江西省吉安市西路片七校2020届高三数学上学期第一次联考试题 文

江西省西路片七校2020届高三第一次联考
数学试题（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B ⋃=（ ）
A ．[-2，1] B. [-1，1] C. [-2，3]
D.[1，3]
2．复数
()1
1i i
—在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．“x y ≠”是“x y ≠”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件 4．将函数()2sin 24f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
4
π
个单位，得到函数()g x 的图象，则()0g =（ ）
A
．2
C. D ．0
5
．已知向量a b ==r r ,a b r r 间的夹角为34
π
，则2a b r r -=（ ）
A
D
6．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
（ ）
A ．7.2万盒
B ．7.6万盒 C.7.8万盒 D ．8.6万盒
7．实数,x y 满足条件132350x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-++≥⎩
，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）
A ．
16
5
B ．7 C. 1- D.5
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节（自上而下）的容积为（ ）
A. 1升
B.
66
67
升 C.
44
47
升 D.
33
37升 9．函数2
sin y x x =的部分图象可以为（ ）
10．已知抛物线2
2x y =的焦点为F ，其上有两点()()1122,,,A x y B x y 满足2AF BF -=，
则22
1122y x y x +--=（ ）
A ．4
B ．6
C.8
D ．10
11．已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面
,BCD BC CD ⊥，且2,2,2AC BC CD ===，则球O 的表面积为 （ ）
A ．12π
B ．7π C.9π
D ．8π
12．已知()0,2x ∈ ，关于x 的不等式
2
1
22x x e k x x
<+-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ． [)0,1e + B ． [)0,e C. 10,2e -⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．[)0,1e - 二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知5
3
sin -=α，α是第三象限角，则()tan πα-=
.
14．执行下面的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n =
.
15．已知正项等比数列{}n a 满足222log log 2n n a a +-=，且34a =，则数列{}n a 的前n 项和
为n S =
.
16．已知0a >且1a ≠，函数()3114log 11x a x a x f x a x ++=++-，其中11
44
x -≤≤，则函数()f x 的最大值与最小值之和为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，3a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
18．（本小题满分12分）
已知向量()
3,sin ,1,sin ,2m x n x x x R u r r
⎛⎫=-=+∈ ⎪⎝⎭
，函数()f x m n =•u r r .
（I ）求函数()f x 的最小正周期及值域；
（II ）已知ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、
b 、
c ，若()0,2,3f A a bc ===，求ABC ∆的周长.
19．（本小题满分12分）
某省重点高中2020届高三文科500名学生参加了9月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机数表法从中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如下表.
依次写出最先抽出的 5个人的编号(下面是摘自随机用表的第四行至第七行) 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 34 34 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （Ⅱ）若数学优秀率为0034，求,m n 的值；
（Ⅲ）在语文成绩为良的学生中，已知13,11m n ≥≥，求数学成绩“优”比“良”的人数少
的概率.
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P —ABCD ，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点． （Ⅰ）求证：PC ⊥AD ；
（Ⅱ）求点D 到平面PAM 的距离．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和圆222
:D x y b +=分别与射线()0y x x =≥交于
,A B 两点，且210210
5OA OB =
=. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若不经过原点O 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于,M N 两点，且1OMN S ∆=，证明:线段
MN 中点()00,P x y 的坐标满足22
042x y +=.
22．（本小题满分12分）
已知函数()2
ln f x ax x x =+.
（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的在()()
,e f e 处的切线方程； （Ⅱ） 若a e =-，证明:方程()232ln f x x x -=无解.
2020届西路片七校高三文科数学联考答案
一、选择题：
1.C
2.D
3.A
4.C
5.A
6.C
7.B
8. D
9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题 13、4
3—
14、6 15、2n_
1 16、4 三、解答题
17.解：（Ⅰ）方程2
560x x -+=的两根为2,3，由题意得232, 3.a a == 设数列{}n a 的公差为d ，则32,a a d -=故1,d =从而11,a =
所以{}n a 的通项公式为n a n = ……5分 （II ）设2n n
a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为,n s 由（I ）知,22n n n a n =则12112-1...,2222n n n n n s -=++++ 2311341. (22222)
n n n n
s n +-=++++ 两式相减得
211111(...)22222n n n s n +=+++-111.22n n n +=--所以12
2.2
n n n s ++=- ……10分
18. （Ⅰ）由题，()2
3sin cos cos 2123f x x x x x π⎛
⎫=--+
=++ ⎪⎝
⎭,所以 ()f x 的最小正周期为T π=，,1cos 213x R x Q π⎛
⎫
∈∴-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
，故()f x 的值域为[]0,2.……6分 （Ⅱ）()cos 210,cos 2133f A A A ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+=+=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭,又()0,A π∈，得3A π=.在ABC ∆中,由余弦定理,得()2
2222cos
33
a b c bc b c bc π
=+-=+-,又2,3a bc ==,所以
()
2
13,b c b c +=+=所以ABC ∆的周长为2+.……………………12分
19.解析：（Ⅰ）编号依次为:343,454,316,243,099.………………3分 （Ⅱ）由
89
0.34100
m ++=,得17m =,因为89817991111100n ++++++++=，
得18n =.………………6分
（Ⅲ）由题意35,m n +=且13,11m n ≥≥,所以满足条件的
()
,m n 有()()()()()()()()
13,22,14,21,15,20,16,19,17,18,18,17,,19,16,20,15,
()()()()21,14,22,13,23,12,24,11共12种,且每组出现都是等可能的.记: “数学成绩
“优”比“良”的人数少” 为事件M ，则事件M 包含的基本事件有
()()()()()13,22,14,21,15,20,16,19,17,18,共5种,所以()5
12
P M =
.………………12分 20.（Ⅰ）取AD 中点O ，连结OP ，OC ，AC ，依题意可知△PAD，△ACD 均为正三角形，
∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ， ∴AD⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，∴PC⊥AD．………………4分
（Ⅱ）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，
由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD ， 平面PAD∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ， ∴PO⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高． ∴△PAC 的面积
，
设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得，
又，∴
，
解得
，∴点D 到平面PAM 的距离为
．
……………………12分
21.（Ⅰ）由1OB =,知圆D 半径为1,1b =,由2105OA =
,知2
85
OA =,设(),A x y ,则
2
2
45x y =-,2244
1,4,55
a a ∴+=∴=∴椭圆的方程为2
214x y +=. ………………4分
（Ⅱ）设()()
1122,,,M x y N x y ,设直线l 的方程为y kx m =+,由22
14
y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩,得
()2
2
2
148440k x kmx m +++-=,所以2121222844
,1414km m x x x x k k g -+=-=++，………7分，
而12MN x x g =-=,原点O 到直线MN 的距离
为
d =
，所
以
1
12AMN
S MN d g g ∆===，所以
2214m k g =+，即
()
2
2
21420k
m
+-=，即22142k m +=，则
120242214x x km k
x k m +-=
==-
+，① 12021
2142y y m y k m
+===
+ ，② 由①，②消去m 得242
020=+y x .…………12分
22.（Ⅰ）依题意，()'2ln 1f x x x =++,故()()2
'22,f e e f e e e =+=+,故所求切线方程
为()2
220e x y e e +---=………………4分
（Ⅱ）依题意，22ln 32ln ax x x x x +-=,即22ln 2ln 3ax x x x x +=+,即
ln 3ln 2x ax x x +=
+,令()ln g x ax x =+,当a e =-时，()()1
ln ,'ex g x ex x g x x
-+=-+=
,令()'0g x =,得1x e =
,令()'0g x >,得10,x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增;令()'0g x <,得1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,所以函数()g x 在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减,所以()max 111ln 2g x g e e e e g ⎛⎫
==-+=- ⎪⎝⎭
,所以()2g x ≥.………………8分
设()()ln 3,0,2x h x x x =
+∈+∞,所以()2
1ln 'x
h x x
-=,令()'0h x >,得()0,x e ∈,所以函数()h x 在()0,e 单调递增;令()'0h x <,得(),x e ∈+∞,所以函数()h x 在(),e +∞单调递减,所
以()()min ln 313
222
e h x h e e e ==
+=+<,即()2h x <,所以()()g x h x >,即()232ln f x x x ->,所以方程()232ln f x x x -=无解.………………12分。