数学分析讲义
数学分析讲义
f (x)
-x
o
偶函数
x
x
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
四、周期函数
定义 设函数 f ( x ) 定义在数集 A .若 ∃l > 0, ∀x ∈ A ，有 x + l ∈ A ，且
f (x ± l ) = f (x )
则称函数 f (x ) 是周期函数， l 称为函数 f (x ) 的一个周期 周期. 周期
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
y=sin(x)
1
0.5
10 -0.5
20
30
40
50
-1
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
1 + ( −1) n n + 1 例 2 数列 有界. 与 2 n
例 3 反正切函数 y = arctgx 与反余切函数 y = arc ctgx 在 R 有界（如下图）. 事实上， ∃Μ = 与
3l − 3l −2 2
l − l − 2 2
l l 2 2
3l 3l 2 2
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
数学分析讲义
§1.3 复合函数与反函数
一、复合函数
G 定义 设函数 z = f ( y ) 定义在数集 B ， 函数 y = ϕ ( x ) 定义在数集 A ， 是
A 中 使 y = ϕ (x ) ∈ B 的 x 的 非 空 子 集 （ 如 图 1.19 ）， 即
y = ϕ ( x ) 与 z = f ( y ) 的复合函数，即 ( f ϕ )( x ) = f [ϕ ( x )], x ∈ G, y 称为中 的复合函数，
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
数学分析考研辅导班讲义1
n
2n p
p
11 2n1 2n2
1 2n
p
1 2n1
1
1 2p
1
1 2
1 2n
1 n
，
故 0 ， N 1 0 ，当 n N 时， 自然数 p ，由以上不等式知
an p an
1 n
，
故an 收敛. 定理 1.2.2 数列an 收敛 an 的任意两个子数列都收敛，且都收敛于同一
1
2 n2 n
n
1 n2 1
2 n2
2
n n2
n
1
2 n2 1
n
nn 1
2 n2 1
而
lim n n 1
n 2 n2 1
1 2
，故原极限
1 2
.
例 1.2.8 设 0 x1 1, xn1 xn 1 xn , n 1, 2, ， 证 明 xn 收 敛 ， 并 求
第 3 步 写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间；
第 4 步 将第 3 步中所得结果代入 y f (u) 中，便得 y f (g(x)) 的
表达式及相应 x 的变化区间 .
练习题
1
设
f
(x)
1, 0,
x 1 x 1
，
g(x)
2 x2,
2,
x 2 x 2
ab
b 0 不存在 b 0 不定 a 0 不存在 a 0 不定
不确定
lim an b n n
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
数学分析讲义第五版
V T P 二元函数 f (x, y) 在点 P0 （ x0 ， y0 ）的两个偏导数明显的几何意义：在空间直角坐标
系中，设二元函数 z f (x, y) 的图像是一个
曲面
S.函数
f
(x,
y)
在点
P0
（
x0
，
y0 ）关于
同样，偏导数
f
' y
(x0 ,
y0 )
是平面
x
x0
上曲线
C2
z x
f (x, x0
y)
，
在点 Q(x0 , y0 , z0 )( z0 f (x0 , y0 )) 的切线斜率 tan ，如图 10.6.
如图 10.6.
我们知道，若一元函数 y f (x) 在 x0 可导，则 y f (x) 在 x0 连续可导.
类似地，n 元值函数 u f (x1, x2 ,, xn ) 在点 Q(x1, x2 ,, xn ) 的全微分
du
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
.
我们已知，一元函数的可微与可导是等价的.由定理 1，二元函数可微一定存在两个偏导 数；反之，二元函数存在两个偏导数去不一定可微.例如，函数
f (x, y) | xy |
df
f
' x
(0,0)x
f
' y
(0,0)y
0
f f (0 x,0 y) f (0,0) | x y.
(x)2 (y)2
特地，取， x y ，有
f | x y. | x |2 | x | ，
数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
前页 后页 返回
方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
前页 后页 返回
一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
前页 后页 返回
径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
前页 后页 返回
例5 级数
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
数学分析讲义(第一章)
Ⅱ 典型例题与方法
1. 利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值；
关键：寻找 N (δ ) .
基本方法：
（1）求最小的 N ：从不等式 an − a < ε 直接解出 n ；
（2）适当放大法：不等式 an − a < ε 较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，
为此先将表达式 an − a 进行化简，并适当放大，使之成为关于 n 的简单函数 H (n) （仍为无
(5). lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f (x) − A < ε . x→+∞
(6) lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < −M 时，有 f (x) − A < ε . x→−∞ 2
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定
义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当 x → 0
时，
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x −1，
1 − cos x ~ x2 , (1 + x)α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
n →∞
yn xn
= ⎪⎨+ ∞， ⎪⎩− ∞.
二 函数极限
1 定义 函数极限的六种形式：
(1)
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <
x → x0
x − x0
< δ 时，有
数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
数学分析第一册讲义
么呢？事实上，自然数的定义是和加法联系在一起的，换言之，自然数可以用第一个数 1， 和后继这两个说清楚。自然数集合的严格定义如下（皮亚诺 Peano）：
（P1）有数 1； （P2）每一个数 m 都有一个后继，记为 m+1； （P3）1 不是任何数的后继； （P4）若 m+1=n+1，则 m=n； （P5）（归纳公理）若一个子集合满足（P1）（P2），则它就是自然数集。 其实这里定义了一个以 1 为首的一列“数字”队伍，我们依次称它们为 2，3，4，…。 这就解释了省略号的意思。 加法来自于我们解释后继为加 1，具体地说，n 的后继为 n+1，而 m+n 可以定义为 ( ((m 1) 1) ) 1；或者递归定义 m+(n+1)=(m+n)+1。可以证明（试一试！）这样定义的 加法满足： 交换率 m n n m ； 结合率 (m n) p m (n p) 。 因为自然数集合通过后继来定义，我们就得到了数与数之间的一种“序”的关系，大于、 等于和小于的意思于是就知道了。任给两个自然数 m 和 n，必有 m n, m n, m n 三种关 系中的一种出现，而且只有一种。这就是说，自然数可以比较大小。一会儿我们将看到，实 数比较大小要困难许多。 自然数这个定义对于微积分来说，非常重要的是第一次清晰、准确地刻画了一个无穷的 概念。我们没有定义任何一个数是无穷大，事实上，任给一个自然数 n，都存在比它更大的 数，如 n+1；但是，自然数逐渐加大的这样一个无穷的过程，定义了一个无穷。我们今后会 不断看到，这样一个作为过程的“无穷”。
说到这里，上面所有的内容并不涉及自然数的记法。有了乘法，就可以有数的进制。
8、数学分析讲义 - CH08(不定积分)-22页 文字版
设 f (x) C[a,b], f (x) 0 ，由曲线 y f (x), x a, x b, y 0 就围成了一个平面图 形，称为 [a, b] 上曲边梯形。下面求这个曲边梯形的面积。
设 F (x) 是区间[a, x] 上的曲边梯形的面积（ x [a,b] ， F (a) 0 ）
e3 x
2
dx
e3 x d (3
x ) 2 e3 x C
x3
3
【例 7】 sin3 xdx sin2 x sin xdx (cos2 x 1)d cos x 1 cos3 x cos x C 3
【例 8】求 sec xdx.
解法一
sec
xdx
cos x
cos2
dx x
d(sin x) 1 sin2 x
sin
u
C
u
2x
1 sin 2x 2
C
【例 2】
tan
xdx
sin cos
x dx x
d
(cos x) cos x
ln cos x C.
（2）
6 中国矿业大学数学学院胡建华
华师大数学分析(第五版)讲义 第 8 章 不定积分
【例 3】
dx a2 x2
1 a
d
x a
1
x a
2
1 arctan x C.
42
【例 2】
x4 x2
1dx 1
x4 x2
1 1
2dx
(x2
1
2
x2
)dx 1
1 x3 x 2 arctan x C. 3
【例 3】
数学分析专题讲义
数学分析专题讲义
1. 引言
数学分析是现代数学的基础学科之一，涵盖了微积分和实数理论等重要内容。
本专题讲义将重点介绍数学分析中的一些基本概念和方法。
2. 实数理论
2.1 实数的概念
实数是数学中最基本的概念之一，它包括整数、有理数和无理数。
我们将介绍实数的定义和运算规则。
2.2 实数序列
实数序列是由实数构成的无穷序列。
我们将讨论实数序列的收敛性与发散性，并介绍极限的概念。
2.3 实数函数
实数函数是将实数映射到实数的函数。
我们将讨论实数函数的性质和连续性。
3. 微积分
3.1 导数和微分
导数是描述函数变化率的重要工具，微分是导数的一个重要应用。
我们将介绍导数和微分的定义以及它们的性质。
3.2 积分和微积分基本定理
积分是反向描述函数变化的工具，微积分基本定理将积分和导数联系起来。
我们将讨论积分和微积分基本定理的概念和应用。
3.3 函数的应用
函数在实际问题中有着广泛的应用。
我们将介绍函数在物理、经济等领域的应用，并解析相关问题。
4. 结论
数学分析是一门重要而有用的学科，它为解决实际问题提供了强大的工具和方法。
通过对数学分析的研究，我们能够更好地理解和应用数学知识。
以上是《数学分析专题讲义》的基本内容，希望能对读者进一步理解和应用数学分析有所帮助。
参考文献：
[1] 张洪声. 数学分析教程[M]. 高等教育出版社, 2003.。
数学分析讲义目录
数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一：关于自然数集合N1.8 补充教材二：基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二：实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学，力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二：Stieltje8积分6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四：上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材：Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与Taylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一：局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二：广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一：Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二：Hodge星算子16.9 补充教材三：Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。
数学分析讲义全
数学分析讲义全第一章：实数本章主要介绍实数的定义及其性质。
1.1 实数的定义实数包括有理数和无理数两部分。
有理数是可以表示为两个整数之间的比，无理数则不能用有理数表示。
1.2 实数的性质实数满足一些基本性质，如实数的加法、乘法满足交换律、结合律和分配律等。
第二章：极限与连续本章主要介绍数列极限、函数极限和连续函数的定义及其相关概念。
2.1 数列极限数列极限是数列逐渐逼近某个确定值的概念。
包括数列迫敛、数列发散等。
2.2 函数极限函数极限是函数在某点逐渐接近某个确定值的概念。
包括左极限、右极限等。
2.3 连续函数连续函数是函数在某点处无间断、无跳跃的性质。
第三章：导数与微分本章主要介绍导数、微分的定义及其相关性质。
3.1 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率。
包括函数的导数定义、导数的性质等。
3.2 微分的定义微分是函数在某点处的线性近似。
包括函数的微分定义、微分的性质等。
第四章：积分与定积分本章主要介绍积分、定积分的定义及其应用。
4.1 积分的定义积分是函数的反导数。
包括不定积分、定积分等。
4.2 定积分的性质定积分具有线性性质、加法性质、区间可加性等。
第五章：级数本章主要介绍级数的概念及其计算方法。
5.1 级数的定义级数是无穷数列之和的概念。
包括级数收敛、级数发散等。
5.2 级数的计算方法级数的计算方法具有求和、判定级数收敛性等。
这份讲义全面介绍了数学分析的基础知识，希望能帮助到您。
数学分析讲义
例.
4 x 3 dx = x 4 + c ； ∫
∫ cos xdx = sin x + c
sin xdx = − cos x + c ； ∫ sec 2 xdx = tgx + c ∫
数学分析讲义
7.1 不定积分
注：不定积分与原函数的关系：不定积分是由所以原函数 组成的集合，而原函数是不定积分中的一个元素。 积分运算: 积分运算:
= f ( x )d x ) 则称函数 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 上的
原函数，或简称 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数。 原函数。 原函数
数学分析讲义
7.1 不定积分
′ 例如： ∀x ∈ R, (sin x ) = cos x.即sin x是 cos x的原函数
若 F ( x ) 是 f (x ) 的原函数，问： 1） F (x ) +1 是 f (x ) 的原函数 2） F (x ) +100 是 f (x ) 的原函数 3） F (x ) +c 是 f (x ) 的原函数
2
1 1- x
2
dx
1 2 = x (arc sinx ) + 2 1 − x 2 arc sinx - ∫ 1 - x 2 ⋅ dx 1− x2
= x (arc sinx ) + 2 ∫ arc sinxd 1 - x 2
2
= x(arc sinx) + 2 1 − x 2 arc sinx - 2x + C
x 1 = x arctan x − ∫ dx − (arctan x ) 2 1+ x2 2
= ∫ arctan xdx − ∫ arctan xd arctan x
数学分析讲义 - CH22(曲面积分)
S ru rv dudv
D
1 中国矿业大学理学院胡建华ຫໍສະໝຸດ 华师大数学分析(第四版)讲义
第 22 章
曲面积分
易计算
( y , z ) ( z , x ) ( x, y ) ru rv ( , , ) ( A, B, C ) (u , v) (u , v) (u , v) ru rv A2 B 2 C 2 EG F 2 ， E ru ru , F ru rv , G rv rv
EG F 2 R 2 sin
S
D
EG F 2 d d R 2 sin d d d R 2 sin d 4 R 2
D 0 0
2
【例 2】 求以 (0, 0, 0) 为顶点，圆 x R cos , y R sin , z h 为底的圆锥面的面积。 解 r (t , ) ( Rt cos , Rt sin , ht ), D : 0 2 , 0 t 1
【例 1】 求半径为 R 的球面面积。 解 r ( , ) ( R sin cos , R sin sin , R cos ), D : 0 , 0 2
r ( R cos cos , R cos sin , R sin ) r ( R sin sin , R sin cos , 0)
4 中国矿业大学理学院胡建华
华师大数学分析(第四版)讲义
第 22 章
曲面积分
解
2 2 2 E xu yu zu cos 2 v sin 2 v 1,
数学分析实验讲义
。
2
、已知数列 Fn =
1 5
[(
1+ 2
5
)
n+1
−
(
1− 2
5
) n+1 ] ，求证极限
lim
n→∞
Fn Fn +1
=
5 −1 2
≈
0.618
。
3
实验二 收敛速度与无穷小的阶
实验的目的
1、 在掌握极限的基本知识基础上，进一步掌握无穷小的概念； 2、 进一步学习掌握 Matlab 的求极限的命令。
n=1:5:1000; %离散化，n 可以无限增大
y21=1./n;
y22=1./(n.^2);
subplot(2,2,2);
plot(n,y21,n,y22); title('图 b'); %绘出 2)的图像
x=0:0.0001:4;%离散化
syms x; a=sym('x^2*sin(1/x)'); b=limit(a,x,0) 输出结果：
b= 0
再观察其图像在 x → 0 处的特点：
4
其 M 文件程序设计如下：
x=-0.2:0.0001:0.2;
y1=x.^2;
y2=-x.^2;
y3=(x.^2).*sin(1./x);
hold on
x x x→0−
x→0+
为了更好理解在 x = 0 极限状态，现在绘出函数图形如图 1.1。其实验 M 文件程序设计
如下：
x=0.001:0.001:2; t=0.001:-0.001:-2; y1=x/abs(x); y2=t/abs(t); hold on plot(x,y1); plot(t,y2); 以下为求出极限的 M 文件程序： syms x; limit(x/abs(x),x,0,'left') limit(x/abs(x),x,0,'right') limit(x/abs(x),x,0) 输出结果：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
99.987
6
99.99
8
99.998
10
100.012
12
100.032
14
100.057
V/cm3
例3. x R都对应唯一一个数 y sin x,即x与y之间的 对应关系是： y sin x
§ 1.1 函数
函数的定义
设 A 是非空数集。若存在对应关系 f ，对 A 中任意数 x （ x ∈
一、函数概念
例1.真空中自由落体，物体下落的时间 t 与下落的距离 s 互相联系着. 如果物体距地面的高度为 h ，
t [0,
2h ] g
都对应一个距离 s . 已知 t 与 s 之间的对应关系是
1 2 s gt 2
其中g是重力加速度，是常数.
§ 1.1 函数
T/100℃ 0
100
2
99.99
-1
§1.2 四类具有特殊性质的函数
1 ( 1) n n 1 例 2 数列 与 有界. 2 n
例 3 反正切函数 y arctgx 与反余切函数 y arc ctgx 在 R 有界（如下图）. 事实上， 0, x R, 有 arctgx , 2 2 与
f f ( x) f
§ 1.1 函数
三、函数的图象
符号函数:
y 1 o -1 x
1 y sgn x 0 1
狄利克雷函数:
当x 0 当x 0 当x 0
y
1
1 y D( x ) 0
当x是有理数时 当x是无理数时
•
无理数点
o
x
有理数点
§ 1.1 函数
§ 1.1 函数
关于函数概念的几点说名
是 f 在每个 x A 的函数值 f ( x) 。
1、 函数 f 由两个因数完全决定，一个是 f 的定义域 A ；另一个 2、 在函数概念中，对应关系 f 是抽象的，只有在具体函数中， 对应关系 f 才是具体的。 为了对函数 f 有个直观形象的认识，可将 f 比喻为一部“数 值转换器” 。例如：
f =g。
2、 若 A B ，则函数 f 与 g 的和 f + g 、差 f - g 、积 fg 分别定 义为： （ f +g） （ x ） = f ( x) g ( x) ， x A B 。 （ f -g） （ x ）= f ( x) g ( x) ， x A B 。 （ fg ） （ x ） = f ( x) g ( x) ， x A B 。 3、 若 ( A B) x | g ( x) 0 ，则函数 f 与 g 的商 g 定义为 （g） （ x ）= g ( x ) ， x ( A B) x | g ( x) 0。
第一章 函数
1.1 函数 一、函数概念 二、函数的四则运算 三、函数的图象 四、数列 1.2 四类具有特殊性质的函数 一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数 1.3 复合函数与反函数 一、复合函数 二、反函数 三、初等函数
§ 1.1 函数
函数是整个高等数学中最基本的研究对象，可以说数学 分析就是研究函数的，因此我们对函数的概念以及常见的一 些函数有一个清楚的认识。
0, x R, 有 arc ctgx
§1.2 四类具有特殊性质的函数
arctgx 图 像
1.5 atan(x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
§1.2 四类具有特殊性质的函数
例 4 数列 n有下界无上界;数列 (1) n 既无上
例 1 正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x 在 R 有界（如 图 1.8 与图 1.9） 事实上， 1 0, x R, 有 sin x 1 与 cos x 1 .
§1.2 四类具有特殊性质的函数
y=sin(x)
1
0.5
10
20
30
40
50
-0.5
n
界也无下界.
例 5 指数函数 y a x (0 a 1) 在 R 有上界无下界
四、数列
数列的定义:
定义在自然数集 上的函数 f ( x) 称为数列.
n ， 设 f (n) an .因为自然数能够按照大小顺
序排列起来，所以数列的值域 an n 中的数也能够 相应地按照自然数 n 的顺序排列起来，即
a1 , a2 , a3 ,an ,. an 称为数列（1）的第 n 项或通项.
x
f( )
x f(x )
Sin( )
Sin(x)
§ 1.1 函数
3、 根据函数定义， 函数都存在定义域， 但是常常并不明 确指出函数的定义域， 这时认为函数的定义域是自明 的，即定义域是使函数有意义的实数的集合。 4、 函数定义指出： “任意数 x ( x ∈ A )，按照对应关系
f ，对应唯一一个 y ∈ R ” ，这样的对应就是所谓单
值对应。 5、 从现代数学观点来看， 这个函数概念是不严格的， 应 为这里用到了与函数概念等价的“对应关系”或“对 应” 。何谓对应关系或对应尚无定义。
§ 1.1 函数
二、函数的四则运算
设两个函数 f 与 g 分别定义在数集 A 与 B 。 1、 若 A = B ，且 x A ，有 f ( x) g ( x) ，则称 f 与 g 相等，表为：
§1.2 四类具有特殊性质的函数
一、有界函数
定义 设 函 数 f ( x) 在 数 集 A 有 定 义 . 若 函 数 值 的 集 合 ，则称函数 f ( x) f ( A) f ( x) x A有上界（有下界、有界） 在 A 有上界（有下界、有界） ，否则称函数 f ( x) 在 A 无上界 （无下界、无界）.
A） ，按照对应关系 f
，对应唯一一个 y ∈ R ，则称 f 是定义在 A
上的函数，表为：
f : A R。
数 x 对应的数 y 称为 x 的函数值，表为 y f ( x) 。 x 称为自变 数， y 称为因变数。数集 A 称为函数 f 的定义域，函数值的集 合 f ( A) f ( x) | x A 称为函数 f 的值域。