2019-2020上海虹口初三第一学期期末数学

虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
初三数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
2020.1
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．如果
，那么锐角
的度数为
A ．30°；
B ．45°；
C ．60°；
D ．90°．2．在R t △A B C 中，∠C =90°，如果B C =2，t a n B =2，那么A C 长为A ．1；B ．4；C ．；
D ．
．
3．抛物线的顶点所在象限是
A ．第一象限；
B ．第二象限；
C ．第三象限；
D .第四象限．4．已知抛物线
经过、
两点，在下列关系式中，正确的是A ．
；
B ．
；
C ．
；D ．
．
5．已知
和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是
A ．；
B ．∥，∥；
C ．；
D ．，．
6．如图1，点D 是△A B C 的边B C 上一点，∠B A D =∠C ，A C =2A D ，如果△A C D 的面积为15，
那么△A B D 的面积为
A ．；
B ．
；
C ．7.5；
D ．5．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果
，且
，那么的值为
▲
．
8．如果向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量=▲
．
9．如果抛物线
的开口向下，那么a 的取值范围是
▲
．
10．沿着x 轴正方向看，抛物线在对称轴
▲
侧的部分是下降的（填“左”
或“右”）．
C
A
A
B
D
图1
11．如果函数是二次函数，那么m
的值为▲．
12．如图2，抛物线的对称轴为直线，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点
Q 的右侧，如果点P 的坐标为（4，0），那么点Q 的坐标为▲．
13．如图3，点A （2，m ）在第一象限，
O A 与x 轴所夹的锐角为，如果t a n
，那么
m
的值为▲．
14．已知△A B C ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，A C =12，A 1C 1
=8，△A B C 的高A D 为6，那么△A 1B 1C 1的高A 1D 1长为▲．
15．如图4，在梯形A E F B 中，A B ∥E F ，A B =6，E F =10，点C 、D 分别在边A E 、B F 上且C D ∥A B ，如果A C =3C E ，那么C D 长为
▲
．
16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如图5），它
是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角的正切为
，那么大正方形的面积是
▲
．
17．如图6，在R t △A B C 中，∠C =90°，A C =1，B C =2，点D 为边A B 上一动点，正方形D E F G
的顶点E 、F 都在边B C 上，联结B G ，t a n ∠D G B 的值为
▲
．
18．如图7，在等腰梯形A B C D 中，A D ∥B C ，s i n C =，A B =9，A D =6，点E 、F 分别在边
A B 、B C 上，联结E F ，将△B E F 沿着E F 翻折，使B F 的对应线段B ’F 经过顶点A ，B ’F 交
对角线B D 于点P ，当B ’F ⊥A B 时，A P 的长为
▲
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）
计算：
．
图6
D A B
E
C F
G B C A D
图4
E
F
A C
图7
A B
D
图5图2
x
P O
y Q 图3
x
A
O
y
图10
C
A D
B B ’
37°
20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
在平面直角坐标系x O y 中，将抛物线C 1：向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C 2
．（1）求新抛物线C 2的表达式；（2）如图8，将△O A B 沿x 轴向左平移得到△O ’A ’B ’，点A （0，5）的对应点A ’落在平移后的新抛物线C 2上，求点B
与其对应点B ’的距离．21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
如图9，在R t △A B C 中，∠A B C =90°，点G 是R t △A B C 的重心，联结B G 并延长交A C 于点D ，过点G 作G E ⊥B C 交边B C 于点E ．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当A B =12时，求G E 的长．
22．（本题满分10分）
某次台风来袭时，一棵笔直大树树干A B （假定树干A B 垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠B A B ’=7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图10所示），测得∠C D A 为37°，A D 为5米，求这棵大树A B 的高度．（结果保留根号）
（参考数据：，，）
23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）
如图11，在R t △A B C 中，∠A C B =90°，点D 是边B C 的中点，联结A D ，过点C 作
A
O A
图8
x
B
O ’
A ’
B ’
C 2
y
图9
A B
E C
G
D
C E ⊥A
D 于点
E ，联结B E ．（1）求证：；（2）如果∠A B C =∠D C E ，求证：
．
24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）
如图12，在平面直角坐标系
中，抛物线
与x 轴交于A （-1，0）、B
两点，与y 轴交于点C （0，3），点P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为．（1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①点D 在射线A P 上，如果∠D A B 为△A B D 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，C E ⊥E F ，如果∠C E F 为△E C F 的特征角，求点E 的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4
分）
在R t △A B C 中，∠A C B =90°，B C =4，s i n ∠A B C =，点D 为射线B C 上一点，联结A D ，过点B 作B E ⊥A D 分别交射线A D 、A C 于点E 、F ，联结D F ．过点A 作A G ∥B D ，交直线B E 于点G ．
（1）当点D 在B C 的延长线上时（如图13），如果C D =2，求t a n ∠F B C ；（2）当点D 在B C 的延长线上时（如图13），设，，求y 关于x 的函数关系式（不写函数的定义域）；（3）如果A G =8，求D E 的长．
O
A y
图12
x
B
C
图13
E
A B
C
F
D G
备用图
A
B
C。