【最新推荐】2019-2020学年人教A版高中数学必修五限时规范训练：第2章 数列 2.2 第2课时 Word版含解析

第二章 2.2第2课时
【基础练习】
1．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()
A．－1 B．1
C．3 D．7
【答案】B
【解析】∵{a n}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33.∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
2．已知等差数列{a n}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()
A．10B．20
C．30D．40
【答案】A
【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.
3．(2019年四川成都期末)等差数列{a n}中，a1＝1，a n＝100(n≥3)．若{a n}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为()
A．3,7,9,15,100B．4,10,12,34,100
C．5,11,16,30,100 D．4,10,13,43,100
【答案】B
【解析】由等差数列的通项公式得公差d ＝a n －a 1n －1＝99
n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n
－1可能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34,100.故选B ．
4．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝( ) A ．20 B ．25 C ．10 D ．15
【答案】D
【解析】由等差数列的性质可得a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15.故选D ． 5．在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________. 【答案】18
【解析】根据等差数列性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11，又a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，∴a 5＋a 8＝18.
6．已知等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x －1＝0的两根，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11
＝________.
【答案】15
【解析】∵a 3＋a 15＝6，又a 7＋a 11＝a 8＋a 10＝2a 9＝a 3＋a 15，∴a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝⎝⎛⎭⎫2＋1
2(a 3＋a 15)＝5
2
×6＝15.
7．已知等差数列{a n }的公差d ＞0且a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求{a n }的通项公式． 【解析】由等差数列的性质，得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝－4， 又a 3a 7＝－12，
∴a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两个根． 又d ＞0，∴a 3＝－6，a 7＝2. ∴a 7－a 3＝4d ＝8，∴d ＝2.
∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋2(n －3)＝2n －12.
8．已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
【解析】设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则
⎩
⎪⎨
⎪⎧
(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，
(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧
2a 2
＋10d 2
＝47，8d 2＝18，解得⎩⎨⎧
a ＝±7
2
，
d ＝±32.
故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
【能力提升】
9．在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．2＋log 25
【答案】B
【解析】∵在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，∴a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6
＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 10)＋(a 2＋a 9)＋(a 3＋a 8)＋(a 4＋a 7)＋(a 5＋a 6)＝5(a 5＋a 6)＝20，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝20.故选B ．
10．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( )
A ．1
2
B ．13
C ．14
D ．16
【答案】A
【解析】令b n ＝1a n ＋1，则b 2＝1a 2＋1＝13，b 6＝1
a 6＋1＝1，由条件知{
b n }是等差数列，∴
2b 4＝b 6＋b 2＝43，b 4＝23.∵b 4＝1a 4＋1
，∴a 4＝1
2.
11．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根
【答案】A
【解析】∵a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，又a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝9，∴a 5＝3.∴方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．
12．(2019年上海模拟)如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，
a2＝a m－1，…，a m＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.
【答案】19
【解析】因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d ＝1＋9×2＝19.又{c n}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
13．在△ABC中，三边a，b，c成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证：△ABC 为正三角形．
【证明】∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b，平方得a＋c＋2ac＝4b.
又a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
∴ac＝b，故(a－c)2＝0.
∴a＝b＝c.故△ABC为正三角形．。