全空间上一类非齐次椭圆方程正解存在的必要条件

全空间上一类非齐次椭圆方程正解存在的必要条件
杨芬;胡松
【摘要】讨论了非齐次椭圆偏微分方程△u+up +uq+ f(x)=0,x∈Rn 正解存在的必要条件.得到了一个较优的估计和正解存在的必要条件,从而得到解不存在的一些充分条件.
【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(049)003
【总页数】4页(P327-330)
【关键词】非齐次椭圆问题;正解;估计;必要条件
【作者】杨芬;胡松
【作者单位】武汉科技大学理学院,武汉430065;武汉科技大学理学院,武汉430065
【正文语种】中文
【中图分类】O175
本文讨论了非齐次椭圆方程
其中表示拉普拉斯算子;p>q>1,n∈N且n≥3;f∈C(Rn),f≥0且f≡/ 0.
为了叙述方便,首先引入以下记号
λ1和λR分别是
和
的第一特征值且λR=λ1/R2.
关于非齐次偏微分方程,在文献[1-2]中,作者先后讨论了
解存在的必要条件和充分条件.在此基础上,很多数学家进行了更加深入地研究,得到了解的更多性质,参见文献[2-4]等.关于方程(2)的齐次方程,有很多很好的结果，参见文献[5-8].尤其重要的结果是正解在无穷远处的衰减指数为-mp,即在无穷远处,u(|x|)～|x|-mp.在文献[2]中,由方程(2)正解存在的必要条件得到的主要结果为:n/(n-2)≥p>1或者时,方程没有解.而由文献[9]中定理1的结果,方程(1)的齐次方程在无穷远处的衰减指数为-mq,即在这两个指数mp和mq中,较大的指数mq起主要作用.
本文讨论方程(1)正解存在的必要条件,正解不存在的充分条件,得到的主要结果如下: 定理1如果 n/(n-2)≥q>1, 方程(1)没有解.
定理2如果在无穷远处有f(x)≥C/|x|2+mq,其中则方程(1)没有解.
注1由定理1和定理2,若方程(1)有解,则较小的指数q>n/(n-2)且非齐次项f在无穷远处的衰减指数不大于-(2+mq). 即指数mq在存在性和非存在性中起主要作用. 引理1假设Ω是Rn(n≥2)中的有界光滑区域,则不存在函数u∈C2(Ω)∩C1(Ω)满足以下不等式
这里,λ是-Δ算子在Ω上的第一特征值,其中,Dirichlet 边界条件为0.
注2引理1的证明见文献[2]中引理1.
定义1如果u∈C(Rn),
r>0
称为u的球面平均,其中,ωn是Rn中单位球的面积,dS是表面测度.
注3由定义,很容易得到而且对任何函数
引理2对任意的m∈{mp,mq},方程(1)的任何解都满足下面的不等式
∀r>0.
注4由引理1,应用文献[2]中引理2相同的方法可证,故证明省略.
定理3如果u是方程(1)的解,则下面的等式成立:
证明如果u是方程(1)的解,对方程(1)取球面平均,即有
对(3)变形,得到
又
对(4)作从0到r的积分,得到
再对(5)作从r到R的积分,0<r<R,得到
由Fubini定理,(6)可以变为:
因此
令r→∞,由单调收敛定理得到
而(7)式又等价于下面的等式
证毕.
由定理3和上面的引理,可以得到下面的较优估计.
定理4对任意m∈{mp,mq}和R>0,方程(1)的解满足下面的不等式估计:
而且
证明将引理2中的结果
应用于定理3中,即可得不等式(8)和(9). 在定理3中,令R→0,可以得到第1个等式.由第1个等式,可直接得到第2个等式.
注5方程(1)的任何解必须满足下面的积分条件
定理5如果u是方程(1)的解,则对任意m∈{mp,mq}和α∈[0,1),下面的估计成立证明如果u是方程(1)的解,同定理3中一样,对方程(1)取球面平均,再从0到r积分,得到(5)式. (5)式除以得到
f)dSds=0.
对(10)式作从r到R的积分,0<r<R,并应用引理2,得到
由Fubini定理,交换积分顺序,得到
取d=n-2-αm,由计算直接可得
令R→∞,由单调收敛定理得到(注意
即
带入d=n-2-αm，即得定理5.证毕.
定理6如果u是方程(1)的解,则对任意m∈{mp,mq}和α∈[0,1),下面的估计成立而且
证明将引理2的结果代入定理5,即可得不等式(11). 定理5中令R→0,就可以得到不等式(12). 由不等式(12),可直接得到不等式(13).
注6方程(1)的任何正解满足下面的积分条件
其实,在没有更多的关于u在无穷远处的球面平均的已知条件下,这是关于up和uq 的最好的积分条件,也就是说|x|的指数不能减至n-2-2/(p-1).
下面证明本文主要结果.
证明定理1取m=mq,假设方程有解,分两种情况用反证法证明.
1) 当n/(n-2)>q>1时,考虑定理2的第2个不等式
此时R的指数是负的,即n-2-m<0.令R→∞,得到
显然与假设矛盾.
2) 当n/(n-2)=q>1时, n-2-m=0,
从而
又存在常数C>0使得
由Jensen不等式得到下面的不等式
这与矛盾.即定理1证毕.
定理7如果对某个m∈{mp,mq},在无穷远处有
则方程(1)没有解.
证明假设方程(1)有解,由定理6,非齐次项f必须满足下面的必要条件
由假设,当R>0充分大时,
即
直接计算可以得到
令α→1,
而这与假设矛盾.即定理7 证毕.
证明定理2定理2是定理7 的直接结果.
注7当p>q>1时,mp<mq,取m=mq时,定理7中关于非齐次项f的条件更广,这是通过不等式估计所能得到的较好的条件.
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