1111n n x x n N N δ'''-=<<=+,但是0()()21nn h x h x πε'''->-=,所以()()()h x f x g x =⋅在I 上不是一致连续的. 4.除法：当函数(),()f x g x 均在区间I(不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x （()g x 在I 上不为零）在I 上的一致连续性.a.当I 为有限闭区间是,有()()f x g x 在I 上的一致连续性.证明：由()g x 在闭区间I 上是一致连续的且()g x 在I 上不为零,则()g x 在I 上有最小值，即存在10M >使1()g x M >,又有0,0εδ∀>∃>，当,x x I '''∈,且x x δ'''-<时有21()()g x g x M ε'''-<⋅.从而21()()()()11()()()()g x g x g x g x g x g x g x g x M ε''''''---=<<''''''⋅,故1()g x 在I 上是一致连续的,进而由函数一致连续性的乘法性质知()()f x g x 在有限闭区间I 上是一致连续的.b.当I 不为有限闭区间时，不能推出()()f x g x 在I 上是一致连续的.反例:取()()12()1,(),0,1,0,f x g x x X X ====+∞,()1()f x g x x = ,在区间12,X X 上不是一致连续的.证明：取01ε=,对无论多么小的正整数1()2δδ<,只要取,2x x δδ'''==,则虽有2x x δδ'''-=<但1111x x δ-=>''',所以()1()f x g x x=在()0,1内不一致连续. 同理可证()1()f x g x x=在()0,+∞也不一致连续 五同一函数在区间上的一致连续性我们探讨当函数()f x 分别在区间12,X X 上一致连续,且区间1X 的右端点为1c X ∈,区间2X 的左端点也为2c X ∈（12,X X 可分别为有限或无限区间）,()f x 在区间12X X X =上的一致连续性.结论：当函数()f x 分别在区间12,X X ,上一致连续,则()f x 在区间12X X X =上是一致连续的.证明:任给0ε>,由()f x 在1X 和2X 上的一致连续性,分别存在正数,1δ和2δ,使得对任何1,x x X '''∈,只要1x x δ'''-<,就有()()f x f x ε'''-<;又对任何2,x x X '''∈,只要2x x δ'''-<,也有()()f x f x ε'''-<成立.点c 作为1X 的右端点,()f x 在点c 为左连续,作为2X 的左端点,()f x 在点c 为右连续.故对上述的0ε>存在30δ>,当3x c δ-<时有()()2f x f c ε-<.令{}123min ,,δδδδ=,对任何,x x X '''∈,x x δ'''-< ,分别讨论以下两种情形:（i ）,x x '''同时属于1X 或同时属于2X ,则()()f x f x ε'''-<成立.（ii ）,x x '''分别属于1X 与2X ,设12,x X x X '''∈∈则x c c x x x '''''-=-<-3δδ<< 故由()()2f x f c ε-<得()()2f x f c ε'-<.同理得()()2f x f c ε''-<.从而也有()()f x f x ε'''-<成立.这就证明了()f x 在区间12X X X =上是一致连续的. 例:证明函数sin ()x f x x=在每个区间()()121,0,0,1X X =-=,内一致连续.但在()()121,00,1X X X ==-非一致连续.证明:先证()f x 在()11,0X =-内一致连续,由于()sin sin (),1,0x x f x x x x ==-∈-所以()f x 在()1,0-内连续.构造新函数,令()1,0()(),1,0sin1,1x F x f x x x -=⎧⎪=∈-⎨⎪-=-⎩,则()F x 在[]1,0-上连续,即证()f x 在()1,0-内一致连续.类似可证()f x 在()0,1内一致连续.,只需构造()1,0()(),0,1sin1,1x G x f x x x =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩.最后证明()f x 在()()121,00,1X X X ==-内非一致连续.由于()()sin ,1,0()sin ,0,1x x x f x x x x⎧-∈-⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩再由于0sin lim 1x x x →=，由函数极限的性质知存在1,εδ=∀,都存在()1120,2x X X δ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使11sin 0.5x x >.令11,x x x x '==-,那么12,x x X X '∈,且x x δ'-<而()111111sin sin sin ()()21x x x f x f x x x x -'-=-=>-故()f x 在()()121,00,1X X X ==-内非一致连续.六 参考文献[1]《数学分析》（下册）[M]华东师范大学数学系编 高等教育出版社[2]《数学分析中的典型问题和方法》[M] 裴礼文 高等教育出版社 2010,3[3]《数学分析题解精粹》[M] 钱吉林 崇文书局 2010.4[4]《吉米多维奇数学分析习题集选集》（上）[M] 黄光谷黄川蔡晓英李杨华中科技大学出版社[5]《数学分析例题解析及难点注释》（一元函数部分）[M] 李惜文西安交通大学出版社。
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一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。
数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。
弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。
数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。
但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。
一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。
在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。
数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。
函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。
为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。
函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定能定量的事物发展过程。
这也是初学者无法理解分析中定义的原因。
而几何意义将是数学分析课程入门的一引导者，它向学生展示了数学分析中最基本的思想方法，有利于学生对抽象概念的理解，能更好地发展学生的思维能力。
本文通过揭示一致连续与一致收敛概念之间的内在联系，导出了利用连续性判定一致收敛的方法。
此方法对于通常的初等函数及函数列一致收敛与非一致收放的判定非常有效，且很简便，可说是一目了然。
它不仅限于在指一致连续与一致收敛定区间上的讨论，还便于作全面的研究。
通过对函数及函数列的一致连续的定义的对照对函数列的一致收敛与一致连续问题进行了讨论,通过这种讨论使我们清晰的看到函数列的一致连续问题不仅和函数列本身有关而且和极限函数有着密切的关系。
探讨了一致连续和一致收敛的关系,并在有界区间上给出了一致连续和一致收敛的等价关系。
掌握这些关系为今后研究连续、收敛问题提供了更多的依据。
二对数学分析中一致连续的概念的理解一致连续是从函数连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小。
函数一致连续的概念一直是《数学分析》学习中的难点，在多年的教学实践中，深感学生对函数一致连续的概念掌握的不是很好，经常听到学生有这样的疑问：函数连续和一致连续究竟有什么区别？本文谈的就是在教学中如何让学生较快地理解函数一致连续的概念。
1 从连续的概念引出一致连续的概念函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。
对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。
也就是说：对于任给的正数ε，要求存在一个与x 无关的正数δ，使对自变量的任意2 个值x'，x"，只要它们的距离︳x'-x " ︳＜δ，对应的函数值︳f（x'）-f（x "）︳＜ε，。
显然，一致连续要比连续条件强。
但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f （x ）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ 的很难理解，那么我们在上课时就不宜照本宣科，需要把概念中所隐含的知识逐步解释清楚，才可以帮助学生较快地理解一致连续的概念。
下面我们从函数f （x ）在区间I 上连续的定义出发，通过2 个例子，快速建立函数f （x ）在区间I 上一致连续的定义。
定义1 （函数f （x ）在区间I 上连续） 设f （x ）为定义在区间I 上的函数，若对ε＞0，对于每一点x ∈I ，都存在相应δ=δ（ε，x ）＞0，只要x'∈I ，且︳x-x' ︳＜δ，就有︳f （x ）-f （x'）︳＜ε，则称函数f （x ）在区间I 上连续。
给出以下2 个例子。
例1 考查函数f （x ）=x1在区间（0，1］上的连续性。
解 对∀0x ∈（0，1］，因为0lim x x →x=0x ＞0，则存在邻域U （0x ，δ'），使得x ∈U （0x ，δ'），有x ＞20x ，所以有 ︳x 1 -01x ︳=00xx x x -＜0002x x x x -=2200x x x -。
对∀ε＞0，取δ=min }"20,2δε⎪⎩⎪⎨⎧x ，就有︳x 1 -01x ︳＜ε。
这里δ 与0x 有关，有时特记为δ（ε，0x ）。
注意本例中不存在可在区间（0，1］上通用的δ，即不存在最小的（正数）δ。
强调：0x 的位置不同，δ 的取值也随之产生变化。
例2 考查函数f （x ）=x1在区间上［c ，+∞）（c ＞0）的连续性。
解 对0x ∈［c ，+∞）（c ＞0），存在邻域U （0x ，δ'），使得x ∈U （0x ，δ'）时，有 ︳x 1 -01x ︳=00xx x x -<2c x x o-。
对∀ε＞0，取δ=2c ε，就有︳x1 -01x ︳＜ε。
这里可取得最小的，也就是可通用的δ=2c ε，该δ 却与0x 无关，可记为δ（ε）。
比较例1 中δ 与例2 中δ 的不同，引出较函数f （x ）在区间I 上连续的概念条件更强的函数f （x ）在区间I 上一致连续的概念。
定义2 （一致连续） 设（f x ）为定义在区间I 上的函数，若对∀ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈I ，只要︳x'-x" ︳＜δ，就有︳f （x'）-f （x"）︳＜ε，则称函数f （x ）在区间I 上一致连续。
连续概念中δ 与一致连续概念中的δ 不同，通过具体的例子来说明，就更加直观，对初学的学生来说，更容易接受。
通过这样的2 个例子引出函数f （x ）在区间I 上一致连续的概念，可使学生在刚接触到一致连续时，就对其中的δ 有一种直观的感受。
这样学生对δ 的取法就比较清楚，可以迅速让学生理解一致连续的概念。
2 利用函数一致连续的概念证明函数一致连续为了进一步加深学生对函数一致连续概念的理解和记忆，随即提出用定义验证一致连续的方法：对∀ε＞0，确证δ（＞0）存在。
为此，从不失真地放大︳f （x'）-f （x"） ︳这个式子入手，使在放大后的式子中，除因子︳x'-x" ︳之外，其余部分中不含有x' 和x"，然后使所得式子︳f （x'）-f （x"）︳ ＜ε，从中解出︳x'-x" ︳.例3 验证函数f （x ）=sin x1在区间（c ，1）（0＜c ＜1）内一致连续。
证明因为︳sin'1x - sin "1x ︳=2 ︳sin "'"'2x x x x -︳ ︳cos "'"'2x x x x -︳≤"'"'x x x x -≤ 2"'c x x -所以对∀ε＞0，取δ=2c ε，使得对任何x'，x"∈（c ，1），只要︳x'-x" ︳＜δ，就有︳sin 1x' - sin1x"︳＜ε。
3 函数不一致连续的概念下面证明例1 中的函数f （x ）=x1在区间（1，0］上不一致连续。
找不到可在区间（0，1］上通用的δ，即不存在最小的δ（正数）。
先给出函数f （x ）在区间I 上不一致连续的定义。
定义3 存在某个ε0，无论δ 是怎么样小的正数，在I 上总有两点x' 和x"，虽然满足︳x'-x" ︳＜0，却有︳f （x'）-f （x"）︳＞ε。
证明取ε0=1，对∀δ（＜1），取x'=min ｛δ，12｝与x"=2'x ，便有︳x'-x" ︳=2'x ≤2δ＜δ，但"'11xx -=︳'1x -'2x ︳='1x ≥2＞1=0δ。
因此也可以说函数f （x ）在区间I 上连续，存在一个集合A=﹛δx ︳x ∈I ﹜，如果当集合A 中存在一个最小的δ 时，则f （x ）就是I 上一致连续，而f （x ）在区间I 上连续则只要求存在集合A 就可以了。
三 一致收敛概念1 函数列一致收敛的定义设S 1 ( x) , S 2 ( x) , ⋯, Sn ( x) , ⋯是一列定义在同一数集X 上的函数, 称为定义在X 上的函数列. 设{ un ( x) } 称为定义在X 上的函数列,表达式u 1 ( x) + u 2 ( x) + ⋯ + un ( x) + ⋯, x ∈X 称为定义在X 上的函数项级数,简记为∑∞=1n un ( x) 或∑un ( x) .设数集X 为函数项级数∑∞=1n un ( x) 的收敛域,则对每个x ∈X,记S ( x) =∑∞=1n un( x) ,称S ( x) 为函数项级数∑∞=1n un ( x)的和函数.定义i 设有函数列{ Sn ( x) } ,若对任给的ε > 0 ,存在只依赖于ε的正整数N (ε) ,当n > N (ε) 时,不等式︱Sn ( x) - S ( x) ︱ <ε对X 上一切x 成立,则称{ Sn ( x) } 在X 上一致收敛于是s （x ）.一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达:定义ii 设‖sn - s ‖ = I x ∈sup | Sn ( x) - S ( x) | ,若∞→n lim ‖sn - s ‖ = 0,就称Sn ( x) 在X 上一致收敛于S ( x) .定义2 ∀ε＞0，∃)(εN ∈N ，当时，对一切，都有．这时称函数列在上一致收敛于，记作 ． 一致收敛与逐点收敛之间的区别：定义2中的只依赖于，它适用于一切；而定义1中的极限式 (1) 若用陈述方式来表示时，其中的既与有关，又与中的考察点有关． 定义 设函数项级数的部分和函数列为．如果 ， 则称在上一致收敛于． 由定义2与定义易知： ● 若, 则． ● 若或在上一致收敛，，则它们在上必一致收敛．● 当把数列看作一个特殊的函数序列时，如果收敛，则可认为它在上一致收敛．●当把数项级数看作一个特殊的函数项级数时,如果收敛，则可认为它在上一致收敛．●又若，则同样可以认为．把逐点收敛（即数列或数项级数收敛）的柯西准则推广为一致收敛的柯西准则，即为以下两个定理．定理5.1在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切和一切都有．定理5.1'在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切和一切都有．有关定义2、定义以及柯西条件的否定说法，分别示于相关知识相关知识18.1-18.4．例5讨论函数列分别在和上的一致收敛性．解首先，对每一固定的，恒有，即在上处处收敛于．(i)当时，，，当时，对一切，都有．由于上述只依赖于，依据定义2，证得，．(ii)当时，由解出．由此可见既依赖，又依赖，故，．四对函数一致连续性的几点讨论弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。