运筹学习题课件

1.5 单纯形法 Simplex Method
max Z x1 2 x2 x3
【例4】 用单纯形法求解
2 x1 3x 2 2 x3 15 1 x1 x 2 5 x3 20 3 x1、x 2、x3 0
【解】将数学模型化为标准型：
max Z x1 2 x2 x3
【分析】(１)因为x3无符号要求 ，即x3 可取正值也 可取负值，标准型中要求变量非负，所以令
x3 x3 x3, 其中x3 , x3 0
1.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
(2) 第一个约束条件是“≤”号，x x x 8 (1) 2 1 2 3 在“≤”号左端加入松驰变量 x x x 3 (2) 1 2 3 (slack variable) x4，x4≥0, (3) 3x1 x2 2 x3 5 化为等式； x1 0、x 2 0、x3无符号要求 (3)第二个约束条件是“≥”号，在“≥”号左端减去剩余 变量(surplus variable) x5 ，x5≥0，也称松驰变量； (4)第三个约束条件是“≤”号且常数项为负数，因此在 “≤”左边加入松驰变量x6，x6≥0，同时两边乘以－1。
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
【解】 设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产 量, 则 数学模型为：
max Z 40 x1 30 x2 50 x3
3x1 x2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 2 3 1 4 x1 5 x2 x3 360 2 x 3x 5 x 300 2 3 1 x1 0，x2 0，x3 0 j≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
一般形式线性规划模型的标准化准则: （前提 bi ≥0 ）
1. min Z cx

max Z cx
2. aij x j bi
最优解X=(50,30,10); Z=3400
产品 甲
资源 设备A 设备B 材料C 材料D 3 2 4 2 1 2 5 3 2 4 1 5 200 200 360 300
乙
丙
现有 资源
利润(元/ 件)
40
30
50
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续 休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业 员如表1.2所示。
4. xi 无符号要求 xi xi' xi'' , xi' 0 , xi'' 0
5. xj≤0

1.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
【例1】将下列线性规划化为标准型
min Z x1 x2 3x3 (1) 2 x1 x2 x3 8 x x x 3 (2) 1 2 3 3x1 x2 2 x3 5 (3) x1 0、x 2 0、x3无符号要求
min Z x1 x2 3x3
(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z′=－Z,
得到 max Z′=－Z，即当Z达到最小值时Z′达到最大值。
1.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
【解】化为标准型:
2 x1 x 2 x3 40 x1 3 x 2 x 4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
1.5 单纯形法 Simplex Method
系数矩阵A及可行基B1
2 1 1 0 A 1 3 0 1 1 0 B1 0 1
35/3
最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值 Z =145/3
1.5 单纯形法
min Z 2 x1 2 x2 x4 x1 x 2 x3 5 x x x 6 2 4 【例1】用单纯形法求解 1 6 x1 2 x 2 x5 21 x j 0, j 1,,5
1.5 单纯形法 Simplex Method
(b)选出基变量 ：求最小比值
bi L min | aik 0 aik
第Ｌ个比值最小，选最小比值对应行的基变量为出基
变量，若有相同最小比值，则任选一个aLk为主元素。
(c)求新的基可行解：用初等行变换方法将aLk 化为１, 第 k 列其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可 行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。
出 基 行
乘 以 1/3 后 得 到
x3 (2)
5/3
0 1 0 0 1
1 0 0 3/5 -1/5
-1/3 1/3 -4/3 -1/5 2/5
30 10 18 4
18 30
x2
λj x1
1/3
5/3 1 0
(3)
x2
λj
0
0
-1
-1
1.5 单纯形法 Simplex Method
单纯形法的计算步骤：
max Z=x1+2x2
4 无界解(无最优解) 2
(1,2)
2
4
6
x1
1.2 图解法 The Graphical Method
x2
50
例1.8
max Z=10x1+x2
40
30
2 x1 x2 40 x 1.5 x 30 1 2 x1 x2 50 x1 0, x2 0
0 x4 1
0 x5 0 b 15
θ — 20
0 λj
0 2 λj 1 2 λj
x5
x4 x2 x1 x2
1/3 1
3 1/3 1/3 1 0 0
1 2
0 1 0 0
5 1
17 5 －9 17/3
0 0
1 0 0 1/3
1 0
3 1 －2 1
20
75 20 25
25 60
1 0
28/9 －1/9 2/3 －98/9 －1/9 －7/3
【解】 这是一个极小化的线性规划问题, 可以将其化 为极大化问题求解, 也可直接求解, 这时判断标准是: λj≥0(j=1, …, n)得到最优解。容易观察到系数矩阵中有
一个3阶单位矩阵, x3、x4、x5为基变量。
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
初始基本可行解 X(1)=(0, 0, 40, 30)T
问题：上述基本可行解是不是最优解？
1.5 单纯形法 Simplex Method
表1. 5
基变量
进基列
bi /ai2，ai2>0
将3化为1
(1)
XB
x3 x4 λj
x1
2 1 3
x2
1 3 4
x3
1 0 0
x4
0 1 0
b
40 30
θi 40 10
1.5 单纯形法 Simplex Method
表1. 7
XB
x1
x2
x3
x4
x5
b
θ
x3 x4 x5 λj
x2 x4 x5 λj
1 -1 6 1
1 -2 4 2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
1.1.1 应用模型举例 【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划 生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要在设备 A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定， 单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所 示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可 供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙 三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假 定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划， 使企业在计划期内总的利润收入最大？
max Z 3x1 4 x 2 2 x1 x 2 x3 40 x1 3 x 2 x 4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
r(B1)=2, B1是一个初始基, x3、x4为基变量, x1、x2为非 基变量, 令x1=0、x2=0, 由约束方程知x3=40、x4=30得到
2 x1 3x 2 2 x3 x 4 15 1 x1 x 2 5 x3 x5 20 3 x j 0, j 1,2,,5
1.5 单纯形法 Simplex Method
表1. 6
Cj CB XB 0 x4
1 x1 2
2 x2 －3
1 x3 2
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
星期 一 二 三 四
需要人数 300 300 350 400
星期 五 六 日
需要人数 480 600 550
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x4 x5 x6 x7 300 x x x x x 300 2 5 6 7 1 x1 x2 x3 x6 x7 350 x1 x2 x3 x4 x7 400 x1 x2 x3 x4 x5 480 x2 x3 x4 x5 x6 600 x3 x4 x5 x6 x7 550 x 0, j 1,2, ,7 j