2021年人大附中4月份零模初三年级数学练习及参考答案

2020－2021人大附中零模
数学试卷
2021.4.7
考试时间：120分钟满分：100分
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1.2017年6月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，希望通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（）
2.近年来，数字技术推动数字贸易兴起，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200000000000元的经济效益.将3200000000000用科学记数法表示应为（）
(A)3.2×1011(B)0.32×1013(C)3.2×1012(D)32×1012
3.随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（）
(A)
(B)(C)(D)14.如图，数轴上A 、B 两点对应的数分别是a 和b.对于以下四个式子：①2a －b ；②a ＋b ；③|b|－|a|；④,其中值为负数的是（
）
(A)①②(B)②④(C)①③(D)③④5.从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2.从正面看图2的
几何体，得到的平面图形是（）6.如果a ＋b ＝﹣，那么代数式(－a)·K 的值为（
）
(A)﹣(B)(C)3(D)2(A)(B)(C)(D)
·····30﹣3b a (A)(B)(C)
(D)图1图2
7.将一个边长为4cm 的正方形与一个长，宽分别为8cm ，2cm 的矩形重叠在一起，下列四个图形中，重叠部分面积最大的是（）
8.为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座.例如图中第一列所示情况就不满足条件(其中“√”表示就座人员).根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（）
(A)12(B)11(C)10(D)9
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9.若代数式有意义，则x 的取值范围是.10.
O 内一点，请11.12.方程组B +−B 13.如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴正方向建立直角坐标系.规定：一个单位长度表示1km ，北京生存岛实践基地A 处的坐标是(2,0)，A 处到雁栖湖国际会展屮心B 处相距4km ，且A 在B 南偏西45°方向上，则雁栖湖国际会展中心B 处的坐标是.
14.如图，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形围成的，若CF ＝5，AB ＝13，
则EF 的长为.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中甲校男生成绩
(A)(B)(C)
A
B 第10题第14题
雁栖湖国际会展中心北京生存岛实践基地
A E
F
B C
D
的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.
对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中所有正确结论的序号是.
16.如图，扇形AOB 的圆心角为60°，半径为2，C 为弧AB 上一动点，过点C 作CD ⊥AB 于D 点，连接OC ，则△COD 面积的最大值为.
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每题5分，第23－24题每题6分，第25题5分，第26－28题每题7分）
17.计算：()−－2＋(5－π)0＋6tan60°18.解不等式组B −<o +p r ≤B
19.如图，点F 、G 分别在△ADE 的AD 、DE 边上，C 、B 依次为GF 延长线上
O D B
C
A
两点，AB ＝AD ，∠BAF ＝∠CAE ，∠B ＝∠D.
（1）求证：BC ＝DE ；
（2）若∠B ＝35°，∠AFB ＝78°，直接写出∠DGB 的度数.20.已知x 2＋2x －4＝0，求代数式x (x －2)2―x 2(x －6)―3的值.
21.己知关于x 的一元二次方程x 2＋7x ＋11－m ＝0有实数根.
（1）求m 的取值范围；
（2）当m 为负整数时，求方程的两个根.
22.如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条射线，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∠ABD ＝90°，E 为AD 的中点，连接BE.
（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分∠BAD ，BC ＝1，求AC 的长.
A C
F E D
B G
A E
B
C D
23.在平面直角坐标系x Oy中，对于函数y＝（x＞0），它的图象是双曲线在第
一象限的部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、
曲线下方和曲线上.
（1）对于函数y＝（x＞0）的图象而言，
①点P(3,1)在(填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”)；
②横、纵坐标满足不等式y＝的点在(填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”)；
（2）已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组><+的所有点组成的区域
记为W.
①当m＝1时，请在图2中画出区域形W(用阴影部分标示)；
②若A(1,2)，B(2,4)两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围.
曲线上方
曲线上
曲线下方
图1图2
24.树叶有关的问题
如图，一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度（不含叶柄），树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度，树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值.
小何在校园内随机收集了A 树、B 树、C 树三棵的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y(单位：mm )，宽x (单位：mm )的数据，计算长宽比，整理如下：
表1A 树、B 树、C 树树叶的长宽比统计表
12345678910A 树树叶长宽比 4.0 4.9 5.2 4.1 5.78.57.9 6.37.77.9B 树树叶长宽比 2.5 2.4 2.2 2.3 2.0 1.9 2.3 2.0 1.9 2.0C 树树叶长宽比 1.1 1.2 1.20.9 1.0 1.0 1.10.9 1.0 1.3
表2A 树、B 树、C 树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表
平均数中位数众数方差
A 树树叶的长宽比 6.2 6.07.9 2.5
B 树树叶的长宽比 2.2m n 0.38
C 树树叶的长宽比 1.1 1.1 1.00.02
A 树、
B 树、
C 树树叶的长随宽变化的情况
解决下列问题：
（1）写出表2中m 、n 的值；
①小军同学说：“根据以上信息，我能判断C 树树叶的长、宽近似相等.”
②小华同学说：“从树叶的长宽比的平均数来看，我认为，下图的树叶是B 树的树叶.”
请分别判断上面两位同学的说法是否合理，并给出你的理由；
现有一片长103mm ，宽52mm 的树叶，请在图1中用“★”表示该树叶的点，判断这片树叶更可能来自于A 、B 、C 中的哪棵树？并给出你的理由.
图1
25.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H 点，E 为弧BC 上一点，过点E 作⊙O 的切线，分别交DC 、AB 的延长线于点F 、G ，连接AE ，交CD 于点P.
（1）求证：EF ＝FP ；
（2）连接AD ，若AD ∥FG ，CD ＝8，cosF ＝
，求EG 的长.26.在平面直角坐标系x Oy 中，二次函数y=﹣x 2＋2mx ＋4－m 2的图象与x 轴交于
A 、
B 两点(点A 在点B 的左侧).(1)若点B 的坐标为(3,0)，
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围是﹣n －1≤y ≤3，求n 的值；
（2）将该二次函数图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当﹣2≤x ≤﹣1时，这个新函数的函数值y 随x 的增大而增大，结合函数图象，求m 的取值范围.
A
D H
E
F G
B
P
C O
·
27.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 、E 分别是射线CA 、射线BC 上的动点，且满足AD ＝CE ，连接DE ，过点C 作DE 的垂线，垂足为F ，CF 交射线AB 于点G.
（1）如图1，当点D 、E 分别为线段AC 、BC 中点时，求证：DE ＝CG ；
（2）如图2，当点D 、E 分别在线段AC 与BC 上运动时，用等式表示线段AG 与BE 的数量关系，并证明；
（3）如图3，已知AC ＝2，当点D 、E 分别在线段CA 与BC 上运动时，若DF ＝4EF ，直接写出此时线段CG 的长.
C
F E D
A B G
图1
图2图3
A C
E F
D
B G
C B
A
28.在平面直角坐标系x Oy中，对于已知的点C和图形W，给出如下定义：
若存在过点C的直线，使之与图形W有两个公共点P、Q，且C、P、Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”.
（1）已知点A(0,2)，B(4,0)，线段OA与线段OB组成的图形记为W；
①点C1(1,1)，C2(3,1)，C3(﹣3,2)中，图形W的“相合点”是；
②点M在直线y=﹣x＋2上，且点M为图形W的“相合点”，
求点M的横坐标m的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，直线y＝﹣x＋3－r与x轴、y轴分别交于点E、F，若在线段EF上存在⊙O外的一点P，使得点P为⊙O的“相合点”，直接写出r的取值范围.
2020-2021学年度第二学期初三年级数学练习2
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题2分，共16分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．0x ≥；
10．（0，0）； （答案不唯一，横纵坐标平方和小于25即可）
11．12；
12．23x y =⎧⎨=-⎩
；
13．(2+；
14． 15．②③ ；（对一个得1分，有错不得分） 16．1
三、解答题（共68分，过程与标准答案不同，但合理，即可给分,卷面书写过于混乱的，可
在下发答题卡后，在总分里追加．．
扣1-5分卷面分） 17．解：原式 = 41-+ ………… 4分 = 5+
………… 5分
18．解：原不等式组为523(2)52.3
x x x x -<+⎧⎪
⎨+≤⎪⎩， ①②
由①得4x <，
………… 2分
由②得1x ≥， ………… 4分 ∴ 不等式组的解集为14x ≤<. ………… 5分
19．（1）证明：∵ ∠BAF =∠CAE ，
∴ BAF CAF CAE CAF ∠-∠=∠-∠
∴ ∠BAC =∠DAE . ………… 1分
在△ABC 和△ADE 中
BAC DAE
AB AD
B D ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ △ABC ≌△ADE . ………… 3分 ∴ BC=DE. ………… 4分 （2）67° ………… 5分
D
B
20．解：原式(
)
23
2=4463x x x x x -+-+- ………… 2分
32324463x x x x x =-+-+-
2243x x =+- ………… 3分
∵2240x x +-=，∴224x x += ………… 4分
原式()
2223x x =+-
2435=⨯-= ………… 5分
21．（1）∵ 一元二次方程有实根，
∴()49411540m m ∆=--=+≥ ………… 1分 解得5
4
m ≥-
； ………… 2分 （2）∵ 5
4
m ≥-且m 为负整数，
∴ 1m =-； ………… 3分 此时方程为27120x x ++= ………… 4分
解得123,4x x =-=-. ………… 5分
22．（1）证明：∵ AD=2BC ，E 为AD 的中点， ∴ BC =ED . ∵ AD ∥BC
∴ 四边形BCDE 为平行四边形. ………… 1分 ∵ ∠ABD=90°，E 为AD 的中点， ∴ 1
2
BE AD ED ==. 平行四边形BCDE 为菱形； ………… 2分
（2）解：如图，连接CE ，设AC 与BE 交于M . 与（1）同理可证四边形ABCE 为平行四边形. ∵ AC 平分∠BAD ， ∴∠1=∠2. ∵ AD ∥BC ， ∴∠2=∠3. ∴ ∠1=∠3.
∴ AB=BC . ………… 3分
∴ 平行四边形ABCE 为菱形；
∴ AC ⊥BE ，AC =2MC ，BC =EC .
在菱形BCDE 中，BC =BE .
∴ BC =BE =EC ，∴ △BCE 为等边三角形. ∴ 1
3302
BCE ∠=
∠=︒. ………… 4分 在Rt △BMC 中，BC =1 c o s 32
M C B C =⋅∠=
.
∴AC =. ………… 5分
23．（1）① 曲线上方 ………… 1分
② 曲线下方 ………… 2分 （2）① 如下图 ………… 3分
② 182m m <<≠且. ………… 6分
24．（1） 2.1,
2.0m n ==. ………… 2分
（2）① 合理，理由合理即可. ………… 3分 ② 不合理，理由合理即可. ………… 4分 （3）
… …… 5分
来自B 树，理由合理即可 ………… 6分
树叶长/mm 树叶宽/mm
25．（1）证明：连接OE，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF. ………… 1分
∴∠OEF=90°.
∴∠OEA+∠AEF=90°.
∵CD⊥AB于H，
∴∠AHC=90°.
∴∠OAE+∠APH=90°.
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA.
∴∠AEF=∠APH. ………… 2分
∵∠APH=∠EPF，
∴∠EPF=∠AEF
∴EF=PF. ………… 3分（2）解：连接OD，设⊙O的半径为r，
∵直径AB⊥CD于H，CD=8
∴
CH
=DH=4．
∵AD∥FG，
∴∠D=∠F.
∴
4
cos cos
5
D F
==.
∴5
cos
CH
AD
D
==. …………4分∴3
AH==.
∴3
OH OA
=-.
∵在Rt△222
DH OD
+=，
∴()222
34
r r
-+=.
∴
25
6
OE r
==. …………5分∵∠F+∠G=90°，∠G＋∠GOE=90°，
∴∠GOE=∠F.
∴
4
cos
5
GOE
∠=.
∴
3
tan
4
GOE
∠=．
∴
25
tan
8
EG OE GOE
=⋅∠=. …………6分
F
26．（1）① 二次函数为()2
4y x m =--+，对称轴为x m =.
令3x =有：()2
340m --+=，解得：1m =或5m =. ………… 1分 ∵ B （3，0）为该二次函数图象与x 轴靠右侧的交点， ∴ 点B 在对称轴右侧， ∴3m <，故1m =.
∴ 二次函数解析式为223y x x =-++.（()2
14y x =--+亦可） ………… 2分 ② 由于二次函数开口向下，且对称轴为1x =. ∴ 2x n ≤≤时，函数值y 随x 的增大而减小；
∴ 当2x =时，函数取得最大值3；
当x n =时，函数取得最小值2231n n n -++=--， ………… 3分 ∴ 在2n >范围内解得4n =. ………… 4分
（2）令0y =，得()2
40x m --+=，解得12x m =-，22x m =+，
将函数图象在x 轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为： 当2x m ≤-时，y 随x 的增大而增大， 当2m x m -≤≤时，y 随x 的增大而减小，
当2m x m ≤≤+时，y 随x 的增大而增大， 当2x m ≥+时，y 随x 的增大而减小.
因此，若当21x -≤≤-时，y 随的增大而增大，结合图象有： ①12m -≤-，即1m ≥时符合题意；
②2m ≤-且12m -≤+，即32m -≤≤-时符合题意.
综上，m 的取值范围是32m -≤≤-或1m ≥. ………… 7分
27．（1）证明：
∵ 点D ，E 分别为AC ，BC 中点，
∴ 1
2
DE AB =
且DE ∥AB . ………… 1分 ∵ CG ⊥DE ， ∴ CG ⊥AB .
∵ AC =BC ，∠ACB =90°， ∴ 由三线合一，G 为AB 中点， ∴ 1
2
CG AB =
． ∴ CG =DE ． ………… 2分
证明：过点D 作AC 的垂线，交AB 于点H ，连接CH ． ∵ AC =BC ，∠ACB =90°， ∴ ∠A =∠B =45°. ∵ AD ⊥DH ， ∴ ∠ADH =90°. ∴ ∠AHD =45°=∠A . ∴ DH =AD . ∵ AD =CE ， ∴ DH =CE .
∵ CD =CD ，∠ACB =∠CDH =90°，
∴ △DCE ≌△CDH . ………… 4分 ∴ ∠DCH =∠CDE . ∵ CG ⊥DE ， ∴ ∠CFE =90°. ∴ ∠BCG +∠CED =90°. ∵ ∠CDE +∠CED =90°， ∴ ∠BCG =∠CDE . ∴ ∠DCH =∠BCG
. ∴ △ACH
≌△BCG . ∴ AH =BG .
∵BG AH ==
=
，AB
=
∴AG AB BG =-==.
………… 6分 （3） ………… 7分 28．（1
1，3C . ………… 2分 ② 解：研究图形W 的“相合点”的分布情况：
a) 在第一象限内，图形W 的“相合点”为以（0，0），（2，1）为对角顶点的各边与
坐标轴垂直的矩形及其内部区域；
b) 在第二象限内，图形W 的“相合点”为以（0，0），（4-，4）为对角顶点的各边
与坐标轴垂直的矩形及其内部区域；
c) 在第四象限内，图形W 的“相合点”为以（0，0），（8，2-）为对角顶点的各边
与坐标轴垂直的矩形及其内部区域；
结合图形，直线2y x =-+上图形W 的“相合点”M 的横坐标取值范围是
20m -≤≤或14m ≤≤. ………… 5分
（2）
39112r -≤<
或92
r +>. ………… 7分 G
H
A
B。