考点29 数学学业水平测试模拟卷(四)-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密

2020浙江数学学业水平测试模拟卷(四)
选择题部分
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个 是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分) 1．设集合P ＝{x |x ＞0}，下列关系式中成立的为( )
A ．2⊆P
B ．{2}∈P
C ．∅∈P
D ．{2}⊆P
【★答案★】D 【分析】 由于元素和集合之间的关系只能属于或不属于，集合与集合之间的关系用包含或不包含，直接排除选项A ，B ，C.故选D.
2．函数y ＝tan x
2
(x ∈R )的最小正周期是( )
A.π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π
【★答案★】C 【分析】 函数y ＝tan x 2(x ∈R )的最小正周期是T ＝π||ω＝π
1
2＝2π.故选C
3．若lg a ＋lg b ＝2，则ab 的值等于( ) A ．2 B.1
2
C ．100 D.10
【★答案★】C 【分析】 由于lg a ＋lg b ＝lg ab ＝2，所以ab ＝100.故选C. 4．函数y ＝1＋log 3x 的定义域是( )
A ．(－1，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．[1
3
，＋∞) D ．(0，＋∞)
【★答案★】C 【分析】 由1＋log 3x ≥0得log 3x ≥－1，解得x ≥13，所以定义域为[1
3，＋∞)．故选C.
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝6，A ＝π
6，则B ＝( )
A.π4
B.π3
C.π3或2π3
D.π4或3π4
【★答案★】D 【分析】 由正弦定理得3sin π6＝6sin B ，得sin B ＝22，因为a ＜b ，所以A ＜B ，所以B
＝π4或B ＝3π
4
.故选D.
6．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤2，x ＋y ≥1，y ≥x ，
则x ＋2y 的最小值为( )
A ．1.5
B ．2
C ．5
D ．6
【★答案★】A 【分析】 画出不等式组所表示的可行域，如图，当直线x ＋2y ＝t 经过直线l 2，l 3交点(12，1
2
) 时，x ＋2y 的最小值为1.5.故选A.
第6题图
7．已知向量a ＝(x ，x ＋2)与向量b ＝(1，3x )是共线向量，则实数x 的值为( ) A ．－23或1 B.23或－1 C.32或－1 D ．－3
2
或1
【★答案★】A 【分析】 因为a ∥b ，所以3x 2－(x ＋2)＝0，解得x ＝－2
3或x ＝1.故选A.
8．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是( ) A ．y ＝2＋sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝ln x D ．y ＝e x －e －
x
【★答案★】D 【分析】 四个选项中，y ＝2＋sin x 和y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数，排除A ，C ；又y ＝cos x 为偶函数，排除B ；记f ()x ＝e x －e －
x ，有f ()－x ＝e －x －e x ＝－f ()x ，故f ()x 为奇函数，且有f ()
0＝e 0－e 0＝0有零点．故选D.
9．椭圆2x 2＋y 2＝6的焦点坐标是( )
A ．(0，±3)
B ．(±3，0)
C ．(±3，0)
D ．(0，±3) 【★答案★】A 【分析】 椭圆方程
2x 2＋y 2＝6
可化为y 26＋x 2
3
＝1，所以椭圆焦点在y 轴上，且a 2＝6，
b 2＝3，
c ＝a 2－b 2＝3，所以焦点坐标为(0，±3)．故选A.
10．设a ∈R ，“1，a ，16为等比数列”是“a ＝4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【★答案★】B 【分析】 由题意得，1，a ，16为等比数列，有a 2＝16×1，所以a ＝±4，因此a ＝4能推出1，a ，16为等比数列，反之不能，所以“1，a ，16为等比数列”是“a ＝4”的必要不充分条件．故选
B.
11．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±12x
D ．y ＝±2
2
x
【★答案★】B 【分析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，可得e ＝c
a ＝3，即c ＝3a ，
由c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2a ，渐近线方程为y ＝±b
a
x ，即y ＝±2x .故选B.
12．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( ) A ．2cm 3 B ．4cm 3 C ．6cm 3 D ．12cm 3
第12题图
【★答案★】A 【分析】 由三视图知该几何体的直观图是三棱锥，易知底面为等腰三角形，则三棱锥的体积为V ＝13×(1
2
×3×2)×2＝2cm 3.故选A.
13．如果⎩⎪⎨⎪
⎧a ＞0， b ＜0， a ＋b ＞0，那么下列不等关系正确的个数是( )
①a 2b ＜b 3；②1a ＞0＞1
b
；③a 3＞ab 2；④a 3＞b 3.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【★答案★】D 【分析】 因为a ＋b ＞0，a －b ＞0，所以a 2－b 2＞0，所以b (a 2－b 2)＜0，a 2b ＜b 3，①正确；②1a ＞0＞1
b 显然成立；因为a (a 2－b 2)＞0，所以③a 3＞ab 2正确，④a 3＞b 3显然成立，所以不等关系
正确的个数是4.故选D.
14．直线l 与平面α不垂直，则下列说法正确的是( ) A ．平面α内有无数条直线与直线l 垂直 B ．平面α内任意一条直线与直线l 不垂直 C ．平面α内有且只有一条直线与直线l 垂直 D ．平面α内可以找到两条相交直线与直线l 垂直
【★答案★】A 【分析】 因为直线l 与平面α不垂直，所以在平面α内只要与l 在平面α的射影垂直，就有无数条直线与直线l 垂直，选项A 正确．选项B ，C ，D 可以找到反例．故选A.
15．设平面向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|a ＋b |＝6，|b |＝|c |，且b ⊥c ，则|b －c |的取值范围为( ) A ．[4，8] B ．[42，82] C ．(4，8) D ．(42，82)
【★答案★】B 【分析】 因为|a |＝2，|a ＋b |＝6，所以4≤|b |≤8，又|b |＝|c |，b ⊥c ，所以|b －c |＝（b －c ）2＝2b 2＝2|b |∈[42，82]．故选B.
16．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ≤π
2
)的部分图象如图所示，则cos(5ωφ)等于( )
第16题图
A.12 B ．－12 C.22 D ．－32
【★答案★】B 【分析】 由图可得，ω＝2π（5π6－π3）×2＝2，因为f (π3)＝0，0＜φ≤π2，所以φ＝π3，所
以cos(5ωφ)＝cos 10π3＝－1
2
.故选B.
17．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，下列结论一定成立的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 1＋a 3≤2a 2 C ．a 1S 3＞0 D ．a 1S 3＜0
【★答案★】C 【分析】 设等比数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，因为(a 1＋a 3)－2a 2＝a 1(1＋q 2－2q )＝a 1(1－q )2.当a 1＞0时，有a 1＋a 3≥2a 2；当a 1＜0时，有a 1＋a 3≤2a 2；a 1S 3＝a 1(a 1＋a 2＋a 3)＝a 12(1＋q ＋q 2)＞0.故选C.
18．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，有f (x )＞1，且对任意的x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )f (y )，则不等式f (ln x )≤1
f （ln x ＋1）
的解集为( )
A ．(0，e －14]
B ．[e －14，e －12]
C ．(0，e －
1] D ．(0，e －12
]
【★答案★】D 【分析】 由题意知，令x ＝0，y ＝1，则f (1)＝f (0)·f (1)，又f (1)＞1，所以f (0)＝1.因为f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f 2(x
2)≥0，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝0，则对任意的x ∈R ，有f (x )＝f (x －x 0＋x 0)＝f (x －
x 0)f (x 0)＝0，这与已知矛盾，故对任意的x ∈R 恒有f (x )＞0.现在证明函数f (x )在R 上是增函数．任取x 1，x 2
∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，所以f (x 2－x 1)＞1，又因为f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)＞f (x 1)，即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在R 上是增函数．原不等式转化为f (ln x )f (ln x ＋1)≤1，即f (2ln x ＋1)≤f (0)，所以2ln x ＋1≤0，所以ln x ≤－12，所以不等式f (ln x )≤1f （ln x ＋1）
的解集为(0，e －1
2]．故选D.
非选择题部分
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)
19．记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S n ＝n 2＋2n ，则首项a 1＝__________，公差d ＝__________． 【★答案★】3 2 【分析】 当n ＝1时，有a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1)＝2n ＋1；又当n ＝1时，a n ＝2n ＋1＝3＝a 1，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，所以d ＝a n －a n －1＝2.
20．若两平行直线3x ＋4y －2k ＝0与3x ＋4y ＋1＝0之间的距离为1，则实数k ＝__________． 【★答案★】2 【分析】 由于两平行直线3x ＋4y －2k
＝0与3x ＋4y ＋1＝0之间的距离d ＝|1＋2k |
32＋42
＝
1＋2k
5
＝1，所以2k ＝4，k ＝2. 21．已知1＜x ＜32，则2x －1＋1
3－2x
的最小值为__________．
【★答案★】9 【分析】 设3－2x ＝y ，因为1＜x ＜3
2，所以y ＞0，且2x ＋y ＝3，即2(x －1)＋y ＝1，
因为x －1＞0，所以2x －1＋13－2x ＝2x －1＋1y ＝[2(x －1)＋y ](2x －1＋1y )＝5＋[2y x －1＋2（x －1）
y ]≥9，当且仅当x
＝43，y ＝1
3
时，取等号． 22．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 在CC 1上，且CF ＝2FC 1，点P 是侧面AA 1D 1D (包括边界)上一动点，且PB 1∥平面DEF ，则tan ∠ABP 的取值范围是__________．
第22题图
【★答案★】[13，133] 【分析】 在AA 1上取点M ，使得AM ＝1
2MA 1，连接B 1M ，则B 1M ∥DF ；取
C 1
D 1的中点为N ，连接B 1N ，则B 1N ∥D
E ，因此平面B 1MN ∥平面DE
F ，过N 作N
G ∥DF 交DD 1于G ，连
接MG ，则B 1，M ，G ，N 四点共面，且DG ＝2
3DD 1，因为PB 1∥平面DEF ，所以点P 在线段MG 上运动，
当点P 分别与点M ，G 重合时，tan ∠ABP 有最小值13和最大值133，故tan ∠ABP 的取值范围是[13，13
3
]．
三、解答题(本大题共3小题，共31分)
23．(本题10分)已知tan α＝－13，cos β＝5
5，α，β∈(0，π)，求cos α及α＋β的值．
【解】 由tan α＝－1
3，α，β∈(0，π)，所以α为钝角， (1分)
由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝－13， sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝－31010，sin α＝10
10
. (3分)
又cos β＝
5
5
，β∈(0，π)，所以β为锐角．(4分) sin β＝1－cos 2β＝25
5
.(6分)
因为π2＜α＜π，0＜β＜π2，所以π2＜α＋β＜3π
2.(7分)
因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×55＋(－31010)×255＝－22
，(9分) 所以α＋β＝5π
4
.(10分)
24．(本题10分)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点Q (4，0)作动直线l 交抛物线于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，
(1)求抛物线的方程；
(2)若对点P (t ，0)，恒有∠APQ ＝∠BPQ ，求实数t 的值及△P AB 面积的最小值．
第24题图
【解】 (1)设动直线l 方程：x ＝4＋my . (1分)
联立方程⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝4＋my ，y 2＝2px ， 消去x 得y 2－2pmy －8p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得y 1y 2＝－
8p ，所以x 1x 2＝()y 1y 22
4p 2
＝16，(3分)
因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8p ＝0，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(5分) (2)因为∠APQ ＝∠BPQ ，所以k P A ＋k PB ＝0，即
y 1x 1－t ＋y 2x 2－t
＝0，化简得y 1y 214－t ＋y 2
y 224
－t ＝0，所以
()y 1y 2－4t ()y 1＋y 2＝0恒成立，
所以y 1y 2＝4t ，即－16＝4t ，故t ＝－4.(8分) 由(1)有y 1y 2＝－16， y 1＋y 2＝4m ， 所以S △P AB ＝1
2
||PQ ||y 1－y 2＝4
()y 1＋y 22－4y 1y 2＝16
m 2＋4，
当m ＝0时，△P AB 面积的最小值为32.(10分)
25．(本题11分)已知函数f (x )＝x 2＋2|x －a |(a ＞0)，记f (x )在区间[－1，2]的最小值为M (a )． (1)求M (a )的表达式；
(2)当a ∈[12，1]时，存在x ∈[1
4，2]，使得不等式(1－b )x ＋M （a ）x
≥2成立，求实数b 的取值范围．
【解】(1)①若0＜a ＜2，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2a ，x ∈[－1，a ]，x 2＋2x －2a ，x ∈（a ，2].(1分)
当0＜a ≤1时，f (x )在[－1，a ]上单调递减，在(a ，2]上单调递增，故函数f (x )最小值为M (a )＝f (a )＝a 2. (2分)
当1＜a ＜2时，f (x )＝x 2－2x ＋2a ＝(x －1)2＋2a －1，f (x )在[－1，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，故函数f (x )最小值为M (a )＝f (1)＝2a －1.(3分)
②若a ≥2，f (x )＝x 2－2x ＋2a ＝(x －1)2＋2a －1，f (x )在[－1，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，故函数f (x )最小值为M (a )＝f (1)＝2a －1. (4分)
综上M (a )＝⎩
⎪⎨⎪⎧a 2，0＜a ≤1，
2a －1，a ＞1.(5分)
(2)当12≤a ≤1时，由(Ⅰ)知M (a )＝a 2，代入化简，原问题等价于b ≤a 2x 2－2x ＋1在x ∈[14，2]有解. (6分)
令t ＝1x ，则由t ∈[12，4]，故b ≤a 2t 2－2t ＋1，记h (t )＝a 2t 2－2t ＋1，t ∈[1
2，4]，于是，原问题等价于
b ≤h (t )max ，t ∈[1
2
，4]．(7分)
而h (t )＝a 2t 2－2t ＋1＝a 2(t －1a 2)2＋1－1a 2的图象开口向上，对称轴t ＝1a 2∈[1，4]，又因为t ∈[1
2，4]，(8
分)
故当1≤1a 2≤94，即2
3≤a ≤1时，h (t )max ＝h (4)＝16a 2－7；(9分)
当94＜1a 2≤4，即12≤a ＜23时，h (t )max ＝h (12)＝a 2
4
.(10分)
2 3≤a≤1时，b≤16a2－7，当
1
2
≤a＜
2
3时，b≤
a2
4. (11分)
综上，当
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