【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备
数学分析知识要点整理
数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。
以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。
一、函数函数是数学分析的核心概念之一。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。
（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。
（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。
二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。
【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备
数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
考研数学分析重要考点归纳
考研数学分析重要考点归纳1.1考点归纳一、数列极限1．定义设{an}是一个数列，，对∀ε＞0，∃正整数N，当时，有，则称{an}收敛于a，则a称为数列的极限，记作．（1）无穷小数列：；（2）无穷大数列：；（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列；（4）收敛⇔的任何子列都收敛．2．性质（1）唯一性收敛数列{an}只有一个极限．（2）有界性若{an}收敛，则∃正数M，对∀n∈N*有．（3）保号性若（或＜0）则对或（），∃正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．（4）保不等式性收敛数列{an}与{bn}．若∃正数N0，当n＞N0时有a n≤bn，则（5）夹逼性设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：∃正数N0，当n＞N0时有则{cn}收敛，且3．四则运算4．单调有界定理单调且有界的数列一定存在极限．5．柯西收敛准则{an}收敛⇔对∀ε＞0，∃正整数N，当n，m＞N时有二、函数1．函数三要素定义域值域对应法则2．性质（1）有界性若∃正数M，对∀x∈D有则称f在D上有界．（2）单调性①单调递增对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；②单调递减对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．（3）奇偶性D关于原点对称①奇函数f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；②偶函数f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．（4）周期性若∃T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．3．分类（1）复合函数形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．（2）反函数设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．三、函数极限1．概念（1）函数f在点x0的极限f定义在U°（x0；δ'）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数δ（＜δ'），当0＜|x －x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x0的极限为A，记作（2）函数f在x趋于∞时的极限f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数N（≥a），使得当x＞N 时有则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作（3）左极限f定义在[x0，x0＋η）上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有则称A为f在点x0的左极限，记为（4）右极限f定义在（x0－η，x0]上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有就称A为f在点x0的右极限，记为（5）．2．性质（1）唯一性；（2）有界性；（3）保号性；（4）保不等式性；（5）夹逼性．注：函数极限性质同数列极限性质类似．3．归结原则f定义在上，存在⇔对任何含于且以x0为极限的数列，都存在且相等．4．单调有界定理f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．5．柯西准则f定义在上，存在⇔∀ε＞0，∃正数，使得对，有6．两个重要极限7．无穷小量与无穷大量（1）无穷小①时的无穷小，得；②时的无穷小，得．（2）无穷小的性质若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．（3）无穷大f（x）定义在U0（x0）上．对∀给定的正数M，总∃正数（或正数X），只要（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当或（）时的无穷大．8．相关无穷小的定义（1）高、低阶无穷小若，则称x→x0时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作（2）同阶无穷小f和g定义U0（x0）上，若∃正数K和L，满足则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量．（3）等价无穷小若，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量,记作注：常用的等价无穷小9．渐近线设曲线y＝f（x）（1）斜渐近线y＝kx＋b（2）垂直渐近线若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．（3）水平渐近线若（或者），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．四、函数的连续性1．概念（1）连续的定义f（x）定义在U（x0）上，若则f在点x0连续．2．性质（1）有界性；（2）保号性；（3）四则运算．3．间断点（1）定义函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．（2）类型①第一类间断点a．可去间断点在间断点处函数左右极限相等．b．跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等．②第二类间断点a．无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．b．振荡间断点在间断点处函数值在一个区间变化．4．定理（1）最值定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．（2）有界性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．（3）介值性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．（4）根的存在定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得．5．一致连续（1）定义f定义在区间I上，如果对于∀给定的正数ε，总∃正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有则称f在I上一致连续．（2）一致连续与连续的关系如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I 上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．（3）一致连续性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．。
研究生数学分析基础知识点归纳总结
研究生数学分析基础知识点归纳总结数学分析是研究实数、函数、极限、导数、积分等数学概念和运算规则的基础学科。
作为研究生的基础课程之一，熟悉数学分析的基础知识点对于进一步深化数学研究和解决实际问题具有重要意义。
本文将对研究生数学分析的基础知识点进行归纳总结。
一、实数与数列实数是数学中最基本的概念之一，它包括有理数和无理数。
有理数可以表示为两个整数的比值，无理数则不能表示为有理数的比值。
数列是按照一定规律排列的数的集合。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列中，每个数与它的前一个数之差是一个常数，称为公差；等比数列中，每个数与它的前一个数之比是一个常数，称为公比。
二、函数与极限函数是描述两个变量之间关系的一种工具。
在数学分析中，我们常常研究的是实值函数，即定义域和值域都是实数集合。
极限是研究函数在某一点附近趋于无穷时的性质。
我们通常用函数在该点附近取值的情况来描述这种趋势。
常见的极限包括左极限、右极限和无穷极限。
三、导数与微分导数是描述函数变化率的重要概念。
它刻画了函数在某一点附近的局部性质。
导数的定义是函数在该点的极限，可以通过求导数来研究函数的变化情况。
微分是导数的一个应用，它描述了函数在某一点的线性逼近。
微分可以用来求解优化问题、近似计算等。
四、积分与函数的面积积分是对函数进行求和的过程，它可以用来求解曲线下面积、函数的平均值等。
积分的定义是将函数分成无穷小的小区间，然后对每个小区间的值进行求和并取极限。
函数的面积是积分的一个重要应用。
通过计算函数与坐标轴之间的面积，我们可以得到函数在一段区间上的积分值，进而研究函数的性质。
五、级数与收敛性级数是由无穷多个数相加而成的表达式。
级数的部分和是指级数的前n个数相加的结果。
级数的收敛性是研究级数求和是否存在有限结果的性质。
当级数的部分和趋于某个有限值时，我们称该级数收敛；当级数的部分和不趋于有限值时，我们称该级数发散。
六、泰勒展开与函数逼近泰勒展开是将函数表示为一系列无穷次多项式相加的形式。
有关考研数学的知识点总结
有关考研数学的知识点总结一、数学分析数学分析是考研数学中非常重要的一部分，其中包括实数、极限、连续、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程等内容。
1. 实数实数包括有理数和无理数，所有有理数都可以表示为分数形式，而无理数则不可以。
2. 极限极限是数学分析中非常重要的一个概念，它是函数逼近的概念，通常用符号lim表示。
极限有左极限、右极限和无穷极限等不同形式。
3. 连续连续是函数的一个非常重要的性质，连续函数在一定范围内有非常好的性质，例如连续函数的介值定理等。
4. 导数与微分导数是函数变化率的表示，微分则是函数在某点附近的线性近似。
导数和微分在数学分析中有非常重要的应用。
5. 不定积分不定积分是求导的逆运算，通常用积分符号∫表示。
不定积分需要考生掌握一些积分的常见法则和方法。
6. 定积分定积分是区间上函数值的累积和，通常用积分符号∫表示。
定积分在数学分析和物理等领域有非常广泛的应用。
7. 微分方程微分方程描述了变化的规律，它在物理、工程、生物等领域有非常重要的应用。
微分方程是考研数学中比较难的一部分，考生需要掌握一些基本的解微分方程的方法。
二、高等代数高等代数是考研数学中另一个非常重要的一部分，其中包括线性代数和群论两个部分。
1. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的一门数学学科，其中包括向量、矩阵、行列式、特征值和特征向量、正交、对称矩阵等内容。
2. 群论群论是研究代数结构的一门数学学科，其中包括群的基本概念、子群、正规子群、同态映射、同构等内容。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是考研数学中的另一个非常重要的一部分，其中包括概率的基本概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的函数的概率分布、大数定律和中心极限定理、参数估计和假设检验等内容。
总的来说，考研数学的知识点非常丰富，需要考生有扎实的数学基础才能顺利通过考试。
希望考生能够认真复习，掌握好这些知识点，顺利通过考研数学。
(完整版)数学分析知识点总结
(完整版)数学分析知识点总结数学分析知识点总结导数与微分- 导数的定义：导数是一个函数在某一点的斜率，表示函数的增减速度。
- 常见函数的导数公式：- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$- 指数函数：$(a^x)' = a^x\ln(a)$- 对数函数：$(\log_a(x))' = \frac{1}{x\ln(a)}$- 微分的定义：微分是切线在某一点处的线性近似，表示函数在该点的局部变化情况。
积分与不定积分- 不定积分的定义：不定积分是对函数的原函数的求解，表示函数从某一点到变量的积分结果。
- 常见函数的基本积分公式：- 幂函数：$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$- 正弦函数：$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$- 余弦函数：$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$一元函数极限- 极限的定义：函数在某一点处的极限是函数在这一点附近的取值逐渐趋于某个固定值的情况。
- 常见函数的极限计算方法：- 算术运算法则：常数的极限是常数本身；极限的和等于极限的和；极限的乘积等于极限的乘积。
- 复合函数法则：对于复合函数，可以先求内层函数的极限，再求外层函数的极限。
泰勒级数- 泰勒级数的定义：泰勒级数是一个函数在某一点附近的展开式，由函数在该点的导数决定。
- 常见函数的泰勒级数展开：- 幂函数：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$以上是数学分析的一些基本知识点总结，希望对您有所帮助。
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
研究生数学复试知识点总结
研究生数学复试知识点总结一、高等数学1. 极限与连续极限的定义、性质、极限存在与否、无穷大与无穷小、洛必达法则、泰勒公式、连续的定义、连续函数的性质2. 导数与微分导数与微分的定义、性质、求导法则、高阶导数、函数的微分、导数与微分的应用3. 积分学不定积分、定积分、积分性质、积分方法、定积分的应用、广义积分、变上限积分4. 多元函数微积分偏导数、全微分、多元函数的极值与最优化、隐函数与参数方程求导、重积分5. 线性代数行列式、矩阵与行列式、向量与矩阵、向量空间及其性质、线性变换二、概率论与数理统计1. 随机事件与概率概率的基本概念、古典概型与几何概型、事件的运算、条件概率、独立事件、重复独立实验、伯努利概型与二项分布2. 随机变量及其分布随机变量的定义、分布函数、密度函数、常见离散型、连续型随机变量及其分布、随机变量的函数的分布3. 多维随机变量及其分布二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布、独立性、随机变量的函数的分布4. 数理统计样本与统计量、参数估计、区间估计、假设检验、方差分析、相关性与回归分析三、数学分析1. 数列的极限数列的概念、极限的定义、数列极限的性质、收敛子列、无穷小量、无穷大量2. 函数的极限函数极限的概念、极限存在性与运算法则、函数极限的性质、无穷小量、无穷大量3. 函数的连续性连续函数的概念、连续函数的性质、连续函数的运算、间断点与间断函数4. 导数与微分函数的导数与微分的定义、性质、求导法则、高阶导数、微分中值定理5. 积分学不定积分、定积分、积分性质、积分方法、变上限积分、定积分的应用、广义积分6. 一元函数积分学变限积分、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的性质、反常积分、积分中值定理7. 函数级数函数项级数的概念、级数收敛性的判别法、幂级数及其收敛区间四、常微分方程1. 一阶微分方程一阶微分方程的基本概念、可分离变量方程、一阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程2. 高阶线性微分方程高阶线性微分方程的概念、线性齐次微分方程、非齐次微分方程、常系数齐次线性微分方程3. 变参数线性微分方程非齐次线性微分方程的特解、常数变易法、欧拉方程五、离散数学与组合数学1. 逻辑与命题命题的概念、命题的逻辑联结词、充分必要条件、充要条件、充分条件、等价命题2. 集合论集合及其运算、集合的基本关系、集合的基数3. 代数结构代数系统及其性质、子群、剩余类4. 图论图、连通性、欧拉图、哈密顿图、树、生成树5. 抽象代数群、环、域的概念、子群、同态映射、同态定理六、数学建模1. 数学建模基础数学建模的基本概念、建模方法2. 数学建模案例分析典型数学建模案例、建模过程与方法、模型的评价与改进七、其他1. 离散数学图论、逻辑、集合论、代数系统2. 函数分析度量空间、赋范空间、拓扑空间3. 实分析Lebesgue积分、实变函数、泛函分析4. 复分析复变函数、解析函数总结：以上是研究生数学复试的知识点总结，希望大家能够认真学习，掌握好这些知识点，取得优异的成绩！。
硕士数学知识点总结
硕士数学知识点总结一、数学分析1. 极限与连续极限的概念是数学分析的基础，是分析函数的重要工具。
连续性是极限的重要应用，用来描述函数在点上的连续性。
在数学分析中，极限与连续是最基本的概念之一。
2. 微分与积分微分和积分是数学分析的重要分支，微分主要研究函数的变化规律，积分主要研究函数的面积和曲线长度。
微分和积分是数学分析的核心内容，也是物理、工程、经济等领域中最常见的数学工具。
3. 函数和级数函数是数学分析中的一个重要概念，级数是分析中的另一个重要概念。
函数是数学分析中研究的基本对象，级数是分析中用来研究无穷和的工具。
4. 泛函分析泛函分析是数学分析的重要分支之一，主要研究无穷维空间中的函数和算子。
泛函分析是抽象数学的重要分支，在数学分析及其应用中有着重要的作用。
5. 复变函数复变函数是数学分析中的一个重要分支，主要研究复数域上的函数。
复变函数是数学分析的重要组成部分，又是其他数学领域的重要工具。
6. 偏微分方程偏微分方程是数学分析中研究的一个重要对象，主要研究多元函数的变化规律。
偏微分方程是数学分析的重要应用，是物理、工程、经济等领域中最常见的数学工具之一。
二、代数学1. 线性代数线性代数是代数学的一个重要分支，主要研究向量空间及其上的线性运算。
线性代数是数学中的一门重要基础课，也是其他数学领域的重要工具。
2. 抽象代数抽象代数是代数学的一个重要分支，主要研究抽象代数结构及其性质。
抽象代数是现代数学的一个重要分支，与实际生活和工程实践有着密切的联系。
3. 群论群论是代数学的一个重要分支，主要研究群及其作用。
群论是现代数学的一个重要分支，对于代数、几何、拓扑等领域有着重要的应用。
4. 环论环论是代数学的一个重要分支，主要研究环及其作用。
环论是现代数学的一个重要分支，对于代数、几何、拓扑等领域有着重要的应用。
5. 域论域论是代数学的一个重要分支，主要研究域及其作用。
域论是现代数学的一个重要分支，对于代数、几何、拓扑等领域有着重要的应用。
数学分析二知识点总结
数学分析二知识点总结1. 函数列的收敛性：对于一列实函数{f_n(x)}，研究其各种收敛性概念。
点wise收敛、均匀收敛、几乎处处收敛等。
并研究收敛函数的性质和性质与各种收敛性的关系。
2.序列与函数的一致收敛性：研究函数列和函数序列的一致收敛性。
定义一致收敛，讨论一致收敛的性质，研究一致收敛性与各种极限的关系，以及一致收敛性与函数列、函数序列的运算。
3.无穷级数：研究无穷级数的性质和收敛性。
包括正项级数的收敛判别法，相对收敛性和绝对收敛性的概念与判断方法，以及收敛级数的性质（如正项级数的可加性和乘性和级数的收敛域）。
4.一致收敛级数的性质：研究一致收敛级数的性质和运算法则。
包括可逐项积分、可逐项微分、可逐项求和等。
5.可积函数与一致收敛级数的关系：研究可积函数与一致收敛级数的关系。
包括一致收敛级数在区间上的连续性、可逐项积分导数（或小定理）、可积函数级数的可逐项求和等。
6.点集拓扑：介绍点集拓扑的基本概念和性质。
研究拓扑空间、度量空间、连续映射、紧性等概念。
7.紧致性：研究集合紧致性，包括紧集合的性质、紧集合的判定、紧致性在拓扑空间中的性质和应用等。
8.一致连续性与紧致性：研究一致连续性与紧致性的关系。
证明一致连续函数在紧致集内一致连续，以及紧致集上的连续函数的一致连续性。
9.一致连续函数的等价刻画：研究一致连续函数的等价刻画定理，比较不同刻画方法的优劣以及与其他函数性质的关系。
10.极限函数的一致连续性：研究极限函数的一致连续性与原函数的一致连续性的关系。
证明原函数的一致连续性在全体点和紧致集上一致极限函数都是一致连续的。
11.齐一致收敛：研究级数齐一致收敛的概念与性质。
证明齐一致收敛级数可逐项微分、一致积分，且具有所得可逐项积分或微分等性质。
12.函数序列的逐点收敛性与一致收敛性的关系：讨论函数序列的逐点收敛与一致收敛的关系。
证明逐点收敛到连续函数的函数序列是一致收敛的。
以上只是数学分析二的一些主要知识点总结，该科目还包含其他更深入和复杂的理论和方法，如不完备空间、类连续函数、紧性判定定理等。
广东省考研数学复习资料数学分析重要概念与定理归纳
广东省考研数学复习资料数学分析重要概念与定理归纳广东省考研数学复习资料：数学分析重要概念与定理归纳数学分析是研究实数、序列、函数和极限的数学学科，也是广东省考研数学科目中的重点内容之一。
在准备考研数学分析科目时，重要概念与定理的掌握和理解至关重要。
本文将对数学分析中一些重要的概念和定理进行归纳总结，帮助考生进行系统的复习。
一、实数与函数1. 实数的性质与运算在数学分析中，实数是最基本的概念之一。
实数具有以下性质：- 实数集的闭区间套定理- 实数集的稠密性- 实数的有序性- 实数的完备性实数运算的性质包括交换律、结合律、分配律等。
2. 函数的定义与性质函数是数学分析中研究的核心对象，了解函数的定义与性质对于数学分析的学习至关重要。
常见的函数类型包括初等函数、多项式函数、有理函数、指数函数和对数函数等。
函数的基本性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性、反函数等。
二、极限与连续性1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
通常使用极限的定义和性质来研究函数的极限。
主要包括左极限、右极限、无穷极限等。
2. 一致收敛与点态收敛函数序列的收敛性是数学分析中的重要概念之一。
一致收敛与点态收敛是序列收敛性的两个常见概念。
了解它们的定义及其性质对于分析函数序列的收敛性十分重要。
3. 连续性连续性是函数的一个重要性质，它刻画了函数在某一点的平滑性程度。
连续函数的性质包括局部有界性、零点定理、介值定理等。
对于分段函数的连续性，需要掌握分段函数的连续性的条件和性质。
三、微分与积分1. 微分学基本概念微分学是数学分析的重要分支，研究函数的变化率和函数的最值问题。
微分学的基本概念包括导数、高阶导数、隐函数与显函数等。
2. 微分的基本性质与运算法则微分的基本性质和运算法则是进行微分计算的基础。
掌握微分运算的性质和规则有助于有效地计算和分析问题。
3. 积分的定义与性质积分是数学分析中的重要内容，用于计算曲线下面的面积或者函数在一定区间上的累积量。
考研数学一大纲解读数学分析部分重点概念解析
考研数学一大纲解读数学分析部分重点概念解析考研数学一大纲解读数学分析部分重要概念解析数学分析是考研数学一科目中的重要内容之一，它对于数学基础的掌握和问题解决能力的培养具有关键作用。
理解和掌握数学分析部分的重要概念，对于考研数学的学习和备考都十分重要。
本文将解读考研数学一大纲中数学分析部分的重点概念，帮助考生们更好地理解和应用这些概念。
一、极限与连续极限与连续是数学分析的基础概念，也是考研数学一中的重要内容。
在数学分析中，极限是指函数在某一点附近逼近某个值的过程。
在大纲中，关于极限的内容包括极限的定义、极限存在的判定和常用的极限运算法则等。
极限的定义是数学分析中最基础的概念之一，它将极限与函数的取值和自变量的趋势联系起来。
通过理解和掌握极限的定义，可以准确描述函数在某一点处的性质以及函数在整个定义域内的行为。
在极限存在的判定中，我们需要注意连续函数和间断点的概念。
连续函数是指在其定义域内，函数的极限等于函数在该点的取值。
间断点则是指函数在某一点处不满足连续的条件，可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。
二、导数与微分导数是数学分析中研究函数的变化率和增减性的重要概念。
在大纲中，导数的定义、导数的运算法则以及常用的导数公式是考查的重点。
导数的定义是指函数在某一点处的变化率或者切线斜率。
导数的运算法则包括和差积商法则、导数与函数的四则运算法则以及复合函数求导法则。
这些运算法则是理解函数的变化和刻画函数性质的基础。
微分是导数的一个重要应用，它通过导数计算函数在某一点附近的近似变化。
微分在数学中有广泛的应用，例如在物理学中描述运动、在经济学中建立数学模型等。
三、不定积分与定积分不定积分和定积分是数学分析中研究函数与曲线的重要工具。
在大纲中，不定积分的定义、基本积分表和常用的积分方法是考查的重点。
不定积分是指求解一个函数的原函数的过程。
在不定积分的计算中，需要掌握基本积分表和常用的积分方法，例如换元积分法、分部积分法等。
数学考研数学分析重点梳理
数学考研数学分析重点梳理一、数列与极限1. 数列的概念与性质数列的定义、数列的极限、数列的有界性等2. 数列极限的判定方法夹逼准则、单调有界准则、卡氏准则等3. 无穷级数无穷级数的概念、收敛性与发散性、常见级数等4. 函数的极限函数的概念、函数极限的定义、函数极限的性质等二、连续函数与一元函数微分学1. 连续函数与间断点连续函数的概念、间断点的分类、连续函数的性质等2. 闭区间上连续函数的性质零点存在性、介值定理、最值定理等3. 一元函数微分学的基本概念导数的定义、函数的可导性、导数的几何意义等4. 导数的计算和应用导数的四则运算法则、高阶导数、隐函数求导、极值问题等三、多元函数微分学1. 多元函数及其图像多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的性质等2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义、全微分的计算等3. 多元函数的连续性与偏导数存在性多元函数的连续性、混合偏导数的存在性、 Schwarz 定理等4. 多元函数的极值与条件极值二元函数的极值、拉格朗日乘子法、约束条件的处理等四、一元函数积分学1. 不定积分不定积分的定义、基本积分表、换元积分法等2. 定积分定积分的定义、定积分的性质、常用积分公式等3. 定积分的计算方法牛顿－莱布尼茨公式、分部积分法、曲线长度与旋转体体积等4. 应用问题平面向量的应用、物理问题与几何问题等五、多元函数积分学1. 二重积分二重积分的定义、二重积分的计算方法、极坐标下的二重积分等2. 二重积分的应用质量、质心、转动惯量、面积等应用问题3. 三重积分三重积分的定义、三重积分的计算方法、球坐标下的三重积分等4. 三重积分的应用质量、质心、转动惯量、体积等应用问题以上便是数学考研数学分析的重点梳理，希望对你的学习有所帮助。
通过对这些重点知识的掌握和学习，相信你能够顺利应对数学分析的考试。
加油！。
广西壮族自治区考研数学复习资料数学分析重要概念梳理
广西壮族自治区考研数学复习资料数学分析重要概念梳理第一部分：数学分析基础知识在考研数学中，数学分析是非常重要的一部分。
下面将对数学分析中的一些重要概念进行梳理，以帮助考研学子更好地进行复习。
1. 实数与复数实数是指包括有理数和无理数在内的数的集合。
有理数包括整数、分数和循环小数等。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，如π和根号2。
复数是由实部和虚部构成的数，一般记作a+bi，其中a和b 为实数，且i为虚数单位。
2. 极限与连续在数学分析中，极限是非常重要的概念。
极限可以用来描述函数在某一点的变化趋势。
函数在某一点x处极限存在的条件是左极限和右极限存在且相等。
连续性则是描述函数在某一区间内的无间断性。
3. 导数与微分导数是描述函数在某一点上变化率的概念，也可以理解为函数的斜率。
导数由定义式、几何意义和性质等方面展开讨论。
微分是导数的微小变化量。
4. 不定积分与定积分不定积分是求导运算的逆运算，是对函数的原函数的求解。
定积分是函数在某一区间上的面积或曲线长度等的计算，可以理解为求解不定积分的一个特定值。
第二部分：数学分析重要定理与方法1. 极值与最值在数学分析中，极值是指函数在某一区间或全局范围内的最大值和最小值。
极值的存在与函数在该区间或范围内的连续性和可导性有关。
2. 中值定理中值定理是数学分析中的重要定理之一，它描述了函数在某一区间内的某两点之间存在一点，该点的切线斜率等于两点间的平均斜率。
中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
3. 泰勒展开与泰勒级数泰勒展开是数学分析中的重要方法，用于将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
泰勒级数是泰勒展开的特殊情况，即将函数在某一点附近展开成幂级数。
4. 常微分方程常微分方程是数学分析中的重要内容，研究描述物理、生物、工程等实际问题中的变化规律的方程。
常微分方程分为一阶和高阶，包括线性常微分方程、常系数线性常微分方程等。
第三部分：数学分析应用领域数学分析的应用非常广泛，涉及到许多领域。
数学河南省考研数学数学分析知识点梳理
数学河南省考研数学数学分析知识点梳理数学分析是数学的一门重要基础课程，对于河南省考研的数学专业来说尤为重要。
本文将对河南省考研数学数学分析的重点知识点进行梳理，以帮助考生更好地备考。
一、实数与数列
1. 实数的定义与性质
2. 数列的概念与性质
3. 数列极限的定义与性质
4. 常见数列的极限计算
二、函数与连续性
1. 函数的概念与性质
2. 常见数学函数的性质与图像特征
3. 函数的连续性与间断点分类
4. 闭区间上连续函数的性质
三、导数与微分
1. 导数的定义与性质
2. 常见函数的导数计算
3. 高阶导数与莱布尼茨公式
4. 微分的概念与性质
四、积分与定积分
1. 不定积分的基本性质
2. 常见函数的积分计算
3. 定积分的概念与性质
4. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用
五、级数与幂级数
1. 级数的概念与性质
2. 常数项级数的敛散性判定
3. 幂级数的收敛半径与收敛域
4. 幂级数的求和与常用公式
六、数学分析的应用
1. 曲线的切线与法线
2. 牛顿法与泰勒展开
3. 二重积分与对称性
4. 参数方程与极坐标
以上是数学河南省考研数学数学分析的主要知识点梳理，希望能给
考生提供一些帮助。
在备考过程中，考生还应结合历年真题进行练习，加深对知识点的理解和掌握。
祝愿各位考生取得优异的成绩！。
数学分析中的重要知识点
数学分析中的重要知识点数学分析是数学的重要分支之一，它研究的是函数、极限、连续性、微分和积分等数学概念及其性质。
在数学分析的学习过程中，有一些重要的知识点需要我们深入理解和掌握。
本文将介绍数学分析中的几个重要知识点，包括极限、连续性、导数和积分。
一、极限极限是数学分析中的基本概念之一，它描述了一个函数在某一点附近的趋势。
在数学中，我们用极限来定义函数的连续性、导数和积分等重要概念。
极限的计算方法有很多，常见的有代数运算法、夹逼准则和洛必达法则等。
通过研究极限，我们可以更好地理解函数的性质和行为。
二、连续性连续性是数学分析中的重要性质，它描述了一个函数在某一区间上的连续性。
一个函数在某一点连续，意味着它在该点的极限存在且与函数在该点的取值相等。
连续函数具有很多重要的性质，如介值定理、零点定理和最值定理等。
通过研究连续性，我们可以推导出函数的各种性质和定理，为后续的分析工作打下基础。
三、导数导数是数学分析中的重要概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。
导数可以用来求解函数的极值、判断函数的单调性和凸凹性等。
常见的导数计算方法有基本导数公式、链式法则和隐函数求导等。
通过研究导数，我们可以更好地理解函数的变化规律和性质。
四、积分积分是数学分析中的重要工具，它描述了一个函数在某一区间上的累积效应。
积分可以用来求解曲线下的面积、计算函数的平均值和求解微分方程等。
常见的积分计算方法有不定积分和定积分等。
通过研究积分，我们可以更好地理解函数的整体行为和性质。
综上所述，极限、连续性、导数和积分是数学分析中的重要知识点。
它们相互关联，共同构成了数学分析的基础理论体系。
通过深入理解和掌握这些知识点，我们可以更好地解决数学分析中的问题，提高数学分析的应用能力。
希望本文对读者在数学分析的学习和研究中有所帮助。
山东省考研数学复习资料数学分析重要定理总结
山东省考研数学复习资料数学分析重要定理总结数学分析是数学的基础学科之一，对于考研数学的复习来说，数学分析的重要性不言而喻。
在准备考研数学分析时，我们需要熟练掌握各种定理和公式，才能在考试中高效解题。
本文将对山东省考研数学分析的重要定理进行总结，供考生参考。
一、极限与连续1. 函数极限定义：对于函数$f(x)$，当$x$无限接近于某一值$a$时，如果$f(x)$的值无限接近于某一常数$A$，则称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$A$，记作$\lim_{x\to a} f(x) = A$。
2. 极限的四则运算法则：设$\lim_{x\to a} f(x) = A$，$\lim_{x\to a} g(x) = B$，则有：a) $\lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$b) $\lim_{x\to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$c) $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）3.连续函数的性质：若函数$f(x)$在$x=a$处连续，则有：a) $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$b) 连续函数的和、差、积、商仍为连续函数二、导数与微分1. 导数的定义：设函数$f(x)$在$x_0$处有定义，当$x$无限接近于$x_0$时，若极限$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$存在，则称此极限为函数$f(x)$在$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。
2. 常用导数公式：a) $(x^n)' = nx^{n-1}$（其中$n$为正整数）b) $(e^x)' = e^x$c) $(\ln x)' = \frac{1}{x}$3. 高阶导数与隐函数导数：a) 函数$f(x)$的二阶导数：$f''(x) = (f'(x))'$b) 隐函数导数：对于方程$F(x,y)=0$，若存在导数$\frac{dy}{dx}$，则称$\frac{dy}{dx}$为隐函数导数。
数学分析知识点归纳
数学分析知识点归纳1:数列是一种特殊的函数,特殊的地方就在于它的定义域是离散的正整数,而函数则是连续的.因此我们可发现数列极限和函数极限存在着许多相似的地方.而海涅定理(归结原则)则将这两者很好的结合起来了.2:(实)函数是一种特殊的映射,特殊的地方就在于它的定义域和值域都是在实数内取值.且定义域和对应法则决定了两个函数是否相同,我们应该知道数学分析的研究对象是实函数.3:函数的极限中我们有一点应该注意,那就是函数在这一点是否有定义,这是无须考虑的.而函数的连续性中就要求在该点必有定义．这也算是函数的极限与函数的连续性的区别．4:连续与一致连续是函数连续性中两个极为重要的概念,连续是指点态连续,是一个局部概念.而一致连续是指区间连续.是一个全局概念.这一点类似于极值与最值.并且在他们的精确定义中也存在着区别,同时我们知道一致连续可以推出连续,但连续却不可以推出一致连续,反例是:y=1/x.5:初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合得到的,而基本初等函数有六类:常量函数,幂函数,指数函数.对数函数,三角函数,反三角函数.对于分段函数,并非所有的分段函数都是非初等函数,存在着一些分段函数是初等函数. 6:对数求导法是在函数两边取自然对数然后运用隐函数求导法,适用于幂指函数,以及含有因式相乘除,开方的函数.7:洛必达法则是求极限的一种极为重要的方法,但必须注意其适用的条件.若使用洛必达法则后出现极限不存在的情况(极限既不是有限数,也不是无穷大),这并不能说明原极限不存在,只能说明该法则失效.8:等价无穷小代换只限于乘除,而不限于加减.同阶无穷小量不一定是等价无穷小量,但等价无穷小量一定是同阶无穷小量,无穷大量一定是无界量,但无界量不一定是无穷大量.9:不定积分和定积分是有区别的.我们注意到不定积分是原函数族,或原函数类.是一个集合的概念.而定积分是黎曼和的极限,它是一个数.同时我们知道不定积分是一种算子,而定积分则是一种泛函.。
(完整版)《数学分析》考试知识点.
《数学分析》考试知识点题目类型及所占比例：填空题（20分）、解答题（60分）、证明题(70分)考试范围：一、极限和函数的连续性考试内容：1映射与函数的概念及表示法，函数的四则运算、复合函数与反函数的求法，函数的有界性、奇偶性、单调性与周期性；2数列与函数极限的定义与性质，函数的左右极限，无穷小量与无穷大量的概念及关系、无穷小量与无穷大量的阶，极限的计算；3函数的连续性和一致连续性；4实数系的连续性；5连续函数的各种性质。
考试要求：1理解映射与函数的概念，掌握函数的表示法；会函数的四则运算、复合运算；知道反函数及隐函数存在的条件及求法；了解初等函数的概念，会求初等函数的定义域；2理解函数与数列极限(包括左右)的概念，会用极限的概念证明有关极限的命题；熟练掌握极限的四则运算及性质；会问题及简单的求函数熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。
掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。
掌握实数系的基本定理。
熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。
熟练掌握闭区间上连续函数的性质。
二、一元函数微分学考试主要内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。
考试要求：理解导数和微分的概念。
熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。
熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
能用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。
掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
三、一元函数积分学考试主要内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。
考试要求：理解不定积分的概念。
掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。
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数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
确界存在定理⇒单调有界数列收敛定理⇒闭区间套定理⇒Bolzano-Weierstrass 定理⇒Cauchy收敛原理这五个定理是等价的，这五个定理每个都是实数系的基本定理。
第三章函数极限与连续函数1.函数极限的定义函数极限的性质：（1）唯一性（2）局部保序性（3）夹逼性2.连续函数第一类不连续点（跳跃点）：左右极限都存在但不相等。
第二类不连续点：左右极限至少有一个不存在。
第三类不连续点（可去点）：左右极限都存在但是0()f x 与他们不相等或在0x 处无定义Eg:Riemann 函数()R x 在任意点的极限存在，且为0.。
换而言之，一切无理点是()R x 的连续点，一切有理点是()R x 的第三类不连续点。
区间（a,b ）上的单调函数的不连续点必为第一类不连续点。
定理3.2.4 一切初等函数在其定义区间上连续。
3.无穷小量与无穷大量000()lim 0()()()()()()lim 1()()lim 0()x x x x x x u x v x u x a A v x u x v x u x v x v x u x →→→⎧=⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎩高阶无穷小：同阶无穷小：邻域内关于是同阶无穷小：低阶无穷小：000()lim ()()()()()()lim 1()()lim ()x x x x x x u x v x u x A v x u x v x u x v x v x u x →→→⎧=∞⎪⎪⎪≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=∞⎪⎩高阶无穷大：同阶无穷大：邻域内关于是同阶无穷大：低阶无穷大： 一些等价量1tan ~()22x x xππ-→-2ln(1)~1~ (0)(1)~1cos ~2x x xe x x x x x x α+-→+-计算中无穷小量出现加减的时候不能贸然使用等价量进行替换。
5. 闭区间上的连续函数定理3.4.1（有界性定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续则它在[,]a b 上有界。
用闭区间套定理证明。
开区间上的连续函数不一定是有界的。
定理3.4.2（最值定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续则它在[,]a b 上必能取到最大值与最小值。
用3.4.1+Bolzano-Weirrstrass 定理证明定理3.4.3（零点存在定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则一定存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=定理3.4.4（中间值定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则它一定能取到最大值何最小值之间的任何一个值。
直接用零点存在定理证明。
一致连续概念定理3.4.6（Cantor 定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则它在[,]a b 上一致连续。
用Bolzano-Weierstrass 定理证明定理3.4.7 函数()f x 在有限开区间(,)a b 连续，则()f x 在(,)a b 上一致连续的充要条件是()f a +与()f b -存在。
第四章 微分 1.微分和导数可微一定连续定理4.1.1 可微充要条件是可导。
2.导数的意义和性质 导数的四则运算[例]函数组合导函数11'111()'()'()'()()n ni i i i i i nn ni i j i i i i i i j c f x c f x c f x f x c f x =====≠⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑∑∏∏对数求导法()()()()'()''()'()ln ()()()v x v x y f x u x u x y z y u x v x u x v x u x ==⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦隐函数求导 倒数：21'(),'()()g x y y g x g x ==- 参数方程：'()'()dy y t dx x t = 5.高阶导数和高阶微分[例] ()()sin sin()2cos cos()2n n n x x n x x ππ=+=+复合函数二阶导：()()y f uu g x=⎧⎨=⎩2222222+d y d y du dy d udx dx dx du dx⎛⎫= ⎪⎝⎭对于含参数的函数：22''()''() d y t dx tϕφ≠第五章微分中值定理及其应用1.微分中值定理grange中值定理2.L‘Hospital法则注意：0*,0∞才能只用洛必达法则，只用之前必须验证；洛必达法则失效时极限不一定不存在。
()lim()ln()lim()g x g x f xf x e=3.Taylor公式和插值多项式4.函数的Taylor公式及其应用f x在0()f x的Maclaurin公式x 处的Taylor公式又称为()渐近线5.Taylpr公式的应用第六章不定积分3.有理函数的不定积分及其应用（1）多项式分母分解（2）根号分解（3）三角函数第七章 定积分1.定积分的概念和可积条件Dirichlet 函数是黎曼不可积的引理7.1.1 若在原有划分中加入分店形成新的划分，则大和不增，小和不减。
Daboux 大和、小和11()=()=ni ii ni ii S P M x S P m x ==∆∆∑∑推论1 闭区间上的连续函数必定可积 推论2 闭区间上的单调函数必定可积推论3 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积 2.定积分的基本性质 （1）线性性质（2）乘积可积性 设()f x 和()g x 都在[,]a b 上可积，则()()f x g x 在（3）保序性 设()f x 和()g x 都在[,]a b 上可积，且在[,]a b 上恒有()()f x g x ≥，则成立()()bbaaf x dxg x dx ≥⎰⎰（4）绝对可积性 设()f x 在[,]a b 上可积，则|()|f x 在[,]a b 上也可积，且成立()|()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰反之该性质是不成立的（5）区间可加性 设()f x 在[,]a b 上可积，则对任意点[,]c a b ∈，()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都可积；反过来，若()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都可积，则()f x 在[,]a b 上可积。
()()+()bcbaacf x dx f x dx f x dx =⎰⎰⎰（6）积分第一中值定理3.微积分基本定理-Newton-Leibniz公式定理7.3.5 设()f x 在对称区间[,]a a -上可积 （1） 偶函数：0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰（2） 奇函数()0aaf x dx -=⎰定理7.3.6 设()f x 是以T 为周期的可积函数，则对任意a()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰sin()cos()0mx nx dx ππ-=⎰0,0sin()sin(),0m n m n mx nx dx m n πππ-≠==⎧=⎨=≠⎩⎰或0,cos()cos(),02,0m n mx nx dx m n m n ππππ-≠⎧⎪==≠⎨⎪==⎩⎰ 4.定积分在几何计算中的应用连续函数之间的求面积公式：||ba S f g dx =-⎰极坐标的求面积公式：21()2b aS r d θθ=⎰求曲线的弧长弧长的微分：dl =普通形式：al =⎰极坐标：al =⎰三维空间上：l =➢ 计算特殊几何体的体积普通几何体：()ba V A x dx =⎰旋转体：2[()]baV f x dx π=⎰曲面面积：22112(2()T T T T S y t y t dl ππ==⎰⎰➢ 曲率曲率：0lims d K s dsϕϕ∆→∆==∆，3222''''''('')x y x y K x y -=+如果曲线由()y f x =表示，322''(1')y K y =+第八章 反常积分1.反常积分的概念和计算反常积分()af x dx +∞⎰的敛散性等价于原函数极限的敛散性（1）11,111,1pp p dx x p +∞⎧>⎪-=⎨⎪+∞≤⎩⎰，10,111,11pp dx p x p +∞≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩⎰ （2）1,0,0ax a e dx aa +∞-⎧>⎪=⎨⎪+∞≤⎩⎰无穷区间上的反常函数与无界函数的反常积分是可以互相转换的。