2020高考二轮专题检测(十一) 空间位置关系的判断与证明大题专练

专题检测（十一）空间位置关系的判断与证明
1.(2019·兰州市诊断考试)如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD＝30°，AD＝4，AB＝23，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点.
(1)证明：BE⊥PC；
(2)求多面体P ABED的体积.
2.(2019·昆明市诊断测试)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD ⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝62，E是棱PC上的一点.
(1)证明：BC⊥平面PBD；
(2)若P A∥平面BDE，求PE
PC的值；
(3)在(2)的条件下，三棱锥P­BDE的体积是18，求点D到平面P AB的距离.
3.(2019·郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱
形，∠BAD ＝π3
，△P AD 是等边三角形，F 为AD 的中点，PD ⊥BF . (1)求证：AD ⊥PB .
(2)若E 在线段BC 上，且EC ＝14
BC ，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求出三棱锥D ­CEG 的体积；若不存在，请说明理由.
4.(2019·东北四市联合体模拟一)如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 的中点，将△ADE 沿AE 折到△APE 的位置.
(1)证明：AE ⊥PB ；
(2)当四棱锥P ­ABCE 的体积最大时，求点C 到平面P AB 的距离.
参考答案
1.解析：(1)证明：∵BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝4，∴BD ＝2，
∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB ⊥BD ，∴BD ⊥CD .
∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，
∴BD ⊥平面PCD ，∴BD ⊥PC .
∵△PCD 为正三角形，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ，
∴PC ⊥平面BDE ，∴BE ⊥PC .
(2)如图，
作PF ⊥CD ，EG ⊥CD ，F ，G 为垂足，
∵平面PCD ⊥平面ABCD ，
∴PF ⊥平面ABCD ，EG ⊥平面ABCD ，
∵△PCD 为正三角形，CD ＝23，
∴PF ＝3，EG ＝32
， ∴V 四棱锥P ­ABCD ＝13
×2×23×3＝43， V 三棱锥E ­BCD ＝13×12×2×23×32＝3， ∴多面体P ABED 的体积V ＝43－3＝3 3.
2.解析：(1)证明：由已知条件可知AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD .
因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD .
又PD ∩BD ＝D ，所以AD ⊥平面PBD .
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BC ∥AD ，
所以BC ⊥平面PBD .
(2)如图，
连接AC 交BD 于F ，连接EF ，
则EF 是平面P AC 与平面BDE 的交线.
因为P A ∥平面BDE ，所以P A ∥EF .
因为F 是AC 的中点，所以E 是PC 的中点，
所以PE PC ＝12
. (3)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥BD ，由(1)(2)知点E 到平面PBD 的距离等于12
BC ＝3. 因为V 三棱锥E ­PBD ＝V 三棱锥P ­BDE ＝18，
所以13×12
×PD ×BD ×3＝18，即PD ＝6. 又AD ＝BD ＝6，
所以P A ＝62，PB ＝62，又AB ＝62，所以△P AB 是等边三角形，则S △P AB ＝18 3. 设点D 到平面P AB 的距离为d ，因为V 三棱锥D ­P AB ＝V 三棱锥P ­ABD ，
所以13×183×d ＝13×12
×6×6×6，解得d ＝2 3. 所以点D 到平面P AB 的距离为2 3.
3.解析：(1)证明：连接PF ，∵△P AD 是等边三角形，∴PF ⊥AD .
∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝π3
，∴BF ⊥AD . 又PF ∩BF ＝F ，∴AD ⊥平面BFP ，又PB ⊂平面BFP ，∴AD ⊥PB .
(2)能在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD .
由(1)知AD ⊥BF ，∵PD ⊥BF ，AD ∩PD ＝D ，∴BF ⊥平面P AD .
又BF ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD ，
又平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，且PF ⊥AD ，
∴PF ⊥平面ABCD .
连接CF 交DE 于点H ，过H 作HG ∥PF 交PC 于G ，
∴GH ⊥平面ABCD .
又GH ⊂平面DEG ，∴平面DEG ⊥平面ABCD .
∵AD ∥BC ，∴△DFH ∽△ECH ，∴CH HF ＝CE DF ＝12
， ∴CG GP ＝CH HF ＝12
， ∴GH ＝13PF ＝33
，
∴V D ­CEG ＝V G ­CDE ＝13
S △CDE ·GH ＝13×12DC ·CE ·sin π3·GH ＝112
. 4.解析：(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，
∵AB ∥CE ，AB ＝CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形，
∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形，
∴在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝π3
，BD ⊥BC ， ∴BD ⊥AE .
如图，翻折后可得，OP ⊥AE ，OB ⊥AE ， 又OP ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP ∩OB ＝O ，
∴AE ⊥平面POB ，
∵PB ⊂平面POB ，∴AE ⊥PB .
(2)当四棱锥P ­ABCE 的体积最大时，平面P AE ⊥平面ABCE .
又平面P AE ∩平面ABCE ＝AE ，PO ⊂平面P AE ，PO ⊥AE ，∴OP ⊥平面ABCE . ∵OP ＝OB ＝32，∴PB ＝62
，∵AP ＝AB ＝1， ∴S △P AB ＝12×62× 1－⎝⎛⎭⎫12×622＝158， 连接AC ，则V P ­ABC ＝13OP ·S △ABC ＝13×32×34＝18
， 设点C 到平面P AB 的距离为d ，
∵V P ­ABC ＝V C ­P AB ＝13
S △P AB ·d ， ∴d ＝3V P ­ABC S △P AB ＝3
815
8
＝155.。