2012高一数学模块测试4(人教A版必修3)

必修3综合模块测试（人教A 版必修3）
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．分层抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行( )
A ．每层等可能抽样
B ．每层不等可能抽样
C ．所有层用同一抽样比等可能抽样
D ．所有层抽同样多个体，每层都是等可能抽样 [答案] C
[解析] 由分层抽样的定义可知，选C . 2．下列说法正确的有( )
①随机事件A 的概率是频率的稳定性，频率是概率的近似值． ②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生． ③任意事件A 发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1. ④若事件A 的概率为0，则A 是不可能事件． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C
[解析] 不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概型中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；
抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；
任意事件A 发生的概率P (A )满足0≤P (A )≤1，∴③错误；又①正确．∴选C.
3．如图是计算12＋14＋16＋…＋1
20
的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是
( )
A ．i <10
B ．i>10
C ．i <20
D ．i >20 [答案] B
[解析] 最后一次执行循环体时i 的值为10，又条件不满足时执行循环体，∴i ＝11>10时跳出循环．
4．一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2所得到的一组新数据的方差为( )
[答案] C
5．在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中抽取20个作为样本．
①将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下面说法正确的是( )
A ．不论采用哪一种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都是1
5
B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为1
5，③并非如此
C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为1
5
，②并非如此
D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 [答案] A
[解析] 由于随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是：每个个体被抽到的概率都
相等，所以无论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是1
5
.
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x 5＋4x 4－3x 2＋x －1当x ＝3的值时，先算的是( ) A ．3×3＝9 B ．0.5×35＝121.5 C ．0.5×3＋4＝5.5 D ．(0.5×3＋4)×3＝16.5 [答案] C
[解析] 按递推方法，从里到外先算0.5x ＋4的值． 7．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )
A.19
B.29
C.49
D.89 [答案] D
[解析] 设2个人分别在x 层，y 层离开，则记为(x ，y )基本事件构成集合Ω＝{(2,2)，(2,3)，(2,4)…(2,10)
(3,2)，(3,3)，(3,4)…(3,10) ⋮
(10,2)，(10,3)，(10,4)…(10,10)}，
所以除了(2,2)，(3,3)，(4,4)，…，(10,10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P ＝9×9－99×9
＝89.
解法2：其中一个人在某一层离开，考虑另一个人，也在这一层离开的概率为1
9
，故不
在这一层离开的概率为8
9
.
8．下列程序计算的数学式是( )
[答案] C
[解析]本题是一个递推累加问题，由T＝T*i经过循环依次得到1！，2！，3！，…，n！，由s＝s＋1/T实现累加．故选C.
[答案] C
10．下面一段程序的目的是()
[答案] B
[解析] 程序中，当m ≠n 时总是用较大的数减去较小的数，直到相等时跳出循环，显然是“更相减损术”．
11．在所有两位数(10～99)中任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( ) A.56 B.45 C.23 D.12 [答案] C
12．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素α，则函数y ＝x α x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )
A.37
B.45
C.35
D.34 [答案] C
[解析] 当x 依次取值－3，－2，－1,0,1,2,3时，对应的y 的值依次为：3,0，－1,0,3,8,15， ∴集合A ＝{－1,0,3,8,15}，
∵α∈A ，∴使y ＝x α在x ∈[0，＋∞)上为增函数的α的值为3,8,15，故所求概率P ＝3
5
.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知直线l 过点(－1,0)，l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝3相交于A 、B 两点，则弦长|AB |≥2的概率为________．
[答案] 3
3
[解析] 设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入(x －1)2＋y 2＝3中得，(k 2＋1)x 2＋2(k 2－1)x ＋k 2
－1＝0，∵l 与⊙C 相交于A 、B 两点，∴Δ＝4(k 2－1)2－4(k 2＋1)(k 2－2)>0，∴k 2<3，∴－3<k <3，
又当弦长|AB |≥2时，
∵圆半径r ＝3，∴圆心到直线的距离d ≤2，
即|2k |1＋k
2≤2，∴k 2≤1，∴－1≤k ≤1.
由几何概型知，事件M ：“直线l 与圆C 相交弦长|AB |≥2”的概率P (M )＝1－(－1)3－(－3)
＝
33
. 14．把七进制数305(7)化为五进制数，则305(7)＝______(5)． [答案] 1102
[解析] ∵305(7)＝3×72＋5＝152，
又152＝30×5＋2,30＝6×5＋0,6＝1×5＋1,1＝0×5＋1，∴152＝1102(5)，即305(7)＝1102(5)．
15．若以连续掷两次骰子得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16外的概率是________．
[答案] 7
9
[解析] 基本事件组成集合Ω＝{(m ，n )|1≤m ≤6,1≤n ≤6，m ，n ∈N }中共36个元素． 事件A ＝“点P (m ，n )落在圆x 2＋y 2＝16外”的对立事件中含有基本事件(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个，
∴P (A )＝1－836＝7
9
.
16．在半径为1的圆周上有一定点A ，以A 为端点任作一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，则弦长超过1的概率为________．
[答案] 2
3
[解析] 如图，作半径为1的圆的内接正六边形ABCDEF ，则其边长为AB ＝AF ＝1，当另一端点落在
上时，弦长小于1，当另一端点落在上时，弦长大于1，由几何概
型定义可知，概率P ＝2
3
.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(08·广东文)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
(1)求x 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245，z ≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
[解析] (1)∵x
2000
＝0.19，∴x ＝380.
(2)初三年级人数为y ＋z ＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：48
2000
×500
＝12名．
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生、男生数记为(y ，z )， 由(2)知y ＋z ＝500，且y 、z ∈N ，
基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)，…，(255,245)共11个，
事件A 包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个，
∴P (A )＝5
11
.
18．(本题满分12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
[分析] 对于(1)可利用各组的频率和等于1，从而可求第四小组的频率；而(2)则是利用组中值求平均分；(3)利用古典概型的概率公式可求其概率．
[解析] (1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f 4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.03.
其频率分布直方图如图所示．
(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75.
所以，估计这次考试的合格率是75%.
利用组中值估算这次考试的平均分，可得： 45·f 1＋55·f 2＋65·f 3＋75·f 4＋85·f 5＋95·f 6
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 所以估计这次考试的平均分是71分．
(3)[40,50)与[90.100]的人数分别是6和3，所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选两人，将[40,50]分数段的6人编号为A 1，A 2，…A 6，将[90,100]分数段的3人编号为B 1，B 2，B 3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，A 3)…(A 1，A 6)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，…，(B 2，B 3)}共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)…(A 1，A 6)，(A 2，A 3)…(A 5，A 6)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，
(B 2，B 3)共18个，故概率P ＝1836＝1
2
.
19．(本题满分12分)有人提出如下的圆周率的近似算法：在右图的单位正方形内均匀地取n 个点P i (x i ，y i )(i ∈{1,2，…，n })，然后统计出以x i 、y i 、1为边长的三角形中锐角三角
形的个数m ，则当n 充分大时，π≈4(n －m )
n
，试分析这种算法是否正确．
[解析] 根据题中提出的算法， 有0<x i <1,0<y i <1，所以以x i ，y i,1为边长的三角形中，长为1的边所对的角A 为最大角，当且仅当0°<A <90°时，以x i ，y i,1为边长的三角形为锐角
三角形，x 2i ＋y 2
i >1，此时点P 在以O 为圆心，1为半径的圆的外部，即图中阴影部分．所以在图中的单位正方形内任意取一点P i ，满足以x i ，y i,1为边长的三角形为锐角三角形的概率
为P ＝阴影部分的面积/单位正方形的面积＝1－π4，当n 充分大时，m n ≈P ＝1－π
4
，
∴π≈4⎝⎛⎭⎫1－m n ＝4(n －m )n
，所以题中给出的圆周率的近似算法是正确的． 20．(本题满分12分)编写程序求1～1000的所有不能被3整除的整数之和． [解析] S ＝0 i ＝1
WHILE i <＝1000 r ＝i MOD 3
IF r <>0 THEN S ＝S ＋i END IF i ＝i ＋1 WEND PRINT S END
21．(本题满分12分)一次掷两粒骰子，得到的点数为m 和n ，求关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0有实数根的概率．
[解析] 基本事件共36个，
∵方程有实根，∴Δ＝(m ＋n )2－16≥0， 又∵m ，n ∈N ，∴m ＋n ≥4，
其对立事件是m ＋n <4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件，
∴所求概率为P ＝1－336＝11
12
.
22．(本题满分14分)某化工厂的原料中含有两种有效成份A 和B .测得原料中A 和B 的
(1)作出散点图；
(2)求出回归直线方程：y ^
＝ax ＋b ；
(3)计算回归直线y ^＝ax ＋b 对应的Q ＝∑i ＝1
10
[y i －(ax i ＋b )]2，并和另一条直线y ^
＝a ′x ＋
b ′(a ′＝2a ，b ′＝2b )对应的Q ′＝∑i ＝1
10
[y i －(a ′x i ＋b ′)]2比较大小．
(可使用计算器)
[解析] (1)散点图见下图
(2)把数据代入公式，计算可知，x －＝17.4，y －
＝49.9，
∑
i ＝110
x 2
i ＝3182，∑
i ＝1
10
x i y i ＝9228， b ＝
∑i ＝1
10
x i y i －10x －y
－
∑i ＝1
10
x 2i －10x －
2
＝
9228－8682.6
3182－3027.6
≈3.5324，
a ＝y －－
b x －
≈－11.5635，
回归线方程为y ^
＝3.5324x －11.5635.
(3)经计算：Q ＝∑i ＝110
[y i －(ax i ＋b )]2＝353.8593，
Q ′＝∑i ＝1
10
[y i －(2ax i ＋2b )]2＝27175.6120，
∴Q <Q ′.。