高三数学第一轮复习专题函数与方程

2018年高考数学第一轮复习单元
第5讲 函数与方程
一．【课标要求】
1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

b5E2RGbCAP 二．【命题走向】
函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”<即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试卷中有近一半的试卷与这三个“二次”问题有关p1EanqFDPw 预计2018年高考对本讲的要求是：以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力
<1）题型可为选择、填空和解答；
<2）高考试卷中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．【要点精讲】
1．方程的根与函数的零点
<1）函数零点 概念：对于函数，把使
成立的实数叫做函数
的零点。

函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数
的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根
函数
的图象与
轴有交点函数
有零点。

DXDiTa9E3d 二次函数
的零点：
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交
点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程
有两相等实根<二重根），二次函数的图象与轴
有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；RTCrpUDGiT
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函
数无零点。

零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲
线，并且有，那么函数
在区间
内有零点。

既存在
，使
得
，这个也就是方程的根。

5PCzVD7HxA
2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·
的函数
，通过不断地
把函数
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到
零点近似值的方法叫做二分法．jLBHrnAILg 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： <1）确定区间，，验证·
，给定精度；<2）求区间
，
的中
点；
<3）计算：①若
=，则就是函数的零点；②若
·
<，则令
=<此时零点
）③若
·
<，则令=<此时零点
）；
<4）判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值<或）；否则重复步骤2~4。

注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数； 从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标； 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点； 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件
·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

3．二次函数的基本性质
<1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c ；y=a(x －x1>(x －x2>；y=a(x －x0>2+n 。

xHAQX74J0X <2）当a>0，f(x>在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x0= (p+q>。

若－
<p ，则f(p>=m ，f(q>=M ；若p ≤－
<x0，则f(－
>=m ，f(q>=M ；
若x0≤－<q ，则f(p>=M ，f(－
>=m ；若－≥q ，则f(p>=M ，f(q>=m 。

<3）二次方程f(x>=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x>=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小
a ·f(r><0；
②二次方程f(x>=0的两根都大于
r
③二次方程f(x>=0在区间(p ，q>内有两根
④二次方程f(x>=0在区间(p ，q>
内只有一根f(p >·f(q><0，或f(p>=0(检验>或
f(q>=0(检验>检验另一根若在(p ，q>内成立。

LDAYtRyKfE 四．【典例解读】
题型1：方程的根与函数零点
例1．<1）方程lgx+x=3的解所在区间为< ） A ．(0，1>B ．(1，2>C ．(2，3>D ．(3，+∞>
<2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。

本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。

数形结合，要在结合方面下功夫。

不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

Zzz6ZB2Ltk
例2．已知函数.
<I）求函数的最小正周期；<II）当且时，求的值
题型2：零点存在性定理
例3．设函数，其中常数为整数。

<1）当为何值时，
；
点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。

解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。

例4．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确
的是< ）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得；
题型3：二分法的概念
例5．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则
可以是
A. B. C. D.
题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点
例10．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
<1）如果，设函数的对称轴为，求证：；
<2）如果，，求的取值范围.
点评：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可
以考虑利用上述图像特征去等价转化
题型7：二次函数的图像与性质
例13．已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5％,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1->万元；当待岗员工人数x 超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润O.9595万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?dvzfvkwMI1
例14已知函数．
<Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；<Ⅱ）令，判断函数的奇偶
性，并说明理由．
点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想
题型8：二次函数的综合问题
15．已知函数.
<I）求函数的最小正周期；<II）当且时，求的值。

点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力rqyn14ZNXI
例16．已知函数。

<1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解
读式；
<2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解读
式；
点评：紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力。

五．【思维总结】
1．函数零点的求法：
①<代数法）求方程的实数根；
②<几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，
并利用函数的性质找出零点。

2．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解读式，二是图像特征. 从解读式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。

EmxvxOtOco
由于二次函数的解读式简捷明了，易于变形<一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解读式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质SixE2yXPq5
<1）二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在
于：通过三个独立条件“确定”这三个参数
<2）数形结合：二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。

结合这些图像特征解决有关二次函数的问
题，可以化难为易，形象直观。

因为二次函数在区间
和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端
点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得6ewMyirQFL
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。