广东省江门市风采华侨中学2019-2020学年高二数学文上学期期末试题含解析

广东省江门市风采华侨中学2019-2020学年高二数学文
上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 记确定的区域为,确定的区域为,在区域中每次任取个点,连续取次得到个点,则这个点中恰好只有个点在区域中的概率为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
2. 以椭圆的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为（）
A、B、C、
D、
参考答案：
D
略
3. 如图所示，AB是圆O的直径，直线MN切圆O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，
BN⊥MN，则下列结论中正确的个数是()
①∠1＝∠2＝∠3 ②AM·CN＝CM·BN
③CM＝CD＝CN④△ACM∽△ABC∽△CBN．
A． 4 B．3 C．2 D． 1
参考答案：
B
4. 三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若，则双曲线离心率e为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．
【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，
由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，
在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，
由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，
由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，
即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，
∴（1﹣+）|PF1|=4a，
解得|PF1|=．
|PF2|=|PF1|﹣2a=，
由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，
可得e=．
故选：D．
6. 若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）
A．﹣B．﹣＜t＜0
C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜2
参考答案：
D
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】直线与圆．
【分析】根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得3﹣2＜
＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，由此求得t的取值范围．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0即（x﹣t）2+y2=4，表示以C1（t，0）为圆心、半径等于2的圆；
圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0即（x+1）2+（y﹣2t）2=9，表示以C2（﹣1，2t）为圆心、半径等于3的圆．
再根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，
即 3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，
∴，
解得﹣或0＜t＜2，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
7. 如图是人教A版教材选修1-2第二章“推理与证明”的知识结构图（部分），如果要加入知识点“三段论”，则应该放在图中（）.
A．“①”处B．“②”处
C．“③”处 D．“④”处
参考答案：
B
略
8. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）
A．150 B．180 C．200 D．280
参考答案：
A
【考点】计数原理的应用．
【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．
【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．
若是1，1，3，则有C53×A33=60种，
若是1，2，2，则有×A33=90种
所以共有150种不同的方法．
故选：A．
【点评】本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定．
9. 集合，则为
（）
A． B．{0，1} C．{1，
2} D．
参考答案：
D
10.
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若{a n}前n项和S n=127，则n的值
为．
参考答案：
7
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】由等比数列的前n项和公式可得，127=解方程可求n
【解答】解：由等比数列的前n项和公式可得，127=
解可得，n=7
故答案为：7
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的简单运用，属于基础试题．12. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
13. 已知且满足,则的最小值为 .
参考答案：
18
14. 过点作直线，与的正半轴分别交于两点，则使取得最小值时的直线的方程是_________________;
参考答案：
略
15. 若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点，则该椭圆的离心率的取值范围为：．
参考答案：
（，1）
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），与圆方程为x2+y2=c2，联立方程组，解得x，y，由题意可得c＞b，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．
【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），
以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆方程为x2+y2=c2，
联立两方程，可得y2=，x2=，
由题意可得x2＞0，y2＞0，
结合a＞b＞0，a＞c＞0，可得c2＞b2，
即有c2＞a2﹣c2，即为a＜c，
则离心率e=＞，由0＜e＜1，可得
＜e＜1．
故答案为：（，1）．
【点评】本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用圆与椭圆方程联立，通过方程组有解，考查运算能力，属于中档题．
16. （1）已知直线,则该直线过定点；（2）已知双曲线
的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为．
参考答案：
（-2,1）；；
17. 给出下列五个命题：
①函数的图像可由函数（其中且）的图像通过平移得到;
②在三角形ABC中若则;
③已知是等差数列的前项和，若则;
④函数与函数的图像关于对称;
⑤已知两条不同的直线和两不同平面.，则
其中正确命题的序号为： _ __．
参考答案：
①②⑤
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0的两个交点分别为P、Q，点M在抛物线上从P向Q运动（点M不同于点P、Q），
（Ⅰ）求由抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0所围成的封闭图形面积；
（Ⅱ）求使△MPQ的面积为最大时M点的坐标．
参考答案：
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由得抛物线与直线的交点为P，Q，根据定积分的即可求出相对应的面积，方法一，选取积分变量为x，方法二，选取积分变量为y
（Ⅱ）设点M的坐标为（a，b），要使△MPQ的面积最大即使点M到直线x﹣2y﹣3=0的距离最大，故过点M的切线与直线x﹣2y﹣3=0平行，利用导数求出切线的斜率，即可求出a
的值，问题得以解决．
【解答】解（Ⅰ）方法一由得抛物线与直线的交点为P（1，﹣1），Q （9，3）（如图）．
∴S= [﹣（﹣）]dx+（﹣）dx=2dx+（﹣+）dx
=|+（x﹣+|=+=．
方法二若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2，x=2y+3．由方法一知上限为3，下限为﹣1．
∴S=（2y+3﹣y2）dy=（y2+3y﹣y3）|=（9+9﹣9）﹣（1﹣3+）=．（Ⅱ）设点M的坐标为（a，b），要使△MPQ的面积最大即使点M到直线x﹣2y﹣3=0的距离最大，
故过点M的切线与直线x﹣2y﹣3=0平行，
故过点M的切线斜率为k=，
∵y2=x，
∴y=
令y=，
∴y′=
∴k==，
解得a=1，
∴b=1，
∴M点的坐标为（1，1）时，△PAB的面积最大．
【点评】本题考查了定积分的有关计算和抛物线的简单性质，以及导数的几何意义，属于中档题．
19. (13分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=(3n+S n)对一切正整数n成立（I）、证明：数列{a n+3}是等比数列；
（II）、求出数列{a n}的通项公式。

参考答案：
解：（I）由已知得S n=2a n-3n， S n+1=2a n+1-3(n+1),两式相减得：a n+1=2a n+3 （2）、数列{a n+3}是首项为6，公比为2的等比数列，所以数列a n+3 =6,即a n=3()
20. 已知函数.
（1）试判断函数上单调性并证明你的结论；
（2）若恒成立，求正整数k的最大值；
（3）求证：.
参考答案：
解：（1）
故函数上单调递减……………………3分
（2）
令
在（0，……………………5分
即
因此函数在在
……………………7分
所以正整数k的最大值是3……………………8分
（3）由2知：
令则
……………………10分
再令n=1,2,……n,两边分别相加得：
……………………12分
略
21. 已知函数的极小值为-8，其导函数的图象过点，
如图所示
（1）求的解析式
(2)若对都有恒成立，求实数的m取值范围。

参考答案：
略
22. 已知数列的前项和为，，满足
(1)计算、、、，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你猜想的的表达式。

（13分）参考答案：
（1）猜想
（2）①当时，结论显然成立
②假设时结论成立，即
由可知：
即当时结论也成立。

根据①②可知结论对任何都成立略。