专题4.3 等比数列(B卷提升篇)【解析版】

专题4. 3等比数列（B 卷提升篇）（人教A 版第二册,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·浙江其他）正项等比数列{}n a 中，21a =，3516a a ⋅=，则24
13
a a a a ++的值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】A 【解析】
21a =，2354
16a a a ⋅==，∴44a =，∴24
2
42a q q a =
=⇒=， ∴
13241313
(2)a a a q a a a q
a a ++===++.
故选：A.
2．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高一期末）已知等比数列{}n a 的前n 项和233n n S t +=+，则t =（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3-
D ．9-
【答案】C 【解析】
根据题意，等比数列{}n a 的前n 项和2
33n n S t +=+， 则3
1133273a S t t ==+=+，
43221(33)(33)54a S S t t =-=+-+=， 54332(33)(33)162a S S t t =-=+-+=，
则有2
(273)16254t +⨯=，解得3t =-， 故选：C .
3．（2020·广东云浮·高一期末）在正项等比数列{}n a 中，若63a =，则
313233311log log log log a a a a +++
+=（ ）．
A ．5
B ．6
C ．10
D ．11
【答案】D 【解析】
因为63a =，且{}n a 为等比数列，所以2
1112103948576a a a a a a a a a a a =====23=，
所以()113132333113123113log log log log log log 311a a a a a a a a ++++===.
故选：D.
4．（2020·浙江瓯海·温州中学高二期末）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20210S >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
由于数列{}n a 是等比数列，所以2021111n q S a q -=⋅-，由于
101n
q q ->-，所以 2021111001n
q S a a q
-=⋅>⇔>-，
所以“10a >”是“20210S >”的充要条件. 故选：C
5．（2020·唐山市第十二高级中学高一期末）由实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且
2344,,a a a -成等差数列，则6S =（ ）
A ．62
B ．124
C ．126
D ．154
【答案】C 【解析】
由题意知，32424a a a =-+，设{}n a 的公比为q ，则23
1111242a q a q a q a ⎧=-+⎨=⎩
解得
2q =，则(
)6621212612
S -=
=-.
故选C.
6.（2020·河北运河·沧州市一中月考）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a 、31
2
a 、22a 成等差数列，
则
89
78
a a a a +=+（ ）
A
1 B
．3-
C
．3+
D
1
【答案】D 【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
由于1a 、312
a 、22a 成等差数列，则1232a a a +=，即2
1112a a q a q +=，整理得2210q q --=，
0q >
，解得1q =，
因此，
()(
)
7
781891167678111111a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++====+++. 故选：D.
7．（2020·河北邢台·期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，
3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．12
D ．13
【答案】C 【解析】
因为316a =，3112S =，公比为正数显然不为1，所以2
31313(1)10a a q a q S q q ⎧=⎪
-⎪
=⎨-⎪
⎪>⎩
，解得164a =，12q =，
所以72n
n a -=，则
()132
12n n n
T -⎛⎫= ⎪⎝⎭
=
，
要使1n T >，则
()
1302
n n -<，解得013n <<， 故n 的最大值为12. 故选：C.
8．（2020·广西壮族自治区南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，
把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半
音的频率，它们满足()12
12log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫
==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
.若某一半音与#D
则该半音为（ ）
A ．#F
B ．G
C ．#G
D ．A
【答案】B 【解析】
依题意可知()01,2,
,12,13n a n >=.
由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()12
12log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，则12
1
11
1222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=
⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,
,12,13n a n =为等比数列，设公比112
2q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率之
4
1
13
12
22⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4
112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
.即对应的半音为G .
故选：B
9．（2020·江西新余·其他）在等比数列{}n a 中， 1401a a <<=，则能使不等式
12121110n n a a a a a a ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-+-+
+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭成立的最大正整数n 是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C 【解析】
∵在等比数列{}n a 中， 1401a a <<=， ∴公比1q >， ∴4n >时， 10n n a a -
>；4n <时， 1
0n n
a a -<. ∵2
41726351a a a a a a a ====，
∴711a a =
，62
1a a =，531a a =， ∴123412341111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5
675671110a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又当4n >时， 1
0n n
a a -
>， ∴使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-+-+
+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭成立的n 的最大值为7.
故选：C
10．（2020·湖北恩施土家族苗族高中月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，记n S 的最大值为S ，
92n a n =-，正项等比数列{}n b 的公比为q ，满足4q S =，且14b a =，则使n n a b <，成立的n 的最小值
为（ ） A ．6 B ．5
C ．4
D ．3
【答案】D 【解析】
由题可设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵92n a n =-， ∴17a =，2d =-，
28n S n n =-+；
当4n =时，n S 有最大值16S =， ∴141b a ==，
416q =，2q =±，
∵0n b >， ∴2q
，12n n b -=，
要使n n a b <成立，
即1922n n --<，且*n ∈N ，
∴3n ≥， 则n 的最小值为3. 故选：D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·武汉外国语学校其他（文））已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，11
8
a =
，2321a a =+，2log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和为_______．
【答案】60 【解析】
设数列{}n a 公比为q ，由2321a a =+，则2
11
184
q q =
+，解得4q =或2q =-，因为0q >，所以4q =． 则1
251428
n n n a --=
⨯=，∴252log 225n n b n -==-，得13b =-，10210515b =⨯-=， 数列{}n b 的前10项和()
1010315602
S -+==．
故答案为：60
12．（2020·滨海县八滩中学二模）已知等比数列{} n a 的前n 和为 n S ，若435,,a a a 成等差数列，且 22k S =，163k S +=-，则2 k S +的值为_______________．
【答案】107 【解析】
由题意可设等比数列{} n a 的公比为q ，首项为1a ， 由435,,a a a 成等差数列可得：
3452a a a =+，代入可得：
2341112a q a q a q =+ ，解得：2q =-或1q =，
又因为163k S +=-，易知2q =-， 又因为22k S =，
1185k k k a S S ++=-=-，
所以212(85)170k k a qa ++==-⨯-=，
212 =63170107k k k S S a ++++=-+=，
故答案为：107.
13．（2020·安徽合肥·三模（文））已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21n n S =-．若数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____． 【答案】4 【解析】
由数列{}n b 的前n 项和21n
n S =-得，
当2n ≥时，有(
)(
)1
11212
12n
n n n n n b S S ---=-=---=，
当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n n
b -=，
n a n =，1
12n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭
，
()0
1
2
1
111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
∴=⨯+⨯+⨯+
+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()1
2
3
11111123222222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
由()()12-得：1
2
3
1111111111211222222212
n
n n n n T n n -⎛⎫
- ⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++
+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ()1222n
n ⎛⎫
=-+⋅ ⎪⎝⎭
，
即1
2
442
n n n T -+=-
<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4.
14．（2020·云南省玉溪第一中学高二期中（理））在数列{}n a 中，310,a a 是方程2350x x --=的两根，n S 表示数列{}n a 的前n 项和.
（1）若{}n a 是等比数列，则67a a =_______；（2）若{}n a 是等差数列，则12S =_________. 【答案】5- 18 【解析】
∵310,a a 是方程2350x x --=的两根， ∴3103103,5a a a a +==-，
∴若{}n a 是等比数列，则673105a a a a ==-； 若{}n a 是等差数列，则()
()01231112126182
a a S a a ++===，
故答案为：5-，
18
15．（2020·北京海淀·人大附中高三开学考试）已知{}n a 是等差数列，{}n n a b +是公比为c 的等比数列，
113105a b a ===，，，则数列{}n a 的前10项和为__________，数列{}n b 的前10项和为__________（用c
表示）．
【答案】100 10
90,11100,0,11c c c c -=⎧⎪
⎨--+
≠⎪-⎩
当时，
当时 【解析】
因为{}n a 是等差数列，131,5a a ==， 所以3124a a d -==， 解得2d =，
所以12(1)21n a n n =+-=-， 所以10109
10121002
S ⨯=⨯+
⨯= 因为{}n n a b +是公比为c 的等比数列，且111a b ，
所以1
n n n a b c
-+=，
故1
21n n b c
n -=-+，
当1c =时，10(220)10
902
T -⨯=
=-，
当1c ≠时，10
2
9
101(1)(13519)1001c T c c c c
-=+++
+-+++
+=-+
-， 综上10
1090,11100,0,11c T c c c -=⎧⎪
=⎨--+
≠⎪-⎩当时，当时, 故答案为：100；10
90,11100,0,11c c c c -=⎧⎪
⎨--+
≠⎪-⎩
当时，当时 16．（2020·江苏南通市·高二期中）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉____个正方形，第n 个图中所有挖掉的正方形的面积和为_____．
【答案】73 ()
819n
-
【解析】
记第n 个图形中共挖掉n a 个正方形，则1
18n n n a a --=+(2)n ≥，
所以11a =，2189a a =+=个，3a =28896473a +⨯=+=， 记第n 个图形中共挖掉的正方形的面积为n b ，
则2
1111333b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
，
2
2
2111833b b ⎛⎫⎛⎫
-=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4
183⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，
332
2
32118833b b ⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6
2183⎛⎫
=⨯ ⎪⎝⎭
，
，
1111833n n n n n b b --⎛⎫⎛⎫-=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21183n
n -⎛⎫
=⨯ ⎪⎝⎭，
将以上n 个等式相加得246
221
1111888
3333n
n n b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+
+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1118991189
n
⎡⎤
⎛⎫
-⨯⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
-⨯
819n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 故答案为：73；()
819
n
-.
17．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）已知正项等比数列{}n a 中，42516, 15a a a a -=-=，则
n a =__________，又数列{}n b 满足111
1
, 2
1n n
b b b +==-；若n S 为数列{}1n n a b +的前n 项和，那么3n S =_____________.
【答案】12n - 1
(81)7
n ⨯- 【解析】
因为426a a -=，所以1q ≠.
因为()()24214
51116115
a a a q q a a a q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，所以()
24212115q q q q q -==-+， 即2
2520q q -+=，解得1
2
q =或2q .
当1
2
q =时，代入426a a -=，解得1
16a =-（舍去）
当2q
时，代入426a a -=，解得11a =，所以12n n
a .
因为112b =
，111n n
b b +=-，
所以21
121b b =
=-，32111b b =
=--，431112b b ==-，541
21b b ==-，
……，所以{}n b 是以周期为3的循环数列. 因为n S 为数列{}1n n a b +的前n 项和，
所以323456731331111222222n n n n S a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…，
设31331122
n n n n c a a a -+=+-，
31331
313433321
228122
n n n n n n n n a a a c q c a a a -+----+-===+-， 所以{}n c 是以首项2341
212
a a a +-=，公比为8的等比数列.
所以()318181187
n n
n S -==--.
故答案为：12n -；1(81)7
n
⨯-
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（文））等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.
（1）求{}n a 的通项公式.
（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）22n a n =+；（2）224n +-. 【解析】
(1)∵{}n a 是等差数列，
12143
10210
22a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨
⎨-==⎩⎩， ∴解出2d =，14a =， ∴1(1)n a a d n =+-
422n =+- 22n =+.
(2)∵232328b a ==⨯+=，
3727216b a ==⨯+=，
{}n b 是等比数列，
3
2
2b q b =
=， ∴b 1=4
21(1)4(12)24112
n n n n b q s q +--===---
19．（2020·吉林高三其他模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且()2
639S S S -=.
（1）若1d =-，求{}n a 的通项公式；
（2）若51a <，612a <<，求数列{}
1
2n d -⨯的前10项和10T 的取值范围.
【答案】（1）6n a n =-+；（2）()1023,2046. 【解析】
（1）由()2
639S S S -=，得()()2
2
4565539a a a a a ++==， 则50a =或51a =.
当50a =时，14a =，则5n a n =-+； 当51a =时，15a =，则6n a n =-+.
（2）因为51a <，所以50a =，所以65a a d d =+=. 因为612a <<，所以12d <<. 因为(
)9
10
101212212
T d d -=++
+=⨯
-()10211023d d =-=， 所以10T 的取值范围为()1023,2046.
20．（2020·吉林油田高级中学高一期末（理））已知在等比数列{}n a 中，213121,1a a a a =+-=，数列{}n b 满足3
21()23n n b b b b a n n
*+
++⋅⋅⋅+=∈N . （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若任意*n N ∈，n n S a λ>恒成立，求λ的取值范围.
【答案】（1）12n n a ，2
1,1
2,2n n n b n n -=⎧=⎨⋅≥⎩
；（2）1λ<. 【解析】 (1)设公比为q
，213121,1a a a a =+-=，
则22q q =，解得2q ，
12n n
a
.
3
21()23n n b b b b a n n
*+
++⋅⋅⋅+=∈N ， 当1n =时，111b a ==， 当2n ≥时，
1221222n n n n
n n b a a n
----=-=-=，即22-=⋅n n b n . ∴2
1,12,2n n n b n n -=⎧=⎨⋅≥⎩
； （2）012122322n n S n -=+⋅+⋅+
+⋅，1212222322n n S n -=+⋅+⋅+
+⋅，
两式相减得：1221112222(1)21n n n n S n n ---=----
-+⋅=-⋅+.
∴*n N ∀∈，有1
(1)21n n S n -=-⋅+，
n
n n n
S S a a λλ>⇒<
， 记n n n S c a =，则111
(1)211
122n n n n n c n ----⋅+==-+，
∴11111
(1)10222n n n n n
c c n n +--=+
---=->， ∴数列{}n c 递增，其最小值为11c =.
故1λ<.
21．（2020·浙江高一期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(
)n n a n n S *
+=∈N ．
（Ⅰ）证明{}1n a -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()211n n b n a =--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ； （Ⅲ）求证：
123
1111
2n
n a a a a ++++
<+． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；112n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
；（Ⅱ）2332n n
n T +=-；
（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）由n n S a n +=得，当2n ≥时，111n n S a n --+=- 两式作差得：121n n a a --=，即()1211n n a a --=-，即111
12
n n a a --=-，
令1n =得112
a =
，所以{}1n a -是以12-为首项，1
2为公比的等比数列．
所以112n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
-，故112n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()()212112n n n
n b n a -=--=
，
()123
21135
2222n n n T -++++
∴=
()2341
2111352222
2n n n T +-++++
∴=
两式作差得：()()231231
21211122
211
11
22222
2222222n n n
n n T n n ++--⎛⎫+++
+
-++++-⎪= ⎝
⎭
= ()()21121111121211111323222412222222212
n n n n n n n n +++++---+⎛⎫=+⨯-=+⨯--=- ⎪⎝⎭- 所以23
32n n
n T +=-
． （Ⅲ）由（Ⅰ）知11
21
12121112n n n n n
a =
==+--⎛⎫- ⎪
⎝⎭，则111212122n n n a +-==--， 1,222n n n N *+∀∈-≥恒成立，1121122n n n a -∴
-≤=，即111
12
n n a -≤+ 所以0121
123
111
1111
1
1111222
2n n a a a a -+
+++
≤+++++++
+，0121111111
112221222
2212
n n n n n n n ---
⎛⎫=+++++=+=+-<+ ⎪⎝⎭-
所以
123
1111
2n
n a a a a ++++
<+． 22．（2020·河南高二月考（理））已知数列{}n a 满足1
12n n n a a -+=，且243a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项，
（2）设12221
n n n n b a -+-=，1
n
n n i S b ==∑，求证：26n S n ≤<+.
【答案】（1）12
222,2,n n n n a n --⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数为偶数；（2）证明见解析.
【解析】 （1）由1
12
n n n a a -+=得122n
n n a a ++=，
两式相除得2
2n n
a a +=， 所以{}21n a -，{}2n a 都是公比为2的等比数列，
由4
2
2a a =及243a a +=得21a =， 又120
21a a ==，所以11a =，
所以n 为奇数时1
1122
12
2
n n n a a +--=⋅=，
n 为偶数时212
2
2
22
n
n n a a --=⋅=，
所以12
222,2,n n n n a n --⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数
为偶数；
（2）1111222122121
122n n n n n n n n n b a ----+-+--===+，
211
35
21
1222
n
n n n i n S b n -=-==++++
+
∑， 设2135211222
n n n T --=+
+++， 则2311352122222n n
n T -=++++，
两式相减得2111112111222
22
n n n n T --=++
+++
- 121
121121213122212
n n n n n n ---
--=+-=---， 所以3
1
121
6622
n n n n T ---=--
<，6n n S n T n =+<+， 因为1
23
62n n n T -+=- 所以1
23
62
n n n S n -+=-
+ 所以125
612n n n S n ++=-
++ 所以121
102
n n n
n S S ++-=
+> 所以{}n S 单调递增 所以12n S S ≥=成立 所以26n S n ≤<+.。