阜平县一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

阜平县一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）
A ．[5，10]
B ．（5，10）
C ．[3，12]
D ．（3，12）
2． 分别是的中线，若，且与的夹角为，则=（ ）
,AD BE ABC ∆1AD BE ==AD u u u r BE u u u r 120o
AB AC ⋅u u u r u u u r （A ） （ B ） （C ） （D ）
13492389
3． 函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到D ．向左右平移
个单位得到4． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．i D ．﹣i
5． 平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则
|+2|=（
）A ．B ．
C ．4
D ．12　6． 如果（m ∈R ，i 表示虚数单位），那么m=（ ）A ．1B ．﹣1
C ．2
D ．0　
7． 定义在R 上的奇函数f （x ），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf （x ）＞0的解集为（
）A ．B ．
C ．
D ．
8． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内9． 与椭圆有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
10．已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间
[﹣2，2]上的最小值为（ ）
A ．﹣12
B ．﹣10
C ．﹣8
D ．﹣6
11．设F 1，F 2分别是椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠
F 1PQ=60°，|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．12．设函数
，则有（
）
A ．f （x ）是奇函数，
B ．f （x ）是奇函数， y=b x
C ．f （x ）是偶函数
D ．f （x ）是偶函数，
二、填空题
13．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________
．
14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
15．设，实数，满足，若，则实数的取值范围是___________．
R m ∈x y 23603260
y m x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
182≤+y x m 【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=
x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
17．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．
18．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）= ．
三、解答题
19．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
（1）求{a n}和{B n}的通项公式；
（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
21．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；
（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．
22．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．
（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）求不等式f（x）＜0的解集．
23．设{a n}是公比小于4的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=lna3n+1，n=12…求数列{b n}的前n项和T n．
24．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
阜平县一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ）即
解得：x=3，y=1
即4a ﹣2b=3（a ﹣b ）+（a+b ）∵1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，∴3≤3（a ﹣b ）≤6
∴5≤（a ﹣b ）+3（a+b ）≤10故选A
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ），并求出满足条件的x ，y ，是解答的关键．　
2． 【答案】C
【解析】由解得1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩u
u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2233,4233AB AD BE AC AD BE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
22422()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3． 【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin （2x+），
y=sin2x ﹣cos2x=
sin （2x ﹣
）=
sin[2（x ﹣
）
+
）]，
∴由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象向左平移个单位得到y=
sin （2x+
），
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
4． 【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i ﹣1的虚部是1，故选A ．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．　
5． 【答案】B
【解析】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B．
【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
6．【答案】A
【解析】解：因为，
而（m∈R，i表示虚数单位），
所以，m=1．
故选A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的概念，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．
7．【答案】B
【解析】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，
∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，
∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0
当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
综上xf（x）＞0的解集为
故选B
8．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．
9．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
10．【答案】C
【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，
令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，
由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，
从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．
故选C．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．
11．【答案】D
【解析】解：设|PF1|=t，
∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F2为PQ的中点，|PF2|=，
∴|F1F2|=，即2c=，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D．
12．【答案】C
【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f（）===﹣=﹣f（x），
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．　
二、填空题
13．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
14．【答案】 ．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：
=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．　
15．【答案】.[3,6] 【
解
析
】
16．【答案】　8π　．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x 2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy 轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．　
17．【答案】 ．
【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC，
所以三棱柱的体积：××1×1×2=，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．　
18．【答案】 ．
【解析】解：∵θ是第四象限角，
∴，则，
又sin（θ+）=，
∴cos（θ+）=．
∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．
则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．
故答案为：﹣．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，
∴1×q5=243，解得q=3，
∴．
∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
∴5×3+d=35，解得d=2，
b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=c=1
故椭圆的方程为x2+=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
线段AB的中点为M（x0，y0）．
联立直线y=x+m与椭圆的方程得，
即3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，
x1+x2=﹣，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，
解得m=±3与m2＜3矛盾．
故实数m不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，
则，
解得，，，…
由于，故n=55．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：
p=，
由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），…
∴P（X=k）=，k=0，1，2，3，
∴EX==，DX==．…
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x2﹣3x+2≤0
因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，
解得：x≥1或x≤2．
∴1≤x≤2．
不等式的解集为{x|1≤x≤2}．
（2）依题意得x2﹣3ax+2a2＜0
∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…
对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0
得x1=a，x2=2a
当a=0时，x∈∅．
当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a；
当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；
当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；
23．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q2，解得q=2．
（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．
b n=lna3n+1=ln23n=3nln2．
∴数列{b n}的前n项和T n=3ln2×（1+2+…+n）
=ln2．
24．【答案】
【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，，
∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）
（Ⅱ）=（6分）
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）
若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）（10分）
又，x∈[0，1]
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾
②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，
此时b＞1（11分）
综上，b的取值范围是（12分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．。