2019—2020学年度高三年级下五调考试

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2019—2020学年度高三年级下五调考试
数学理科试卷 命题人：陈丽敏 审核人：何慧
一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
5．已知不重合的两条直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β. 其中正确的命题是( ) A.①④
B.③④
C.①②
D.①③
6. 设函数()()11
x
f x ax x x =+>-，若a 是从0,1,2三个数中任取一个，b 是从1,2,3,4,5五个
数中任取一个，那么()f x b >恒成立的概率是（ ） A.
35 B. 715 C. 25 D. 12
7.已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝
cos(2x －φ)的正确描述是( )
A.g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1 B.g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π
3
个单位长度得到
C.g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0
D.g (x )的一个单调递减区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2
11.已知直线y＝k(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k(x－2)与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|－2|MN|，则
A.λ<－16
B.λ＝－16
C.－12<λ<0
D.λ＝－12
12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何?现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为
A.56383
B.57171
C.59189
D.61242
二、填空题：（本大题共4小题，每题5
分，共20分）
13.
15.已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3。

将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ的二面角B
－AC－D，若折成的四面体ABCD内接于球O，则下列说法错误的是。

①.四面体ABCD的体积的最大值是
24
5
②.球心O为线段AC的中点
③.球O的表面积随θ的变化而变化④.球O的表面积为定值25π
三、解答题：（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17.(12分)
a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边。

已知a＝3，csinC＝sinA＋bsinB，且B＝60°。

(1)求△ABC的面积；
(2)若D，E是BC边上的三等分点，求sin∠DAE。

18.(12分)
如图，四棱锥E－ABCD的侧棱DE与四棱锥F－ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD⊥
CD，AB∥CD，AB＝3，AD＝CD＝4，AE＝5，AF＝32。

(1)证明：DF∥平面BCE。

(2)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求cos2θ。

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19.(12分)
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>过点(1，
3
2
)，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆
C分别交于M，N两点。

(1)证明：当a2＋9b2取得最小值时，椭圆C的离心率为
2
2。

(2)若椭圆C的焦距为2，是否存在定圆与直线MN总相切?若存在，求定圆的方程；若不存在，
请说明理由。

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