高考数学一轮复习考点知识与题型讲解练习40 导数与不等式、零点

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解练习 考点40 导数与不等式、零
点
一.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略
(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围． (2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
二．证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明
f (x )min >
g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．
三．证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1)<f (x 2)＋g (x 2)对x 1<x 2恒成立，即等价于函数
h (x )＝f (x )＋g (x )为增函数．
四．可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．
五．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．
考点题型一导数与零点
【例1】(2022·安徽安庆市)函数()2x
f x e ax a =--. (1)讨论函数的极值；
(2)当0a >时，求函数()f x 的零点个数.
知识理解
考点题型分析
【举一反三】
1．(2022·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中)已知函数()sin x
f x e x =+.
(1)求曲线()f x 在点()()
0,0f 处的切线方程；
(2)令()()1g x f x ax =--，当[)1,2a ∈时，证明∶函数()g x 有2个零点.
2．(2022·安徽高三一模(文))已知函数f (x )=a x
-ax (a >0且a ≠1). (1)当a =e 时，求函数f (x )的最值；
(2)设g (x )是f (x )的导函数，讨论函数g (x )在区间(0，1)零点的个数.
3．(2022·山东潍坊市·高三一模)已知函数()()22sin x a
f x a x
-=-∈R ．
(1)若曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线经过坐标原点，求实数a ； (2)当0a >时，判断函数()f x 在(0,)x π∈上的零点个数，并说明理由．
考点题型二导数与不等式
【例2】(2022·江苏苏州市)已知函数2
()ln ,01f x x m x m x
=++<<. (1)若()f x 在4
3
x =
时取得极值，求实数m 的值； (2)求()f x 的单调区间；
(3)证明：()f x >
【举一反三】
1．(2022·贵州高三开学考试)已知函数()sin cos 1
e
x
x x f x +-=. (1)求函数()f x 在()0,π内的单调递增区间； (2)当[)0,x ∈+∞时，求证：()f x x ≤.
2．(2022·安徽高三一模(理))已知函数f (x )=2e x +a ln(x +1)-2. (1)当a =-2时，讨论f (x )的单调性；
(2)当x ∈[0，π]时，f (x )≥sin x 恒成立，求a 的取值范围.
1．(2022·山东菏泽市·高三一模)已知函数()()()
2(ln ,)x
f x x kx k R
g x x e =-∈=-.
(1)若()f x 有唯一零点，求k 的取值范围; (2)若()()1g x f x -≥恒成立，求k 的取值范围.
2．(2022·浙江高三月考)已知函数()ln f x x =. (1)若1
()1x af x e
-≤-恒成立，求实数a 的值；
(2)若关于x 的方程2
()ln 0m
f x x m x
-+-=有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围.
强化练习
3．(2022·湖北荆门市·高三月考)已知函数()ln 1a
f x x x
=-+有两个不同的零点()1212,x x x x <. (1)求实数a 的取值范围； (2)记()f x 的极值点为0x ，求证：()012
112ef x x x +>.
4．(2022·辽宁高三其他模拟(文))已知函数()ln 11
x a
F x x x =
-
-+．
(Ⅰ)设函数()()()1h x x F x =-，当 2a =时，证明：当 1x >时，()0h x >；
(Ⅱ)若()F x 有两个不同的零点，求
a 的取值范围.
5．(2022·山西晋中市·高三二模(文))已知函数2
()2ln 43()f x x ax ax a a =+-+∈R ．
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)对(1,)x ∈+∞，都有()0f x >成立，求实数a 的取值范围．
6．(2022·湖南永州市·高三二模)已知函数()x
f x ae x a =-+，a R ∈. (1)讨论()f x 在[)1,+∞上的单调性；
(2)当1sin a x =-时，讨论()()2g x f x x =+-在(),ππ-上的零点个数.
7．(2022·全国高三开学考试(文))已知函数()sin ,[0,],0x f x ae x x x a π=++∈<. (1)证明：当1a =-时，函数()f x 有唯一的极大值；
(2)当()21f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围.
8．(2022·全国高三开学考试(文))已知函数()()11ln f x a x x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)对任意0x >，求证：()()22e 11e
x
a x f x x +++>.
9．(2022·湖北武汉市·高三月考)已知函数()()1ln x a
f x x e x -=--.
(Ⅰ)当1a =时，求()f x 的最小值；
(Ⅱ)证明：当01a <≤时，()ln f x a ≥恒成立.
10．(2022·全国高三其他模拟)已知函数()()2
2x f x xe ax ax a =--∈R .
(1)当0a >时，讨论()f x 的单调性；
(2)若关于x 的不等式()()f x f x ≥--在(),-∞+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.
11(2022·江西上饶市·高三一模(理))已知()2x
x f x ae
xe =-.
(1)若1
2
a =，讨论()f x 的单调性； (2)x R ∀∈，()2
f x a
≤-，求实数a 的最小值.
12．(2022·四川成都市·石室中学高三月考(理))已知函数()()2
1ln 12
f x x m x =+-，其中R m ∈. (1)求函数()f x 的单调区间；
(2)若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：()()1211
ln 444
f x f x +>-.
13．(2022·江苏连云港市·高三开学考试)已知函数()e 1=-x
f x ，()sin =
g x a x ，a ∈R . (1)若1a =-，证明：当0x ≥时，()()f x g x ≥； (2)讨论()()()x f x g x ϕ=-在[0,]x π∈上零点的个数.
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14．(2022·贵州高三开学考试(理))已知函数()sin cos 1e x
x x f x +-= (1)求函数()f x 在()0,π内的单调递增区间；
(2)若对[
)()0,,x f x ax ∞∀∈+恒成立，求实数a 的取值范围.。