2025届湖南长沙县三中高三第一次调研考试(数学试题文)试卷

2025届湖南长沙县三中高三第一次调研考试（数学试题文）试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240
B ．320
C ．180
D ．120
3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）
A ．CE
B ．CF
C ．CG
D ．1CC
4．若实数x ，y 满足条件250
24001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )
A ．
5
2
B ．1
C ．2
D ．0
52的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43
π
的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）
A ．
21
2 B ．
21
2
C 61
- D 31
-6．在ABC ∆中，30C =︒，2
cos 3
A =-
，152AC =，则AC 边上的高为（ ） A 5 B ．2
C 5
D ．
152
7．已知π3π,22α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15±
B ．15
-
C ．
15
D ．75
-
8．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
ξ
1-
0 1
P
1
(1)3
p - 23
1
3
p 则当p 在(,)34
内增大时，（ ）
A ．()E ξ减小，()D ξ减小
B ．()E ξ减小，()D ξ增大
C ．()E ξ增大，()
D ξ减小
D ．()
E ξ增大，()D ξ增大
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M
点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A 51
B 2
C 3
D 5
11．设函数()()
2
1
ln 11f x x x
=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-
D ．()
()1,00,1-
12． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6, +∞）
D ．[4, +∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值__________．
14．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角的大小为，
则四面体
的外接球的半径为_________.
15．已知tan 3α=，则cos2=α__________．
16．在6
()x a +的展开式中的3x 系数为160，则a =_______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==
150EDC ∠=,将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若直线PC AB 与所成角的正切值为
1
2
，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值.
18．（12分）如图，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，
E F G ，，分别为AC PA PB ，，的中点，且2AC BE =.
（1）求证：PB BC ⊥；
（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点. 19．（12分）已知函数2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，其中a R ∈. （1）函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，求实数a 的值； （2）若函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <. ①求实数a 的取值范围； ②求证：()()12100f x f x ++>.
20．（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线1
2
y x =
上的圆E 与x 轴相切，且E F ，关于点()1
0M -，对称. （1）求E 和Γ的标准方程；
（2）过点M 的直线l 与E 交于A B ，，与Γ交于C D ，，求证：2CD .
21．（12分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为1S 公顷和2S 公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为3S 公顷和4S 公顷.
（1）设BAC θ∠=，用关于θ的函数()S θ表示1234S S S S +++，并求()S θ在区间(0,)π上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；
（2）如果123452S S S S +++=，并且12S S <，试分别求出1S 、2S 、3S 、4S 的值.
22．（10分）在四棱锥P ABCD —的底面是菱形， PO ⊥底面ABCD ，O ，E 分别是,AD AB 的中点，
6,5,60AB AP BAD ==∠=︒.
（Ⅰ）求证： AC PE ⊥；
（Ⅱ）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；
（III ）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 所成角的余弦值为33
10
，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．
【题目详解】
∵a，b∈（1，+∞），
∴a＞b⇒log a b＜1，
log a b＜1⇒a＞b，
∴a＞b是log a b＜1的充分必要条件，
故选C．
【题目点拨】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．
2、C
【解题分析】
在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.
【题目详解】
两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，
又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为
4
32
8
82
2
2
1180
C
C A
A
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
.
故选：C.
【题目点拨】
本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.
3、B
【解题分析】
连接AC，使AC交BD于点O，连接1A O、CF，可证四边形1A OCF为平行四边形，可得1//
A O CF，利用线面平行的判定定理即可得解．
【题目详解】
如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接1A O、CF，则O为AC的中点，
在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，
11//AC AC ∴且11A C AC =，
O 、F 分别为AC 、11A C 的中点，1//A F OC ∴且1A F OC =，
所以，四边形1A OCF 为平行四边形，则1//CF A O ，
CF ⊄平面1A BD ，1
AO ⊂平面1A BD ，因此，//CF 平面1A BD . 故选：B. 【题目点拨】
本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题． 4、C 【解题分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【题目详解】
若实数x ，y 满足条件250
24001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-
如图：
当3
,12
x y =
=时函数取最大值为2 故答案选C
【题目点拨】
求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:
当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 5、D 【解题分析】
因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为
4π
3
，所以球的半径为1
，所以球心到截面的距离2d ==
1-，而蛋巢的高度为12，
故球体到蛋巢底面的最短距离为11
1222⎛--= ⎝⎭
. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的. 6、C 【解题分析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【题目详解】
过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-
，所以A
为钝角，且sin A ==，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=
+212sin cos cos sin 3
2
32
6
A C A C =+=-⨯=.在三角形
ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B
=
=
，所以BC =在Rt BCD ∆
中有1
sin 2
BD BC C ===AC
故选：C
【题目点拨】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 7、B 【解题分析】
由已知条件利用诱导公式得3
tan 4
α=-，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案. 【题目详解】
由题意得()tan πα-= 3tan 4
α=-， 又π3π,22α⎛⎫∈
⎪⎝⎭，所以π,πcos 0,sin 02ααα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-，
所以sin cos αα+ 341
555
=-=-， 故选B. 【题目点拨】
本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题. 8、A 【解题分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【题目详解】
当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m ”成立，即充分性成立， 若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立， 则“l ∥α”是“l ⊥m ”充分不必要条件， 故选：A . 【题目点拨】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 9、C 【解题分析】
1121
()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34
内的单调性即可．
【题目详解】
解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在2
3,
34p ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
内递增， 22111
()(1)(1)333
E p p ξ=-⨯-+=
2
2
2
221121442411
()()()(1)()3333999923
D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，
是以12
p =
为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，
故选：C ． 【题目点拨】
本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 10、A 【解题分析】
设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(
,)22
a c b
+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出
c
a
的值，即可得答案. 【题目详解】
双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，
M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，
∴MF 的中点坐标为(,)22
a c
b +.代入方程可得22
22221a c b a b
+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴22
()544
a c a +=，∴2
240e e +-=
，∴1e =-（负值舍去）. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程. 11、B 【解题分析】
由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【题目详解】
由题意知：()f x 定义域为R ，
()()()
()()2
2
11
ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--
=+-
=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()2
1
ln 11f x x x
=+-
+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，2
1
1y x =
+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，
由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，
x 的取值范围为()
(),11,-∞-+∞.
故选：B . 【题目点拨】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 12、D 【解题分析】
解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由
解得C （2，1），
目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3 【解题分析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2， 如图所示，1,2,,//,AD BC SB x AD BC SB ===⊥平面,ABCD AD AB ⊥，
所以底面积为1
(12)232
S =
⨯+⨯=， 几何体的高为x ，所以其体积为1
3333
V x x =⨯⨯=⇒=．
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 14、
【解题分析】 设所在截面圆的圆心为，
中点为，连接
， 易知
即为二面角
的平面角，可求出
及
，然后可判断出四面体
外接球的球心在直线上，在中，
，结合
，可求出四面体
的外
接球的半径. 【题目详解】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接， OA ＝OB ，所以，OD ⊥AB ，同理O 1D ⊥AB ，所以，
即为二面角
的平面角，
，
因为，所以
是等腰直角三角形，
， 在
中，由cos60º＝
，得
，由勾股定理，得：
，
因为O 1到A 、B 、C 三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线
上，
设四面体外接球半径为， 在
中，
， 由勾股定理可得：
，即
，解得
．
【题目点拨】
本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题． 15、45
-
【解题分析】
解：由题意可知：2
2
1
4cos 22cos 121tan 15
ααα=-=⨯-=-+ . 16、2 【解题分析】
首先求出6
()x a +的展开项中3x 的系数，然后根据3x 系数为160即可求出a 的取值.
【题目详解】
由题知616r r r
r T C x a -+=，
当3r =时有333333
466160160T C x a x C a ==⇒=，
解得2a =.
故答案为：2. 【题目点拨】
本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）27
7
【解题分析】
试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面PDB 的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果. 试题解析:（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1
//,2
MN CD MN CD =， 又1
//,2
AB CD AB CD =
，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.
由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，
又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：
//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，
由（1）可得090PDC ∠=，∴1
tan 2
PD PCD CD ∠=
=，∴2CD PD =，
设1PD =，则2,1CD PA AD AB ====， 取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则111,0,0,,1,0,,2,0,222D B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
∴14M ⎛- ⎝⎭
， 所以(
)1331,1,0,,1,,,0,2244DB PB BM ⎛⎫⎛==-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则·0
{·0
n DB
n PB ==，即0
{102x y x y z
+=+=， 取3x =，则(3,3,n =-为平面PBD 的一个法向量，
∵
·cos ,21n BM n BM
n BM
〈〉=
=
=，
则直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为
7
. 点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． 18、（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解题分析】
（1）要做证明PB BC ⊥，只需证明BC ⊥平面PAB 即可；
（2）易得PC ∥平面EFG ，PC ⊂平面PBC ，利用线面平行的性质定理即可得到GH ∥PC ，从而获得证明 【题目详解】
证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥.
因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.
又因为BA PA A ⋂=，BA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .
又因为PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥.
（2）因为平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ⊂平面PBC . 因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .
又因为PC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .
又因为PC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFG GH =，
所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点. 【题目点拨】
本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题. 19、（1）
1
2
；（2）①01a <<；②详见解析. 【解题分析】
（1）由函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，即可得1
(1)12
f '⋅=-，对其求导并表示(1)f '，代入上述方程即可解得答案；
（2）①已知要求等价于2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <，即222(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x ，由二次函数的图象与性质构建不等式组，解得答案，
最后分析此时单调性推及极值说明即可；
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关系，进而用含的式子表示()()12f x f x +，令()()12()g a f x f x =+，对()g a 求导分析单调性，即可知道存在常数
()3,1t e -∈使()g a 在(0,)t 上单调递减，在(,1)t 上单调递增，进而求最值证明不等式成立.
【题目详解】
解：（1）依题意，2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，0x >，
故2()22(3)a
f x x a x
'=+-+
，所以(1)44f a '=-， 据题意可知，1
(44)12a -⋅=-，解得12a =.
所以实数a 的值为1
2
.
（2）①因为函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <， 所以2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <， 即2
22(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x .
所以2
2(3)0,224(3)160,20,a a a -⎧->⎪⨯⎪∆=-->⎨⎪>⎪⎩
解得01a <<.
当01a <<时，若10x x <<或2x x >，2
22(3)20x a x a +-+>，()0f x '>，函数()f x 在()10,x 和()1,x +∞上单调递增；若12x x x <<，2
22(3)20x a x a +-+<，()0f x '<，函数()f x 在()12,x x 上单调递减，故函数()f x 在(0,)
+∞上有两个极值点12,x x ，且12x x <. 所以，实数a 的取值范围是01a <<.
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，
所以1212
3,,x x a x x a +=-⎧⎨=⎩其中01a <<.
故()()2
2
121112222(3)2ln 2(3)2ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+
()()2
1212121222(3)2ln x x x x a x x a x x =+-+-++
22(3)22(3)(3)2ln 2ln 49a a a a a a a a a a =--+--+=-+-，
令2
()2ln 49g a a a a a =-+-，其中01a <<.故()2ln 26g a a a '=-+，
令()()2ln 26h a g a a a '==-+，2
()20h a a
'=->，()()h a g a '=在(0,1)上单调递增. 由于()3
3
20h e
e
--=-<，(1)40h =>，
所以存在常数(
)
3
,1t e -∈，使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-， 且当(0,)a t ∈时，()()0h a g a '=<，()g a 在(0,)t 上单调递减； 当(,1)a t ∈时，()()0h a g a '=>，()g a 在(,1)t 上单调递增，
所以当01a <<时，2
2
2
()()2ln 492(3)4929g a g t t t t t t t t t t t =-+-=--+-=--，
又(
)
3
,1t e -∈，22
29(1)1010t t t --=-->-，
所以()10g a >-，即()100g a +>， 故()()12100f x f x ++>得证. 【题目点拨】
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.
20、（1）()()22
211x y +++=,2
4x y =；（2）证明见解析.
【解题分析】
分析：（1）设Γ的标准方程为2
2x py =，由题意可设()2,E a a ．结合中点坐标公式计算可得Γ的标准方程为
24x y =．半径1r a ==，则E 的标准方程为()()22
211x y +++=．
（2）设l 的斜率为k ，则其方程为()1y k x =+，由弦长公式可得222
1
k
AB k =+．联立直线与抛物线的方程有2440x kx k --=．设()()1122,,,C x y D x y ，利用韦达定理结合弦长公式可得2121CD k x x =+-
22
41k k k =+⋅+．则
()()2
222
2
21
2=2k k
k
CD k k
k
AB
++=
>．即2CD AB >
．
详解：（1）设Γ的标准方程为2
2x py =，则0,
2p F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
． 已知E 在直线1
2
y x =
上，故可设()2,E a a ．
因为,E F 关于()1,0M -对称，所以20
1,2202
a p
a
+⎧=-⎪⎪
⎨+⎪=⎪
⎩， 解得1,
2.
a p =-⎧⎨
=⎩
所以Γ的标准方程为24x y =．
因为E 与x 轴相切，故半径1r a ==，所以E 的标准方程为()()2
2
211x y +++=． （2）设l 的斜率为k ，那么其方程为()1y k x =+， 则()2,1E --到l
的距离d =
AB ==． 由()
2
4,1x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并整理得：2440x kx k --=． 设()()1122,,,C x y D x y ，则12124,4x x k x x k +==-，
那么12CD x =
-
=
=
所以
()(
)(
)()2
22222
2
216+121
2=2
81
k k k
k k
k
CD
k k
k
k
AB
k +++=
=>+．
所以2
2
2CD AB >
，即CD AB > ．
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21、（
1）123442S S S S θ+++=+，最大值52.198公顷；（2）17、25、5、5. 【解题分析】
（1）由余弦定理求出三角形ABC 的边长BC ，进而可以求出1S ，2S ，由面积公式求出 3S ，4S ，即可求出()S θ，并求出最值；（2）由（1）知，1242S S +=，34S S =，即可求出3S 、4S ，再算出sin ,cos θθ，代入（1）中表达式求出1S ，2S 。

【题目详解】
（1
）由余弦定理得，2BC 138221θθ=+-=-
， 所以，121S θ=
-
，同理可得221)=21S πθθ=--+（
又341
2
S S θθ==
= ，
所以1234()==42S S S S S θθ++++，
故()S θ在区间(0,)π上的最大值为42+52.198。

（2）由（1）知，
1242S S +=，34S S = ，所以34=5S S =，进而sin θ=
， 由
12S S <知，cos 0θ>，cos θ∴=
，12S =21417,21425S -==+= 故1S 、2S 、3S 、4S 的值分别是17、25、5、5。

【题目点拨】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。

22、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）86
； （Ⅲ）见解析. 【解题分析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得AC ⊥平面POE ，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线PB 的方向向量与平面POE 的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)假设满足题意的点F 存在，设(01)DF DC λλ=<<，由直线BF 与PA 的方向向量得到关于λ的方程，解方程即可确定点F 的位置. 【题目详解】
(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD ，故OE AC ⊥，
PO ⊥底面ABCD ，AC ⊆底面ABCD ，故AC OP ⊥，
且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，
PE ⊆平面POE ，AC PE ∴⊥
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则：()()()330,0,4,0,33,0,00,0,0,3,022P B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =, 则：40333022m OP z m OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩
， 据此可得平面POE 的一个法向量为()3,1,0m =
-， 而()0,33,4PB =-，
设直线PB 与平面POE 所成角为θ， 则333sin 12986213
PB m
PB m θ⋅===⨯⨯(Ⅲ)由题意可得：()()
()3,0,0,6,33,0,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在，
设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<<， 据此可得：()()
3,,3,33,0x y z λ+=-，即：33330x y z λλ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,
从而点F 的坐标为()33,33,0F λλ--， 据此可得：()
33,3333,0BF λλ=---,()3,0,4PA =-， 结合题意有：()()2233591271BF PA
BF PA λλ⋅==⨯⨯++-，解得：12
λ=.
故点F为CD中点时满足题意.
【题目点拨】
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。