【精品】2017学年广西来宾实验高中高二上学期期中数学试卷和解析

2016-2017学年广西来宾实验高中高二（上）期中数学试卷
一．选择题：（每小题5分，满分60分）
1．（5分）若A=x2﹣2x，B=﹣6x﹣4，则A，B的大小关系是（）
A．A≤B B．A≥B C．A=B D．与x的值有关
2．（5分）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）
A．B．﹣2 C．2 D．
3．（5分）不等式的解集是（）
A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
4．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）
A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3
5．（5分）△ABC中，若=，则该三角形一定是（）
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）
A．5 B．3 C．﹣1 D．1
7．（5分）在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（）
A．m B．m C．m D．m
8．（5分）已知等差数列=（）
A．B．C．D．
9．（5分）在△ABC中，，则最大角的余弦值是（）A．B．C．D．
10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是（）
A．S6B．S11C．S12D．S13
11．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，若a5•a6=9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于（）
A．8 B．10 C．12 D．2+log35
12．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项、4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．等腰直角三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
二、填空题（每题5分，共20题）
13．（5分）不等式x2+x+k≥0恒成立，则k的取值范围是．
14．（5分）已知等比数列{a n}满足a3•a6•a9=27，等差数列{b n}满足b3+b6+b9=9，则a6+b6=．
15．（5分）已知数列的，则a8+a9+a10+a11+a12=．
16．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是．
三、解答题（本大题共六小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集是B．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，求ax2+x+b＜0的解集．
18．（12分）已知△ABC的对边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b，c的值．
19．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．
20．（12分）小明在某岛上的A处，上午11时测得在A的北偏东60°的C处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60°的B处，12时40分时又测得轮船到达位于A正西方5千米的港口E处，如果该船始终保持匀速直线运动．求：（1）点B到A的距离；
（2）船的航行速度．
21．（12分）数列{a n}满足a1=1，且a n=a n﹣1+n（n＞1，n∈N*），
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项的和S n．
22．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣1．
（1）证明：数列{a n}是等比数列；
（2）求数列{na n}的前n项和T n．
2016-2017学年广西来宾实验高中高二（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（每小题5分，满分60分）
1．（5分）若A=x2﹣2x，B=﹣6x﹣4，则A，B的大小关系是（）
A．A≤B B．A≥B C．A=B D．与x的值有关
【解答】解：由A﹣B=x2﹣2x﹣（﹣6x﹣4）
=x2+4x+4=（x+2）2≥0，
则A≥B，
故选：B．
2．（5分）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）
A．B．﹣2 C．2 D．
【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=，
设出等比数列的公比是q，
∴a5=a2•q3，
∴==，
∴q=，
故选：D．
3．（5分）不等式的解集是（）
A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解答】解：根据题意，⇒（1﹣x）（x+3）＞0⇒（x﹣1）（x+3）＜0，解可得﹣3＜x＜1；
即原不等式的解集为（﹣3，1）；
故选：A．
4．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）
A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3
【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；
B、1＞﹣2，但是，故B不正确；
C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；
D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．
故选：D．
5．（5分）△ABC中，若=，则该三角形一定是（）
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，
利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
∴2A=2B或2A+2B=180°，
∴A=B或A+B=90°，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5 B．3 C．﹣1 D．1
【解答】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域（阴影部
分），
由z=x+2y，得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z，
经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．
由，解得A（3，1）．
此时z的最大值为z=3+2×1=5，
故选：A．
7．（5分）在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（）
A．m B．m C．m D．m
【解答】解：如图所示：设山高为AB，塔高为CD为x，且ABEC为矩形，由题意得
tan30°===，∴BE=（200﹣x）．
tan60°==，∴BE=，
∴=（200﹣x），x=（m），
故选：A．
8．（5分）已知等差数列=（）A．B．C．D．
【解答】解：根据等差数列的性质，
若数列{a n}为等差数列，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列；
又∵，则数列是以S4为首项，以S4为公差的等差数列
则S8=3S4，S16=10S4，
∴=
故选：D．
9．（5分）在△ABC中，，则最大角的余弦值是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵，
则，
∴c=3；
故角B为最大角，
cosB=
故选：B．
10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是（）
A．S6B．S11C．S12D．S13
【解答】解：由a2+a6+a10=a1+d+a1+5d+a1+9d=3（a1+5d）=3a6
=为一确定的常数，
从而=11a6为确定的常数，
故选：B．
11．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，若a5•a6=9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于（）
A．8 B．10 C．12 D．2+log35
【解答】解：∵log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10
=log3a1•a2…a10
=log3（a5•a6）5=10
故选：B．
12．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项、4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．等腰直角三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
【解答】解：根据题意得：tanA=2，tanB=3，
∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=1，
则A，B及C都为锐角，即△ABC为锐角三角形．
故选：C．
二、填空题（每题5分，共20题）
13．（5分）不等式x2+x+k≥0恒成立，则k的取值范围是[，+∞）．
【解答】解：因为y=x2+x+k的图象开口向上，
又不等式x2+x+k≥0恒成立，
所以有△=12﹣4k≤0，解得k≥，
所以k的取值范围是k≥．
故答案为：[，+∞），．
14．（5分）已知等比数列{a n}满足a3•a6•a9=27，等差数列{b n}满足b3+b6+b9=9，则a6+b6=6．
【解答】解：根据题意，等比数列{a n}满足a3•a6•a9=27，则（a6）3=27，解可得a6=3；
等差数列{b n}满足b3+b6+b9=9，则3b6=9，解可得b6=3，
则有a6+b6=3+3=6；
故答案为：6．
15．（5分）已知数列的，则a8+a9+a10+a11+a12=100．
【解答】解：数列的，
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n．
则a8+a9+a10+a11+a12=2×（8+9+10+11+12）=100．
故答案为：100．
16．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是[，7] ．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
联立，得A（1，7），由
可知B（4，2），
再由的几何意义可知，表示可行域内的动点（x，y）与原点O连线的斜率，
k OA=7，k OB==，
∴的取值范围是[，7]．故答案为：[，7]．
三、解答题（本大题共六小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集是B．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，求ax2+x+b＜0的解集．
【解答】解：（1）解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3；
∴A={x|﹣1＜x＜3}，
解不等式x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2，
∴B={x|﹣3＜x＜2}；
∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}；
（2）不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，
∴﹣1和2是方程x2+ax+b=0的实数根，
由根与系数的关系得，
解得a=﹣1，b=﹣2；
∴不等式ax2+x+b＜0化为﹣x2+x﹣2＜0，
即x2﹣x+2＞0，
其中△=1﹣8＜0，
所求不等式的解集为R．
18．（12分）已知△ABC的对边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b，c的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，
∴sinB==，
由正弦定理，得sinA===；
（Ⅱ）∵a=2，sinB=，S
=4=acsinB=，
△ABC
∴解得：c=5，
又∵cosB=．
∴b===．
19．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．
【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，由已知得16=2q3，解得q=2，
∴a n=2n．
（2）由（1）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32．
设{b n}的公差为d，则，解得
从而b n=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28，
所以数列{b n}的前n项和S n==6n2﹣22n．
20．（12分）小明在某岛上的A处，上午11时测得在A的北偏东60°的C处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60°的B处，12时40分时又测得轮船到达位于A正西方5千米的港口E处，如果该船始终保持匀速直线运动．
求：（1）点B到A的距离；
（2）船的航行速度．
【解答】解：（1）依题意可知BC=4BE，
设BE=xkm，则BC=4xkm
由已知，得∠BAE=30°，∠EAC=150°，
由正弦定理得=，所以sinC===，在△ABC中，由正弦定理，得=，
所以AB===，
所以观测点A与B之间的距离为km，
（2）△ABE中，由余弦定理，得BE2=AB2+AE2﹣2AB•AE•cos30°=，
所以船速v===，
答：该船的速度为km/h．
21．（12分）数列{a n}满足a1=1，且a n=a n﹣1+n（n＞1，n∈N*），
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项的和S n．
【解答】解：（1）∵，
∴a n﹣a n
=n，
﹣1
由叠加得：
，
当n=1时，上式的值为1，满足条件a1=1，
∴
（2）∵数列{b n}满足b n=，
∴，
∴．
22．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣1．（1）证明：数列{a n}是等比数列；
（2）求数列{na n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）证明：当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，
可得a1=1；
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣2a n﹣1+1，
即为a n=2a n﹣1，
则数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）a n=2n﹣1，
则na n=n•2n﹣1，
可得前n项和T n=1•1+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，
2T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
两式相减可得，﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n
=﹣n•2n，
化简可得T n=1+（n﹣1）•2n．
赠送初中数学几何模型【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
O D
A
B C
E
A
O
D C
B
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
P
B
C
O
A
D
H
M
N E
G
P B
C O A
D
图1 图2
4. 如图，在⊙O 中，弦AB 丄弦CD 与E ，弦AG 丄弦BC 与F 点，CD 与AG 相交于M 点．
(1)求证：︵BD ＝︵
BG ；(2)如果AB =12，CM =4，求⊙O 的半径．
5.（1）如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA 、PB
组成⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
B
A
O
E
E
F
D
C
B
O
P
E
D
B
O
P
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

图1 图2。