2015届高考人教版数学大一轮复习精讲课件：第2章 第12节 定积分与微积分基本定理

1 0
－x2＋2xdx＝________.
思 该式的几何意 考 义是什么？
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第十二页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[解析] (1)由 y＝ x及 y＝x－2 可得，x＝4，即两曲线交于
点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由 y＝ x及 y＝x－2 及 y 轴
(t的单位：
s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离
(单位：m)是 想 定积分的物理意义是
一 什么？
A．1＋25ln 5想
B．8＋25ln131
()
C．4＋25ln 5
D．4＋50ln 2
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第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
＝23x
3 2
＋16x2|01＋2x－13x2|13＝23＋16＋43＝163.
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第十七页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[典例] (2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由
于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋
25 1＋t
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第十六页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[针对训练] 求曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积．
解：由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1,1)．
y＝2－x，
由y＝－13x
得交点 B(3，－1)．
1
故所求面积 S＝0
x＋13xdx＋132－x＋13xdx
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[类题通法]
定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度
b
为 v＝v(t)，那么从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝av(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相
b
同方向从 x＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝aF(x)dx.
3．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意： 面积非负，而定积分的结果可以为负．
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第四页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[试一试]
1．(2013·湖南高考)若
T 0
x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：∵
T 0
x2dx＝13T3＝9，T>0，∴T＝3.
12x－1xdx；
π
2
(3)
(sin x－cos x)dx；(4)
|1－x|dx.
0
0
3
解：(1) -1(3x2－2x＋1)dx
＝(x3－x2＋x)|－3 1＝24.
(2) 12x－1xdx＝12x2－ln x|21＝32－ln 2.
π
π
π
(3)0(sin x－cos x)dx＝0sin xdx－0cos xdx＝
解析：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10
所做的功为
10
10
W＝1 F(x)dx＝1 (x2＋1)dx
＝13x3＋x |110＝342(J)． 答案：342
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第二十一页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[课堂练通考点]
D．2
解析：03f(x)dx＝03(ax2＋b)dx＝13ax3＋bx|30＝9a＋3b，
∴9a＋3b＝3(ax02＋b)，
即x02＝3，x0＝± 3，故选C .
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第八页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
2．计算下列定积分：
(1)
3
-1(3x2－2x＋1)dx；(2)
(－cos x) |0π－sin x |π0＝2.
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第九页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
2
1
2
(4)0|1－x|dx＝0(1－x)dx＋1(x－1)dx
＝x－12x2 |10＋12x2－x |21
＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1.
求定积分的两种基本方法 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：
①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；
②计算 F(b)－F(a)． (2)利用定积分的几何意义求定积分：
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
1
如：定积
分
0
1－x2dx
的几何意
义
是求单位
圆
面积的14
，
所
以
1
0
1－x2dx＝π4.
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第六页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[练一练]
1
2
2
若 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝________.
0
0
1
2
1
2
解析：∵ f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx，
0
0
1
2
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第二十页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[针对训练] 设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x＝1 运动到
x＝10，已知 F(x)＝x2＋1 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)
对质点 M 所做的功为______ J(x 的单位：m，力的单位：N)．
1．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a，a]
a
a
上的定积分为
f(x)dx，由定积分的几何意义和性质，得
-a
-a
f(x)dx可表示为
()
a
A．－ f(x)dx -a
1 C.2
a
0f(x)dx
0
B．2 f(x)dx -a 0 D.-af(x)dx
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第二十二页，编辑于星期五：九点 五十八分。
A．3
B．4
7
9
C.2
D.2
解析：f(x)＝2－|x|＝22－ ＋xxxx≥<00，，
2
0
2
∴
f(x)dx＝
(2＋x)dx＋ (2－x)dx
-1
-1
0
＝2x＋x22|0－1＋2x－x22|20＝32＋2＝72.
答案：C
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第二十四页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
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第二页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的那么af(x)dx＝
F(b)－F(a)
，这个结论叫做微积分基本
定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
2．定积分的性质
b
(1)akf(x)dx＝
b
kaf(x)dx
(k 为常数)；
b
(2)a[f1(x)±f2(x)]dx＝
b
b
af1(x)dx±af2(x)dx
；
b
b
c
(3)af(x)dx＝af(x)dx＋
c
f(x)dx
(其中 a<c<b)．
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答案：3 2．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )
1
A．S＝ (x2－x)dx 0 1
C．S＝0(y2－y)dy
1
B．S＝ (x－x2)dx 0 1
D．S＝0(y－ y)dy
答案：B
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第五页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
若将(1)中“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将 “y轴”改为“x轴”，如何求解？
解：如图所示，由 y＝ x及 y＝－x＋2 可得
x＝1.由定积分的几何意义可知，由 y＝ x，y＝
－x＋2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为
2 0
f(x)dx＝
1 0
xdx＋
2 1
(－x＋2)dx＝23x
3 2
3．(2013·北京高考)直线 l 过抛物线 C：x2＝4y 的焦点且与 y 轴垂
直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于
()
4 A.3
B．2
8 C.3
16 2 D. 3
解析：由题意知抛物线的焦点坐标为F(0,1)，故
直线l的方程为y＝1，该直线与抛物线在第一象
限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的
所围成的封闭图形面积为
4 0
(
x－x＋2)dx＝23x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝136.
(2)
1 0
－x2＋2xdx 表示 y＝
－x2＋2x与 x＝0，x＝1 及 y＝
0 所围成的图形的面积．
由 y＝ －x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，
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第十三页，编辑于星期五：九点 五十八分。
几何意义可得所求的面积是2
2
0
1－x42
2x－1x23 |20＝83.
答案：C
dx＝
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第二十五页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
第十二节
定积分与微积分基本定理
1．定积分的概念
在
b
a
f(x)dx中，
a，b
分别叫做积分下限与积分上限，区间
[a，b]叫做积分区间， f(x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量，
f(x)dx 叫做被积式．
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第一页，编辑于星期五：九点 五十八分。
[解析]
由v(t)＝7－3t＋
25 1＋t
＝0，可得t＝4
t＝－83舍去
，
4
因此汽车从刹车到停止一共行驶了4
s，此期间行驶的距离为
0
v(t)dt＝047－3t＋12＋5 tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t|40＝4＋25ln 5.
[答案] C
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第十九页，编辑于星期五：九点 五十八分。
|10＋2x－x22 |21＝76.
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第十五页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[类题通法] 利用定积分求平面图形面积的四个步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、 下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案． 提醒：利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分上限、 下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论．
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
又∵0≤x≤1，
∴y＝ －x2＋2x与 x＝0，x＝1 及 y＝0 所围成的图形为14个
圆，其面积为π4.
∴
1 0
－x2＋2xdx＝π4.
[答案]
(1)C
π (2)4
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第十四页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
2
1
∴1f(x)dx＝0f(x)dx－0f(x)dx＝－1－1＝－2.
答案：－2
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第七页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
1.设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若∫03f(x)dx＝3f(x0)，则x0等于
()
A．±1
B. 2
C．± 3
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)
|
b a
，即
b
a
f(x)dx＝_F_(_x_) _|ba_
＝F(b)－F(a)．
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第三页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
1．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清 谁是被积变量．
2．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下 限．
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第十页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[类题通法]
运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分； (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的 可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求 积分； (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
a
解析：偶函数的图像关于y轴对称，故
-a
f(x)dx对应的几何区
0
域关于y轴对称，因而其可表示为2-af(x)dx，应选B .
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第二十三页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
2
2．(2014·唐山模拟)已知f(x)＝2－|x|，则-1f(x)dx等于( )
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第十一页，编辑于星期五：九点 五十八分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 结束
[典例] (1)(2012·山东高考)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及
y 轴所围成的图形的面积为
10 A. 3
B．4
()
提 解答此类问题 醒 一般先画出图
形分析！
16 C. 3
D．6
(2)