黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试2018年高中数学仿真模拟试题(五)文

普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（五）
文科数学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（2017·成都市二诊）已知集合2
{|40}A x x x =-<，{|11}B x x =-≤≤，则A B =（ ）
A ．[1,1]-
B ．[1,4)-
C ．(0,1]
D ．(0,4) 2.（2017·太原市一模）已知i 是虚数单位，则复数
534i
i
+-的共轭复数是（ ） A ．1i - B ．1i -+ C ．1i + D ．1i --
3.（2017·合肥市质检）某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481,720]的人数为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
4.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为5，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．14y x =±
B ．13y x =±
C ．1
2
y x =± D ．y x =± 5.如图所示，当输入a ，b 的值分别为2，3时，最后输出的M 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）
A ．202π+
B ．20π+
C ．202π-
D ．20π-
7.（2017·陕西省质检）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若32110S a a =+，59a =，则1a =
（ ） A ．
19 B ．19- C ．13 D ．1
3
- 8.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为（ ）
A ．13
B ．12
C ．11.52
D ．
100
9
9.已知ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ） A ．
4π B ．14π- C ．8
π
D ．18π-
10.若函数32
1()1232b f x x x bx ⎛⎫=
-++ ⎪⎝⎭
在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ） A ．423b -
B ．3223b -
C ．0
D ．2
316
b b - 11.（2017·保定市一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()(1)f x x x =-，若数列{}n a 满足11
2
a =
，且111n n a a +=-，则11()f a =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．6
D ．-6
12.（2017·海口市调研）在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：22
221(0)
y x a b a b
+=>>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若
,64
ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）
A ．⎛ ⎝⎦
B ．⎛ ⎝⎦
C ．⎣⎦
D ．⎣⎦ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13.已知cos sin 6παα⎛⎫
-
+= ⎪⎝
⎭7sin 6πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值是 ． 14.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且132
a =
，122n
n n a S +=-，则8a = ．
15.已知向量(1,3)a =，2
(0,1)b t =+，则当[2]t ∈时，b a t
b
-的取值范围
是 ．
16.设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x R ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知A 、B 、C 、D 为同一平面上的四个点，且满足2AB =，1BC CD DA ===，设
BAD θ∠=，ABD ∆的面积为S ，BCD ∆的面积为T .
（1）当3
πθ=
时，求T 的值；
（2）当S T =时，求cos θ的值.
18.（2017·成都市二诊）在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱与底面垂直，90CAB ∠=，且1AC =，2AB =，E 为1BB 的中点，M 为AC 上一点，2
3
AM AC =
.
（1）若三棱锥11A C ME -的体积为2
6
，求1AA 的长； （2）证明：1//CB 平面1A EM .
19.（2017·唐山市二模）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数
(010)x x <≤与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
使用年数 2 4 6 8 10 售价
16
13
9.5
7
4.5
（1）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：1
2
21
1
n
i i
i n
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-.）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为2
0.05 1.7517.2w x x =-+万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？
20.已知椭圆E ：22
12
x y +=的右焦点为F ，过F 作互相垂直的两条直线分别与E 相交于A ，
C 和B ，
D 四点.
（1）四边形ABCD 能否成为平行四边形，请说明理由； （2）求AC BD +的最小值.
21.（2017·青岛市一模）已知函数()sin f x x ax =-. （1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （3） 求证：1111ln(1)1231n n n
+<+
++⋅⋅⋅++-*()n N ∈.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：
24cos 30ρρθ-+=，[0,2]θπ∈，曲线2C ：34sin 6ρπ
θ=
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，[0,2]θπ∈.
（1）求曲线1C 的一个参数方程；
（2）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点，求AB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1
()12
f x x a x =-++的最小值为2. （1）求实数a 的值；
（2）若0a >，求不等式()4f x ≤的解集.
普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（五）文科数学
一、选择题
1-5: BACCC 6-10: BADBA 11、12：CA 二、填空题
13. 4
5
-
14. -601 15. 16. [1,)-+∞ 三、解答题
17.解析：（1）在ABD ∆中，由余弦定理，得
2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅221
1221232
=+-⨯⨯⨯
=，所以BD =
在BCD ∆中，由余弦定理，得222cos 2BC CD BD BCD BC CD
+-∠=
⋅222
1112112+-==-⨯⨯， ∴120BCD ∠=，
∴1
sin 2
T BC CD BCD =
⋅∠111224=⨯⨯⨯
=. （2）1
sin sin 2
S AD AB BAD θ=
⋅∠=， 2222cos BD AD AB AD AB θ=+-⋅54cos θ=-， 222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅4cos 3
2
θ-=
， 11
sin sin 22
T BC CD BCD BCD =
⋅∠=∠， 因为S T =，所以1
sin sin 2BCD θ=∠，
所以2
2
2
4sin sin 1cos BCD BCD θ=∠=-∠2
4cos 312θ-⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，解得7cos 8θ=. 18.解析：（1）设1AA h =， ∵1111A C AE E A C M V V --=，1111122
A C M h
S AC h ∆=⋅⋅=， 三棱锥11E A C M -的高为2，
∴1112326
E A C M h V -=
⨯⨯=，
解得
2 2
h=，即
1
2
2
AA=.
（2）如图，连接
1
AB交
1
A E于F，连接MF.
∵E为1
BB的中点，∴
1
2
3
AF AB
=，
又
2
3
AM AC
=，∴
1
//
MF CB，
而MF⊂平面1A EM，1
CB⊂平面
1
A EM，
∴
1
//
CB平面
1
A EM.
19.解析：（1）由已知：6
x=，10
y=，
5
1
242
i i
i
x y
=
=
∑，52
1
220
i
i
x
=
=
∑，
1
2
2
1
1
1.45
n
i i
i
n
i
x y nx y
b
x nx
=
=
-
==-
-
∑
∑
，18.7
a y bx
=-=；
所以回归直线的方程为 1.4518.7
y x
=-+.
（2）2
1.4518.7(0.05 1.75
z y w x x x
=-=-+--
2
17.2)0.050.3 1.5
x x
+=-++
2
0.05(3) 1.95
x
=--+，
所以预测当3
x=时，销售利润z取得最大值.
20.解析：设点
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y，
（1）若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，
∴AC与BD在点F处互相平分，又F的坐标为(1,0)，
∴120y y +=，由椭圆的对称性知AC 垂直于x 轴，则BD 垂直于y 轴， 显然这时ABCD 不是平行四边形， ∴四边形ABCD 不可能成为平行四边形.
（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的方程为(1)y k x =-，(0)k ≠，
由22
(1)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2222(21)4220k x k x k +-+-=，
∴2122412k x x k +=+，2122
22
12k x x k
-=+，
∴221)21k AC k +=+
，同理得，221)
2k BD k +=+.
∴22
22(1)(21)(2)
k AC BD k k ++=++，
令2
1k t +=
，则22213
AC BD t t +=≥+-，
当直线AC
的斜率不存在时，AC =
BD =，
∴AC BD +=
当直线AC
的斜率为零时，AC =
，BD =
∴AC BD +=
∵3>
，∴AC BD +
的最小值为3
. 21.解析：（1）由()0f x >，得：sin 0x ax ->，
因为01x <<，所以sin x
a x
<
， 令sin ()x g x x =，2
cos sin '()x x x
g x x
-=， 再令()cos sin m x x x x =-，'()cos sin cos sin 0m x x x x x x x =--=-<， 所以()m x 在(0,1)上单调递减，
所以()(0)0m x m <=，
所以'()0g x <，则()g x 在(0,1)上单调递减， 所以()(1)sin1g x g >=，所以sin1a ≤. （2）当1a =时，()sin f x x x =-， ∴()ln 1h x x x =-+，11'()1x
h x x x
-=-=
， 由'()0h x =，得：1x =，
当(0,1)x ∈时，'()0h x >，()h x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在(1,)+∞上单调递减； ∴max ()(1)0h x h ==.
（3）由（2）可知，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <， 即ln 1x x <-， 令1n x n +=
，则11ln 1n n n n ++<-，即1
ln(1)ln n n n
+-<， 分别令1,2,3,,n n =⋅⋅⋅得，
ln2ln11-<，1ln 3ln 22-<，1ln 4ln 33-<，…，1
ln(1)ln n n n
+-<，
将上述n 个式子相加得：1111
ln(1)1231n n n
+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈.
22.解析：（1）由2
4cos 30ρρθ-+=可知，
22430x y x +-+=.
∴2
2
(2)1x y -+=.
令2cos x α-=，sin y α=，
∴1C 的一个参数方程为2cos sin x y α
α=+⎧⎨
=⎩
（α为参数，R α∈）.
（2）2C ：4sin
cos cos
sin 36
6π
π
ρθθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
，
∴14322x y ⎛⎫-=
⎪ ⎪⎝
⎭
，即230x --=.
∵直线230x --=与圆22
(2)1x y -+=相交于A 、B 两点，
∴圆心到直线的距离14
d =
，
∴2AB ==. 23.解析：（1）当2a ≥-时，
3
1,21
()1,223
1,22x a x a f x x a x a x a x ⎧+-≥⎪⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩
，
∴min ()122
a
f x =+
=，2a =. 当2a ≤-时，3
1,221
()1,223
1,2x a x f x x a a x x a x a ⎧+->-⎪⎪⎪=--≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩
，
∴min ()122
a
f x =-
-=，6a =-， 综上可知2a =或6a =-.
（2）由（1）知，0a >时2a =.不等式()4f x ≤， 即1
2242
x x -+
+≤. 由（1）知3
1,221
()3,2223
1,22x x f x x x x x ⎧->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩
，
由
3142x -=，得103x =；由1
342
x -+=，得2x =-.
∴不等式的解集为
10 2,
3
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.。