一元二次方程练习题

2
一、选择题
1.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）。

A. x 2 + 1
= 0 x B. ax 2 + bx + c = 0
C. (x − 1)(x + 2) = 1
D. 3x 2 − 2xy − 5y 2 = 0
2.下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是（ ）。

A. x 2 + 1 = 0
B. x 2 + x + 1 = 0
C. x 2 − x + 1 = 0
D. x 2 − x − 1 = 0
3.一元二次方程 x 2 + 2x − c = 0 中， c > 0 ，该方程的解的情况是（ ）。

A. 没有实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 不能确定 4.若 5k + 20 < 0 ，则关于 x 的一元二次方程 x 2 + 4x − k = 0 的根的情况是（ ）。

A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法判断
5.已知 1 是关于 x 的一元二次方程 (m − 2)x 2 + x + 1 = 0 的一个根，则 m 的值是（ ）。

A. 1 B. − 1 C. 0 D. ± 1
6.若关于 x 的一元二次方程 (k − 1)x 2 + 4x + 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）。

A. k < 5
B. k ⩾5 且 k ≠ 1
C. k ⩽5 且 k ≠ 1
D.
k > 5
7.如果 x = 4 是一元二次方程 x 2 − 3x − a = 0 的一个根，则常数 a 的值是（ ）。

A. 2 B. − 2 C. ± 4 D. 4
8.如果关于 x 的一元二次方程 kx 2 − 2k + 1x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ）。

A. k < 1
2
B.
k < 1
2 且 k ≠ 0
C. −1 ⩽k < 1
2 2
−1 ⩽k < 1 且k ≠ 0
2 2
9.一元二次方程x2 + x − 2 = 0 的两根之和是（）。

A.− 2
B.−1
2
C.− 1
D.2
10.用配方法解一元二次方程x2− 6x − 5 = 0 ，此方程可化为（）。

A. (x − 3)2 = 4
B. (x − 3)2 = 14
C. (x − 9)2 = 4
D. (x − 9)2 = 14
11.下列一元二次方程没有实数根的是（）。

A. x2 + x + 2 = 0
B. x2 + 2x + 1 = 0
C. x2− 1 = 0
D. x2− 2x − 1 = 0
12.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）。

A. 4x2− 5x + 2 = 0
B. x2− 6x + 9 = 0
C. 5x2− 4x − 1 = 0
D. 3x2− 4x + 1 = 0
二、填空
1.已知m 是方程x2 + x − 1 = 0 的根，则式子m3 + 2m2 + 2015 的值为。

2.已知(|m| − 1)x2− (m − 1)x + 8 = 0 是关于x 的一元一次方程，则m = 。

3.已知关于x 的一元二次方程2x2−3x + m = 0 没有实数根，则m 的最小整数值为。

4.下列一元二次方程：
（1）(x − 1)2 + 2x(x − 1) = 0 的解为；
（2）3y2 + 1 = 2 3y 的解为。

三、计算
解下列方程：
（1）x2− x + 2 = 0 （2）2x2− 3x − 5 = 0
1
2
四、分析与计算
1.已知关于 x 的一元二次方程 3x 2 − 6x + 1 − k = 0 有实数根， k 为负整数。

（1）求 k 的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根。

2.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 − 2kx + 1
k 2 − 2 = 0 。

2 （1）求证：不论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根。

（2）设 x 1 ， x 2 是方程的根，且 x 2 − 2kx 1 + 2x 1x 2 = 5 ，则 k 的值。

3.阅读材料： x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根，由求根公式可推出， x 1 +
x =− b
a
， x 1x 2 = 。

这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题。

已知 x 1 ， x 2 是方程 的两根，求下列两个代数式的值：
（1） 。

（2）。

c a
4.已知关于x 的一元二次方程x2− (k + 2)x + 2k = 0 。

（1）试说明无论k 取何值时，这个方程一定有实数根；
（2）已知等腰△ ABC 的底边a = 1 ，若两腰 b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ ABC 的周长。

5.在一块长22 米、宽17 米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300 平方米。

求道路的宽度。

（列一元二次方程解应用题）
【答案与解析】
一、选择
1.【答案】C
【解析】
本题主要考查一元二次方程。

A 项，只含有一个未知数，并且未知数的最高指数幂是2 的整式方程叫做一元二次方程，
是分式，所以原方程是分式方程。

故 A 项不符合题意。

因为1
x2
B 项，当a = 0 时，即ax2 + bx + c = 0 的二次项系数是0 时，该方程不是一元二次方程。

故
B 项不符合题意。

C 项，原方程去括号移项得x2+ x − 3 = 0 ，符合一元二次方程要求。

故 C 项符合题意。

D 项，原方程存在两个未知数，所以该方程不是一元二次方程。

故 D 项不符合题意。

故
本题正确答案为 C。

2.【答案】D
【解析】
本题主要考查一元二次方程。

当Δ> 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ= 0 ，方程有两个相等的实数根；当Δ< 0 时，方程没有实数根；所以方程有实数根的条件为Δ⩾0 。

A 项，Δ= b2− 4ac = 0 − 4=− 4 < 0 ，故 A 项不符合题意。

B 项，Δ= b2− 4ac = 1 − 4=− 3 < 0 ，故 B 项不符合题意。

C 项，Δ= b2− 4ac = 1 − 4=− 3 < 0 ，故 C 项不符合题意。

D 项，Δ= b2− 4ac = 1 − 4 × ( − 1) = 5 > 0 ，故 D 项符合题意。

故本题正确答案为 D。

3.【答案】B
【解析】
本题主要考查一元二次方程。

一元二次方程，当Δ> 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ= 0 ，方程有两个相等的实数根；当Δ< 0 时，方程没有实数根；因为Δ= b2− 4ac = 4 − 4 × ( − c) = 4 + 4c > 0 ，所以该方程有两个不相等的实数根。

故本题正确答案为 B。

4.【答案】A
【解析】
本题主要考查一元二次方程和一元一次不等式及其解法。

因为5k + 20 < 0 ，所以k <− 4 。

因为方程x2 + 4x − k = 0 的判别式为Δ= b2− 4ac = 42− 4 × ( − k) = 16 + 4k ，由于k <− 4 ，所以16 + 4k < 0 ，即Δ< 0 ，所以方程没有实数根。

故本题正确答案为 A。

5.【答案】C
【解析】
本题主要考查一元二次方程。

将 x = 1 代入一元二次方程中，得 (m − 2) + 1 + 1 = 0 ，化简得： m = 0 。

故本题正确答案为 C 。

6.【答案】C 【解析】
本题主要考查一元二次方程。

因为一元二次方程有实数根，所以有 ，该不等式组的解集为
k ⩽5 且 k ≠ 1 。

故本题正确答案为 C 。

7.【答案】D 【解析】
本题主要考查一元二次方程。

因为 x = 4 是一元二次方程 x 2 − 3x − a = 0 的一个根，所以将 x = 4 代入方程可得 42 − 3 × 4 − a = 0 ，解得 a = 4 。

故本题正确答案为 D 。

8.【答案】D 【解析】
本题主要考查一元二次方程。

因为方程有两个不相等的实数根，所以 Δ = b 2 − 4ac = ( − 2k + 1)2 − 4k = 2k + 1 − 4k = 1 − 2k > 0 ，解得 k < 1 2
；根据二次根式根号内的数为非负数，可得 2k + 1⩾0 ，解得 k ⩾ − 1
；
2
又因为方程为一元二次方程，所以 k ≠ 0 。

故 k 的取值范围是 − 1
⩽k <
1 且 k ≠ 0 。

2
2
故本题正确答案为 D 。

9.【答案】C 【解析】
本题主要考查一元二次方程。

解方程 x 2 + x − 2 = 0 ，得 x =
=
−1±3
，即 x =− 2 ， x
= 1 ，所以
x 1 + x 2 =− 2 + 1 =− 1 。

故本题正确答案为 C 。

2
1
2
10.【答案】B 【解析】
本题主要考查解一元二次方程。

用配方法解一元二次方程 x 2 − 6x − 5 = 0 ，过程如下， x 2 − 6x + 9 − 5 = 9 ， (x − 3)2 − 5 = 9 ， 即 (x − 3)2 = 14 。

故本题正确答案为 B 。

11.【答案】A 【解析】
本题主要考查一元二次方程。

A 项， Δ = b 2 − 4ac = 1 − 8 =− 7 < 0 ，则方程没有实数根，故 A 项符合题意； B 项， Δ = b 2 − 4ac = 4 − 4 = 0 ，则方程有两个相等的实数根，故 B 项不符合题意； C 项， Δ = b 2 − 4ac = 0 − ( − 4) = 4 > 0 ，则方程具有两个不相等的实数根，故 C 项不符合题意； D 项， Δ = b 2 − 4ac = 4 − ( − 4) = 8 > 0 ，则方程有两个不相等的实数根，故 D 项不符合题意。

故本题正确答案为 A 。

12.【答案】A 【解析】
本题主要考查一元二次方程。

一元二次方程根的判别式 Δ = b 2 − 4ac ，当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 ，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根。

A 项，根据判别式 Δ = ( − 5)2 − 4 × 4 × 2 = 25 − 32 =− 7 < 0 ，所以该方程没有实数根。

故 A 项符合题意。

B 项，根据判别式 Δ = ( − 6)2 − 4 × 9 × 1 = 36 − 36 = 0 ，所以该方程有两个相等的实数根。

故 B 项不符合题意。

C 项，根据判别式 Δ = ( − 4)2 − 4 × 5 × ( − 1) = 16 − ( − 20) = 36 > 0 ，所以该方程有两个不相等的实数根。

故 C 项不符合题意。

D 项，根据判别式 Δ = ( − 4)2 − 4 × 3 × 1 = 16 − 12 = 4 > 0 ，所以该方程有两个不相等的实数根。

故 D 项不符合题意。

故本题正确答案为 A 。

二、填空
1.【答案】2016 【解析】
本题主要考查代数式的值和方程解的概念。

根据方程解的性质，将 x = m 代入原方程可得 m 2 + m = 1 ，则
2015 = 2016 。

故本题正确答案为 2016 。

= 1 +
2.【答案】-1 【解析】
本题主要考查一元一次方程的基本概念。

由题意得，方程为关于 x 的一元一次方程，所以方程的二次项系数为 0 ，即 |m| − 1 = 0 ， 可得 m =± 1 ；又因为方程的一次项系数不为 0 ，所以 m − 1 ≠ 0 ，得 m ≠ 1 。

综上可得 m = − 1 。

故本题正确答案为 − 1 。

5
2
3.【答案】因为一元二次方程没有实数根，所以 Δ = ( − 3)2 − 4 × 2 × m = 3 − 8m < 0 ，m > 3
，
8
所以 m 可以取得最小整数值为 1 。

【解析】
本题主要考查一元二次方程的基本概念。

根据一元二次方程没有实数根，得出 Δ < 0 ，求出 m 的取值范围，即可得出 m 的最小整数值。

4.【答案】
（1）(x − 1)(x − 1 + 2x) = 0 ，即 (x − 1)(3x − 1) = 0 ，所以 x − 1 = 0 或 3x − 1 = 0 ，解得：x = 1 或 x = 1
；
3
（2）移项，得： 3y 2 − 2 3y + 1 = 0 ，即 ( 3y − 1)2 = 0 ，所以 3y − 1 = 0 ，解得： y = 3。

3
【解析】
本题主要考查用配方法和因式分解法求解一元二次方程。

（1）提取公因式后即可求解方程。

（2）移项后根据完全平方公式分解因式即可求解方程。

三、计算 【答案】
（1）在一元二次方程中，因为 a = 1 ， b =− 1 ， c = 2 ，所以 Δ = b 2 − 4ac = ( − 1)2 − 4 × 1 × 2 = 1 − 8 =− 7 < 0 ，所以原方程没有实数根。

（2）在一元二次方程中，因为 a = 2 ， b =− 3 ， c =− 5 ，所以 Δ = b 2 − 4ac = ( − 3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( − 5) = 49 > 0 ，故方程有两个不相等的实数根，根据求根公式可得 x =
−b± b 2−4ac
=
3±7
，
解得： x 1
=− 1 ， x = 。

2
4
【解析】
本题主要考查用公式法解一元二次方程。

（1）写出 a 、 b 、 c 的值，求出 Δ 的值，当 Δ < 0 时不存在实数根。

（2）写出 a 、 b 、 c 的值，求出 Δ 的值，再根据求根公式求解即可。

四、分析与计算 1..【答案】
（1）根据题意，得 △= ( − 6)2 − 4 × 3(1 − k)⩾0 ，解得 k ⩾ − 2 。

因为 k 为负整数，所以 k =− 1 或 − 2 。

（2）当 k =− 1 时，不符合题意，舍去；当 k =− 2 时，符合题意，此时方程的根为 x 1 = x 2 = 1 。

【解析】
本题主要考查一元二次方程根的判别式。

（1）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于 0 列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到 k 的值；
（2）将 k 的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的 k 值。

2.【答案】
（1）证明：Δ= ( − 2k)2− 4( 1 k2− 2) = 2k2 + 8 > 0 ，所以不论k 为何值，方程总有两个不
2
相等实数根。

（2）因为x是方程的根，所以x2− 2kx + 1 k2− 2 = 0 ，所以x2− 2kx=− 1 k2 + 2 ，因为x2−
1 1 1
2 1 1 2 1
2kx + 2x x = 5 ，x x = 1 k2− 2 ，所以−1 k2 + 2 + 2( 1 k2− 2) = 5 ，整理得k2− 14 = 0 ，所
1 1
2 1 2 2 2 2
以k =± 14 。

【解析】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和判别式。

（1）计算判别式，从而得到Δ> 0 ，即可证明不论k 为何值，方程总有两个不相等实数
根。

（2）因为x1是方程的根，所以满足方程，再由根与系数的关系得到x1x2= 1 k2− 2 ，代入
2
等式化简即可算出k 值。

3.【答案】
（1）因为x1，x2是方程的两个根，从而有：x1
1
+ x2 =
2
，x1x2=− 5 。

2
因此： 1 + 1 = x2+x1 = 1 2 =− 1 。

x1 x2x1x2 −5 5
2
（2）由（1）知，(x + 5)(x + 5) = x x + 5(x + x ) + 25 =− 5 + 5 × 1 + 25 = 25 。

1 2 1 2 1 2 2 2
【解析】
本题主要考查一元二次方程的应用。

先根据x1 ，x2 是方程的两根，求出x1 + x2 、x1x2 的值，再把要求的
式子进行变形，最后代入计算即可。

4.【答案】
（1）因为Δ= (k + 2)2− 4 × 2k = (k − 2)2⩾0 ，所以无论k 取何值，这个方程一定有实数根；（2）等腰△ABC底边a=1，则b=c，则方程两根为腰，即Δ=(k−2)2=0，所以k=2，所以原方程为x2− 4x + 4 = (x − 2)2 = 0 ，所以b = c = 2 ，所以三角形周长为l = a + b + c = 5 。

【解析】
本题主要考查用配方法解一元二次方程。

（1）当一元二次方程有实根时，Δ= b2− 4ac⩾0 ，将Δ化简为完全平方式，即可证明方程一定有实根；
（2）当Δ= b2− 4ac = 0 时方程有两个相等实数根，即求得k 值，代入原方程求得方程的根，即可求得等腰三角形的周长。

5.【答案】
设道路的宽应为x米，由题意有(22−x)(17−x)=300，解得：x1=37（舍去），x2=2，故修建的路宽为2 米。

【解析】
本题主要考查一元二次方程的应用。

把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可。