高三数学上学期第四次统测试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

某某省某某市松昌中学2015届高三上学期第四次统测数学试卷（理
科）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，C U（A∪B）={1，3}，A∩（C U B）={2，4}，则集合B=（）
A．{1，3，5，7，9} B．{1，2，3，4} C．{2，4，6，8} D．{5，6，7，8，9}
2．（5分）已知命题p：“∀a”的否定是“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”；命题q：在△ABC中“∠A ＞∠B”的充要条件是“sinA＞sinB”；则下列命题是假命题的是（）
A．p∨q B．p∨（¬q）C．（¬p）∨q D．（¬p）∨（¬q）3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上存在零点的是（）
A．y=B．y=lg|x| C．y=e﹣x D．y=﹣x2﹣1
4．（5分）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中
位数为（）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，λ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
6．（5分）函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2．当x∈（﹣2.5，3]时，函数f（x）的值域为（）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}
7．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）
A．B．C．D．
8．（5分）现有16X不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X，从中任取3X，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X，不同取法的种数为（）
A．232 B．252 C．472 D．484
二、填空题：本大题共6小题，满分30分．
9．（5分）已知i为虚数单位，（1﹣i）•z=1+i，则复数z的模为．
10．（5分）已知随机变量ξ服从两点分布，且P（ξ=0）=0.2，则Dξ=．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为．
12．（5分）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．
13．（5分）已知（+）n的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则n=．
14．（5分）若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f （x，y）为关于x，y的二元函数．
定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
给出三个二元函数：①f（x，y）=（x﹣y）2；②f（x，y）=|x﹣y|；③f（x，y）=．请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期为6π，且f（）=．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设α∈[，π]，f（3α+π）=，f（3β+）=﹣，求sin2α的值．
16．（14分）2012年春节前，有超过20万名某某、某某等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，某地公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示：（1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若某某籍的有5名，则某某籍的应抽取几名？
（3）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中某某籍人数ξ的分布列及其均值．
17．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=（a+b，a+c），=（c，b﹣a），且∥．
（1）求B；
（2）若a+c=8，b=7，求△ABC的面积；
（3）若sinAsinC=，求C．
18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，
E为棱PD的中点．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
19．（12分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩年种植成本/亩每吨售价
黄瓜4吨 1.2万元0.55万元
韭菜6吨0.9万元0.3万元
问该农户如何安排种植计划，才能使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，最大总利润是多少万元？
20．（14分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）某某数a的值；
（2）若k∈Z，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明：（mn n）m＞（nm m）n．
某某省某某市松昌中学2015届高三上学期第四次统测数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，C U（A∪B）={1，3}，A∩（C U B）={2，4}，则集合B=（）
A．{1，3，5，7，9} B．{1，2，3，4} C．{2，4，6，8} D．{5，6，7，8，9}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：根据题意，利用交集、并集，以及补集的定义确定出B即可．
解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∁U（A∪B）={1，3}，A∩（∁U B）={2，4}，
∴1，3∉A，1，3∉B，2，4∈A，2，4∉B，
则B={5，6，7，8，9}，
故选：D．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知命题p：“∀a”的否定是“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”；命题q：在△ABC中“∠A ＞∠B”的充要条件是“sinA＞sinB”；则下列命题是假命题的是（）
A．p∨q B．p∨（¬q）C．（¬p）∨q D．（¬p）∨（¬q）
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”，时真命题，可判断p为假命题，根据正弦定理判断q为真命题，故￢q为假命题，运用复合命题真假判断即可．
解答：解：命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x0≥0，”
故命题p是假命题；
在△ABC中，∠A＞∠B⇔a＞b，
由正弦定理得⇔sinA＞sinB，
故是命题q真命题；
故选：B
点评：本题考查了命题的否定问题，复合命题的判断，属于中档题你，难度不大．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上存在零点的是（）
A．y=B．y=lg|x| C．y=e﹣x D．y=﹣x2﹣1
考点：函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：先判断函数的奇偶性，再判断函数的零点情况，从而得出结论．
解答：解：由于函数y=是奇函数，故排除A．
由于函数f（x）=lg|x|的定义域是{x|x≠0}，满足f（﹣x）=lg|﹣x|=lg|x|=f（x），是偶函数，
且方程f（x）=0的根是x=±1，存在零点，故B满足条件．
由于函数 f（x）=e﹣x，f（﹣x）=e﹣（﹣x）=e x≠﹣f（x），不是奇函数，故排除C．
由于函数y=﹣x2﹣1，满足f（﹣x）=f（x），是偶函数，
但方程﹣x2﹣1=0无解，故D不满足条件，
故选：B．
点评：本题主要考查函数零点的定义和判断，函数的奇偶性的判断，属于中档题．
4．（5分）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中
位数为（）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
考点：众数、中位数、平均数．
专题：概率与统计．
分析：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数．解答：解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．
故选：C．
点评：本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题．
5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，λ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据题意，结合线面、面面垂直或平行的有关性质、判定定理，依次对选项进行判断，可得答案．
解答：解：根据题意，分析选项可得：
A、平行于同一条直线的直线和平面，不一定平行，它们也可能是直线就在此平面内，故错；
B、垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，即α与β可能相交，错误；
C、平行于同一个平面的两条直线，不一定平行，它们也可能是相交或异面，故错；
D、若m⊥α，n∥α，则m⊥n．符合线面垂直的性质，正确；
故选D．
点评：本题考查空间的线线、线面、面面的关系，注意解题与常见的空间几何体相联系，尽可能的举出反例．
6．（5分）函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2．当x∈（﹣2.5，3]时，函数f（x）的值域为（）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，分段求解即可，
解答：解：当x∈（﹣2.5，﹣2）时，f（x）=﹣3；
当x∈[﹣2，﹣1）时，f（x）=﹣2；
当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣1；
当x∈[0，1）时，f（x）=0；
当x∈[1，2）时，f（x）=1；
当x∈[1，2）时，f（x）=1；
当x∈[2，3）时，f（x）=2；
当x=3时，f（x）=3；
故选；D．
点评：本题考查了函数的概念，性质，运用分类讨论的思想求解即可，属于中档题，关键是理解题意．
7．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）
A．B．C．D．
考点：几何概型；定积分．
专题：概率与统计．
分析：根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．
解答：解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，
即，则事件A的概率为，
故选A
点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法．
8．（5分）现有16X不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X，从中任取3X，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X，不同取法的种数为（）
A．232 B．252 C．472 D．484
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：排列组合．
分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三X，有种取法，两种
红色卡片，共有种取法，由此可得结论．
解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三X，有
种取法，两种红色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，满分30分．
9．（5分）已知i为虚数单位，（1﹣i）•z=1+i，则复数z的模为1．
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解答：解：∵（1﹣i）•z=1+i，
∴z====i．
∴|z|=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
10．（5分）已知随机变量ξ服从两点分布，且P（ξ=0）=0.2，则Dξ=0.16．
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：由随机变量ξ服从两点分布，且P（ξ=0）=0.2，求出Eξ和Dξ．
解答：解：∵随机变量ξ服从两点分布，且P（ξ=0）=0.2，
∴Eξ=0.8，
∴Dξ=（0﹣0.8）2×0.2+（1﹣0.8）2×0.8=0.16．
故答案为：0.16．
点评：本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：平面向量及应用．
分析：利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可．
解答：解：因为知，，
所以=（3，2﹣t），
又∠ABO=90°，所以，
可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．
故答案为：5．
点评：本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键．
12．（5分）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据四棱锥的俯视图得到四棱锥的特征，根据四棱锥的左视图为直角三角形，得到四棱锥的高即可求出它的体积
解答：解：由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO垂直于BC于点O，其中O为BC的中点，
若该四棱锥的左视图为直角三角形，
则△BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形，
∵B0=1，
∴PO=BO=1，
则它的体积为．
故答案为：．
点评：本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直和面面垂直的判断，考查学生的推理能力．
13．（5分）已知（+）n的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则n=10．
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题；二项式定理．
分析：运用二项式的通项公式，求出通项并化简整理，再令r=4，r=2，求出系数，列出方程，解出即可得到n．
解答：解：（+）n的展开式的通项为T r+1=（）n﹣r（）r=2r，
则由题意可得24：22=56：3，
则有14×=3×，
解得，n=10．
故答案为：10．
点评：本题考查二项式定理及运用，考查二项式的通项公式及运用，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f （x，y）为关于x，y的二元函数．
定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
给出三个二元函数：①f（x，y）=（x﹣y）2；②f（x，y）=|x﹣y|；③f（x， y）=．请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号②．
考点：抽象函数及其应用．
专题：压轴题；新定义．
分析：利用函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质．
解答：解：对于①，不妨令x﹣y=2，则有x﹣=﹣y=1，此时有（x﹣y）2=4，而（x ﹣）2=（﹣y）2=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不
等式，故①不满足
对于②，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1）；f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y﹣x|满足（2）；f （x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数
对于③，由于x﹣y＞0时，无意义，故③不满足
故答案为：②
点评：本题考查理解题中的新定义，利用定义解题是近几年的2015届高考中是常考的题型，要注意．解题的关键是要把已知的定义转化为解题的工具．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期为6π，且f（）=．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设α∈[，π]，f（3α+π）=，f（3β+）=﹣，求sin2α的值．
考点：正弦函数的图象；二倍角的正弦．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：（1）由已知及周期公式可求得ω的值，由f（）=可求得A的值，从而可得f
（x）的解析式；
（2）由f（3α+π）=及诱导公式可求得cosα，sinα的值，从而由倍角公式即可求解．
解答：（本小题满分12分）
解：（1）依题意，，得…（2分）
则，得A=2…（5分）
∴…（6分）
（2）∵f（3α+π）=2sin（α+）=2cosα=，
∴cosα=，…（8分）
∵
∴sinα===，…（10分）
∴…（12分）
点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
16．（14分）2012年春节前，有超过20万名某某、某某等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，某地公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示：（1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若某某籍的有5名，则某某籍的应抽取几名？
（3）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中某某籍人数ξ的分布列及其均值．
考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；收集数据的方法；离散型随机变量及其分布列．
专题：综合题．
分析：（1）由于交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，间隔相同，故是系统抽样方法；
（2）先确定被询问了省籍的驾驶人员某某籍的总人数、某某籍的总人数，利用分层抽样，即可得到某某籍的应抽取的人数；
（3）ξ的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与均值．
解答：解：（1）由于交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，故交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．（3分）
（2）从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员某某籍的有：5+20+25+20+30=100人，
某某籍的有：15+10+5+5+5=40人，（4分）
设某某籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得，解得x=2
即某某籍的应抽取2名．（7分）
（3）ξ的所有可能取值为0，1，2；（8分）
，，，（10分）
ξ的分布列为：
ξ0 1 2
P
（11分）
均值．（12分）
点评：本题考查系统抽样、分层抽样，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值及含义是关键．
17．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=（a+b，a+c），=（c，b﹣a），且∥．
（1）求B；
（2）若a+c=8，b=7，求△ABC的面积；
（3）若sinAsinC=，求C．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：综合题；解三角形．
分析：（1）由已知得（a+b）×（b﹣a）﹣c×（a+c）=0，可求得a2+c2﹣b2=﹣ac，再由余弦定理即可求B的值．
（2）由（1）可求得（a+c）2﹣b2=ac，代入已知即可求得ac的值，代入三角形面积公式即可求值．
（3）由，可求cos（A﹣C）=cos（A+C）+2sinAsinC=，又由，可得或，从而可求C的值．
另解（3）：由，可求得=，即有，
分析角的X围即可求得C的值．
解答：（本小题满分14分）
解：（1）由已知得（a+b）×（b﹣a）﹣c×（a+c）=0，
则a2+c2﹣b2=﹣ac．…（2分）
由余弦定理得，，…（3分）
因此，．…（4分）
（2）由（1）知a2+c2﹣b2=﹣ac，即（a+c）2﹣b2=ac，
又a+c=8，b=7，则ac=15，…（6分）
∴．…（8分）
（3）由（Ⅰ）知，…（9分）
所以 cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）
+2sinAsinC==，…（11分）
又，故或，…（13分）
又，因此，或．…（14分）
另解（3）：由（Ⅰ）知，…（9分）
∴，…（10分）
=，
==，…（12分）
∴，
由，得，
∴2C=，或2C=，
即或．…（14分）
点评：本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式的应用，三角函数求值，综合性较强，属于中档题．
18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，
E为棱PD的中点．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）通过AD⊥CD及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理即得结论；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，过点F作FG⊥AC于点G，连接EG，则∠EGF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，∠EGF二面角E﹣AC﹣B的平面角的补角，利用勾股定理即得结论．
解答：（1）证明：∵PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，∴PA⊥CD，
∵底面ABCD为正方形，∴AD⊥CD，
又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
又CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，过点F作FG⊥AC于点G，连接EG，
∵平面PAD⊥平面ABCD且相交于AD，EF⊂平面PAD，
∴EF⊥平面ABCD，
又FG⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴EF⊥FG，EF⊥AC，
又FG⊥AC，EF∩FG=F，
∴AC⊥平面EFG，
又EG⊂平面EFG，∴EG⊥AC，
∴∠EGF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，
∴∠EGF二面角E﹣AC﹣B的平面角的补角，
设AD=4，在△PAD中，有PA⊥PD，
则，∠PDA=45°，
又E为棱PD的中点，则，EF=DF=1，AF=3，
在Rt△AGF中，，
在Rt△EFG中，，
则，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．
点评：本题考查面面垂直的判定及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（12分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩年种植成本/亩每吨售价
黄瓜4吨 1.2万元0.55万元
韭菜6吨0.9万元0.3万元
问该农户如何安排种植计划，才能使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，最大总利润是多少万元？
考点：简单线性规划的应用．
专题：应用题；不等式的解法及应用．
分析：根据条件，设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，总利润为z万元，建立目标函数和约束条件，根据线性规划的知识求最优解即可．
解答：解：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，总利润为z万元，
则目标函数为z=（0.55×4x﹣1.2x）+（0.3×6y﹣0.9y）=x+0.9y．
线性约束条件为，
即，作出不等式组表示的可行域，求得点 A（0，50），B（30，
20），C（0，45）．
平移直线z=x+0.9y，可知当直线z=x+0.9y 经过点B（30，20），
即x=30，y=20时，z取得最大值，且Z max=48（万元）．
故黄瓜和韭菜的种植面积应该分别是30亩、20亩时，利润最大．
点评：本题主要考查生活中的优化问题，利用条件建立二元二次不等式组，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．
20．（14分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）某某数a的值；
（2）若k∈Z，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；（3）当n＞m≥4时，证明：（mn n）m＞（nm m）n．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．
分析：（1）求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，根据切线斜率为3列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）将原来的恒成立问题转化为研究函数的最值问题，研究g（x）=区间（1，+∞）
上的最值问题，先求出函数的极值，研究极值点左右的单调性，最后确定出最小值，从而得出k的最大值．
（3）由（2）知，g（x）=是[4，+∞）上的增函数，从而有当n＞m≥4时，＞，由此式即可化简得到ln（n mn m m）＞ln（m mn n n）
解答：解：（1）因为f（x）=ax+xlnx，
所以f'（x）=a+lnx+1．（1分）
因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，
所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．
所以a=1．（2分）
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即k＜对任意x＞1恒成立．（3分）
令g（x）=，
则g′（x）=，（4分）
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），
则h′（x）=1﹣=＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．（5分）
因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．
当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，（6分）所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（3，4）．（7分）
所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）．
故整数k的最大值是3．（8分）
（3）证明：由（2）知，g（x）=是[4，+∞）上的增函数，（9分）
所以当n＞m≥4时，＞，（10分）
即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）．（11分）
因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分）
即lnn mn+lnm m＞lnm mn+lnn n．
即ln（n mn m m）＞ln（m mn n n）．（13分）
所以（mn n）m＞（nm m）n．（14分）
点评：此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道中档题．。