广东省茂名市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案

2024年茂名市普通高中高二年级教学质量监测
数学试卷（答案在最后）
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合
104x A x x ⎧⎫+=<⎨⎬
-⎩⎭，{}0B x x =>，则A B = （）
A.
()
0,1 B.
()
0,4 C.
()1,0- D.
()
4,0-2.复数i
1i
=
-z （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.函数()ln f x x x =的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
4.已知直线220x y +-=与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点，则AB =（）
A.
B.5
C. D.5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为264，所有偶数项的和为253，则此数列的项数是（）
A.43
B.45
C.47
D.49
6.已知函数()2
2
11x f x x
-=+，则不等式()()211f x f x -<-的解集为（）A.
()
,0∞- B.2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C.20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
D.()2
,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪
⎝⎭
7.函数()()2sin f x x ωϕ=+，（0ω>，π02ϕ<<）满足()01f =，且()y f x =在区间π,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围为（）
A.
()
5,7 B.11
,82⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
C.1319,22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D.
[)
4,88.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，1BP BB λ= ，1BQ BC μ=
，λ，
()0,1μ∈，则下列说法不正确的是（
）
A.λμ=时，11//B C 平面1D PQ
B.1
2λ=
时，四面体1APQD 的体积为定值C.1
2
μ=时，()0,1λ∃∈，使得1A Q ⊥平面1D PA
D.若三棱锥P CBD -的外接球表面积为
414
π，则34λ=二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知向量a ，b
不共线且0a b ⋅= ，则下列结论一定正确的是（
）
A.0a = 或0
b = B.a b
⊥ C.a b a b
+=- D.a ，b 在a b +
上的投影向量相等
10.掷一枚质地均匀的骰子两次，
记向上的点数分别为m ，n ，记事件A =“9m n +>”，B =“mn 为偶数”，C =“m n +为奇数”，则（
）
A
.
()1
6
p A =
B.()
15
p A B =
C.()
19
p A C =
D.B 与C 互斥
11.已知函数()3
233
a f x x ax ax
b =
--+，其中实数a ，b ∈R ，且0a >，则（）
A .
当1a =时，()f x 没有极值点
B.当()f x 有且仅有3个零点时，5,93b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
C.当11
3
b a =
时，()1f x +为奇函数D.当,3a m b ⎛⎫
∈++∞
⎪⎝⎭
时，过点()0,A m 作曲线()f x 的切线有且只有1条三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知圆锥的底面直径为
，母线长为2，则此圆锥的体积是______.13.已知数列{}1n a -是首项为2
3，公比为13
的等比数列，且123100n a a a a +++⋅⋅⋅+<，则n 的最大值为______.
14.已知双曲线E ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .过点2F 的直线与y 轴交于
点B ，与E 交于点A ，且2232F B F A =-
，点1F 在以AB 为直径的圆上，则E 的渐近线方程为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 为BC 边的中点.
（1）证明：1//A B 平面1ADC ；
（2）若2AB =，三棱锥1C ADC -的体积为3
3
，求二面角1D AC C --的余弦值.16.已知函数()()ln 1f x x a x =++，a ∈R .
（1）若()f x 在点()1,1处的切线的斜率为1，求()f x 的极值；（2）若1a =，证明：当01x <<时，()f x x <.
17.锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c π32sin 3b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
.（1）求角C 的大小；（273a c =，求
11
tan tan A B
+
的值.18.已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个顶点为()0,1A ，离心率为3
2
.
（1）求E 的方程；
（2）设()1,0M -，直线x n =（n ∈R 且1n ≠-）与E 交于不同的两点B ，C ，若直线BM 与E 交于另一点D ，则直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
19.某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为13
，答错的概率都为2
3，
且每次答对与否相互独立.记第n 次答题得分为n X .（1）求()34p X =；
（2）求n X （2n ≥）的分布列和期望；
（3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第n 次得分刚好为n 时，则该同学获得胜利，
游戏结束.②从第1次开始，若第n次得分刚好为2n时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.
2024年茂名市普通高中高二年级教学质量监测
数学试卷
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合
104x A x x ⎧⎫+=<⎨⎬
-⎩⎭，{}0B x x =>，则A B = （）
A.
()
0,1 B.
()
0,4 C.
()1,0- D.
()
4,0-【答案】B 【解析】
【分析】求出集合A ，根据集合的交集运算进行求解.【详解】由题可得{}1
0|144x A x x x x ⎧
⎫+=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，则()0,4A B = ，
故选：B 2.复数i
1i
=
-z （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】B 【解析】【详解】1i z i =
-(1)11222i i i +==-+,对应点为11(,)22
-,位于第二象限,选B.3.函数()ln f x x x =的图象大致为（
）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除C,D ，在根据01x <<时，()0f x <排除B,进而得答案.
【详解】因为()()ln ln f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数，排除C ，D.
当01x <<时，ln 0x <，()0f x <，排除B.故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4.已知直线220x y +-=与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点，则AB =（）
A.
B.5
C. D.【答案】B 【解析】
【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案.【详解】将220x y +-=与抛物线2:4C y x =联立得2310x x -+=，
设()()1122,,,A x y B x y ，
显然抛物线焦点坐标为()1,0，令1x =，即220y +-=，则0y =，则直线过焦点，则12325AB x x p =++=+=.故选：B.
5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为264，所有偶数项的和为253，则此数列的项数是（）
A.43
B.45
C.47
D.49
【答案】C 【解析】
【分析】根据等差数列的性质与其前n 项和的性质求解即可.【详解】设该等差数列中有(
)*
21,1,n n n +≥∈N
项，其中偶数项有n 项，奇数项有1n +项，
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则
()121
13521222462122
n n n
n
a a n S a a a a a a S a a a a n +++⨯+++++=
=+++++⨯ 奇偶
，{}n a 为等差数列，12122n n a a a a +∴+=+，1264
253
S n S n +∴=
=奇偶
，解得23n =，2147n ∴+=，∴此数列的项数是47项.
故选：C .
6.已知函数()2
2
11x f x x
-=+，则不等式()()211f x f x -<-的解集为（）
A.
()
,0∞- B.2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C.20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
D.()2
,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪
⎝⎭
【答案】D 【解析】
【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到|21||1|x x ->-，解出即可.
【详解】由2
2
1()1x
f x x -=+可得x ∈R 且()
()
2
22211()11x x f x x x ----==++-，则()f x 为偶函数，
()
2
2222
1212()1111x x f x x x x -++-===-+
+++，
因为21y x =+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则210y x =+>恒成立，则()f x 在(0,)+∞单调递减，在(,0)-∞单调递增，
(21)(1),|21||1|f x f x x x -<-∴->- ，解得0x <或2
3
x >
.故选：D.
7.函数()()2sin f x x ωϕ=+，（0ω>，π02ϕ<<）满足()01f =，且()y f x =在区间π,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围为（）
A.
()
5,7 B.11
,82⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
C.1319,22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D.
[)
4,8【答案】C 【解析】
【分析】代入()01f =解出π6ϕ=
，再利用整体法得到(]ππ
3π,2π36ω-
+∈--，解出即可.【详解】ππ
(0)2sin 1,0,26
f ϕϕϕ==<<∴=，
π()2sin 6f x x ω⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，因为π,03x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，0ω>，则ππππ,6366x ωω⎡⎤+∈-+⎢⎥
⎣
⎦因为()y f x =在区间π,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上有且仅有3个零点，且sin y x =在零点0之前的三个零点依次为
3π,2π,π---，
则(]ππ3π,2π36ω-
+∈--，解得1319,22ω⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
.故选：C.
8.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，1BP BB λ= ，1BQ BC μ=
，λ，
()0,1μ∈，则下列说法不正确的是（
）
A.λμ=时，11//B C 平面1D PQ
B.1
2λ=时，四面体1APQD 的体积为定值C.1
2
μ=时，()0,1λ∃∈，使得1A Q ⊥平面1D PA
D.若三棱锥P CBD -的外接球表面积为
414
π，则34λ=【答案】C 【解析】
【分析】利用线面平行的判定推理判断A ；由线面平行确定点Q 到平面1AD P 的距离是定值判断B ；由空间向量数量积的运算律计算判断C ；求出外接球半径计算判断D.
【详解】对于A ，当λμ=时，1111()PQ BQ BP BC BB B C λλ=-=-=
，即11//PQ B C ，
而PQ ⊂平面1D PQ ，11B C ⊄平面1D PQ ，因此11//B C 平面1D PQ ，A 正确；对于B ，正方体1111ABCD A B C D -中，当1
2
λ=
时，1AD P △面积是定值，又11//BC AD ，1AD ⊂平面1AD P ，1BC ⊄平面1AD P ，则1//BC 平面1AD P ，于是点Q 到平面1AD P 的距离是定值，因此四面体1APQD 的体积为定值，B 正确；
对于C ，当1
2μ=时，11111111()222
A Q BQ BA BC BA B
B BA BB =-=-+=--+ ，
而1AP BP BA BB BA λ=-=-
，则11111()()
22
A Q AP BA B
B B
C BB BA λ⋅=--+⋅- 22114202
BB BA λλ=-+=-≠
，因此1AQ 不垂直于AP ，不存在(0,1)λ∈，使得1A Q ⊥平面1D PA ，C
错误；
对于D ，显然BP ⊥平面ABCD ，则三棱锥P CBD -与以线段,,BA BC BP 为棱的长方体有相同的外接球，令球半径为R ，则2222222(2)2R λλ=
++=+，
球的表面积2
2
41π
4π4(2)π4
S R λ==+=，解得34λ=，D 正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确定球半径求解.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知向量a ，b
不共线且0a b ⋅= ，则下列结论一定正确的是（）
A.0a = 或0
b = B.a b
⊥
C.
a b a b +=- D.a ，b 在a b +
上的投影向量相等
【答案】BC 【解析】
【分析】根据向量垂直的向量表示即可判断AB ；根据向量加减法的几何意义或者根据向量数量积的运算律即可判断C ；举出反例即可判断D.
【详解】对AB ，0,a b a b ⋅=∴⊥
，A 选项错误；B 选项正确；
对C ，由向量加法和减法的几何意义，||,||a b a b +-
是矩形的两条对角线长度是相等的，选项C 正确；
或者由0a b ⋅= ，则222222a a a b b a b b -= ，
则()()
22
a b a b +=- =
，则a b a b +=-
，故C 正确；
对D ，根据矩形性质知a ，b 在a b +上在a b +上的投影向量的模不一定相等，
如图所示：,,OA a OB b OC a b ===+ ，且a b ⊥
，a ，b 在a b +
上的投影向量分别为,OD OE ，故D 选项错误.
故选：BC.
10.掷一枚质地均匀的骰子两次，
记向上的点数分别为m ，n ，记事件A =“9m n +>”，B =“mn 为偶数”，C =“m n +为奇数”，则（
）
A.()1
6
p A = B.()
15
p A B =
C.()
19
p A C =
D.B 与C 互斥
【答案】AC 【解析】
【分析】列出所有满足题意的情况，根据古典概型公式即可判断A ；求出事件B ，AB ，AC 的情况，再利用条件概率公式即可判断BC ；再根据互斥事件的判定方法即可判断D.【详解】掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有36种.对A ，事件A =“9m n +>”的可能结果有6种，即()()()()()(){}()61
4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6,366
A p A =
∴==，选项A 正确；对B ，事件B =“mn 为偶数”的可能结果有1
1
1
1
3633C C C C 27⋅+⋅=种，事件AB =“mn 为偶数且9m n +>”的可能结果有5种，
()5
(|)()27
p AB p A B p B ∴=
=，选项B 错误；对C ，事件C =“m n +为奇数”的可能结果有1
1
1
233C C C ⋅⋅=18种，事件AC =“m n +为奇数且9m n +>”的可能结果有2种.()()
21
(|)189
P AC p A C P C ∴==
=，选项C 正确；对D ，样本点为(3,4)时，说明B 与C 不互斥，选项D 不正确.故选：AC.
11.已知函数()3
233
a f x x ax ax
b =
--+，其中实数a ，b ∈R ，且0a >，则（）
A.当1a =时，()f x 没有极值点
B.当()f x 有且仅有3个零点时，5,93b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
C.当11
3
b a =
时，()1f x +为奇函数D.当,3a m b ⎛⎫
∈++∞
⎪⎝⎭
时，过点()0,A m 作曲线()f x 的切线有且只有1条【答案】BCD 【解析】
【分析】对A ，直接代入求导即可得到其极值点；对B ，求导得到()f x 的单调性，再根据其零点个数得到
不等式组，解出即可；对C ，代入11
3
b a =
，化简()1f x +即可；对D ，设切点，求出切线方程，代入()0,A m ，再转化得13m b a ->，转化为直线m b
y a
-=与()0g x 的交点个数问题.【详解】对A ，当1a =时，32
1()33
f x x x x =--+b ，
则2()23(3)(1)f x x x x x '=--=-+，当13x -<<时，()0f x '<，当1x <-或3x <时，()0f x '>，
所以1,3x x =-=分别是函数()f x 的极大值点和极小值点，选项A 错误；对B ，当3
2()33
a f x x ax ax
b =
--+时，()(1)(3)f x a x x '=+-，当13x -<<，()0f x '<，当1x <-或3x >时，()0f x '>，即()f x 在(1,3)-上单调递减，在(,1)-∞-和(3,)+∞上单调递增.当()f x 有且仅有3个零点时，
(1)0f ->且(3)0f <得
53
+>0
−9+<0
，
得
5,93b a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，故B 正确；对C ，当113
b a =
时，()3211333a f x x ax ax a =--+，
()()()32
311(1)11314333
a a f x x a x a x a x ax +=+-+-++=-，
设()343a h x x ax =
-，定义域为R ，且()()()()334433a a h x x a x x ax h x ⎛⎫
-=---=--=- ⎪⎝⎭
，
所以(1)f x +为奇函数，选项C 正确；对D ，(0)3
a
f b b m =<
+< ，(0,)A m ∴不在曲线()f x 上.设过点(0,)A m 的曲线()f x 切线的切点为32
0000,33a x x ax ax b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
，(0)f b =，
∴过点(0,)A m 的曲线()f x 切线的方程为()
()322
0000003233a y x ax ax b ax ax a x x ⎛⎫---+=---
⎪⎝⎭
，又点(0,)A m 在()f x 的切线上，有()
3220000003233a m x ax ax b ax ax a x ⎛⎫---+=--- ⎪⎝⎭
，即2
30023m b x x a
--
=，设()232
300022,()33g x x x g x x x =-=-，2()222(1)g x x x x x '=-=-，
当0x <或1x >时，()0,()g x g x <'单调递减，当01x <<时，()0,()g x g x >'单调递增，则()1
(1)3
g x g ==
极大值，()(0)0g x g ==极小值，
∵∈
s +∞,∴
K
>13
，根据图象知()g x 与m b
y a
-=
只有一个交点，选项D 正确.故选；BCD.
【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将(0,)A m 代入切线方程得
230023m b x x a --
=，最后转化为直线m b
y a
-=与函数()g x 的交点个数问题.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知圆锥的底面直径为
，母线长为2，则此圆锥的体积是______.
【答案】π3
【解析】
【分析】求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可求出答案.【详解】记圆锥的底面半径为r ，母线为l ，高为d ，
则d ==
=21ππ33
V r d ∴=⋅=
，
故答案为：
π3
.13.已知数列{}1n a -是首项为2
3，公比为13
的等比数列，且123100n a a a a +++⋅⋅⋅+<，则n 的最大值为______.【答案】99【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法及等比数列前n 项和公式求和，然后借助数列单调性求解即得.【详解】依题意，1
211()33n n a --=
⨯，则213
n n a =+，
数列{}n a 的前n 项和21(113311313
n n n
S n n -=+=+--，显然数列{}n S 是递增数列，
而100991009911
1001100,99110033
S S =+->=+-<，
所以使得123100n a a a a +++⋅⋅⋅+<成立的n 的最大值为99.故答案为：99
14.已知双曲线E ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .过点2F 的直线与y 轴交于
点B ，与E 交于点A ，且2232
F B F A =-
，点1F 在以AB 为直径的圆上，则E 的渐近线方程为______.
【答案】5
y x =±【解析】
【分析】设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，利用勾股定理得到
a m =，则得到124
cos 5
F AF ∠=
，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可.【详解】依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，因为点1F 在以AB 为直径的圆上，则190AF B ∠= ，
在Rt 1ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-(舍去)，所以12214,2,3AF a AF a BF BF a ====，则||5AB a =，故11244cos 55
AF a F AF AB
a ∠=
=
=，所以在12AF F △中，12cos F AF ∠=
22216444
2425
a a c a a +-=⨯⨯，整理得2
2
59c a =，则(
)
22
2
59a b
a +=，则22
54b a =，则2
245
b a =，故E
的渐近线方程为5
y x =±
.
故答案为：5
y x =±
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到124
cos 5
F AF ∠=，最后再利用余弦定理得到齐次方程，
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 为BC 边的中点.
（1）证明：1//A B 平面1ADC ；
（2）若2AB =，三棱锥1C ADC -的体积为3
，求二面角1D AC C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析
（2）
5
【解析】
【分析】（1）证明1//DE A B ，利用线面平行的判定即可证明；
（2）利用等体积法求出12CC =，再建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用面面角的夹角公式即可.【小问1详解】
连接1AC ，与1AC 交于点E ，连接DE ，
,D E 分别为1,BC A C 边的中点，1//DE A B ∴；
又DE ⊂平面11,ADC A B ⊄平面1ADC ，1//A B ∴平面1ADC
.
【小问2详解】
1111
3ADC
C ADC C ADC V V CC S --==⋅ 三棱锥三棱锥1133
,2323
CC CC =
⋅=∴=，正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，1BB AD ∴⊥，又ABC 是正三角形，D 是BC 边的中点，BC AD ∴⊥，
又1BC BB B = ，且1,BC BB ⊂平面11BB C C ，AD ∴⊥平面11BB C C ，取11B C 的中点1D ，则1,,DC DA DD 两两垂直，
故以D 为原点，1,,DA DB DD 分别为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系；
则1(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0)D A C C --
，
11(0,1,2),(0,0,2),DA DC CC CA ∴==-==
，
记平面1DAC ，平面1AC C 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==
，则11100DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，21200
CA n CC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即1110200y z ⎧=⎪⎨-+==⎪⎩
，222200z y =⎧⎪+=，故可取121,1z x ==
，则12(0,2,1),(1,n n ==
，12
1212
cos ,5n n n n n n ⋅∴==-
，
又二面角1D AC C --所成的平面角是锐角，故其余弦值为
15
5
.
16.已知函数()()ln 1f x x a x =++，a ∈R .
（1）若()f x 在点()1,1处的切线的斜率为1，求()f x 的极值；（2）若1a =，证明：当01x <<时，()f x x <.【答案】（1）极小值为1
1e
-+，无极大值
（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）由()11f '=求出a ，再由导致求出极值即可；（2）令()()g x f x x =-，得()1ln g x x x
'=+
，再构造函数()1
ln h x x x =+，利用导数求出()()10
h x h >>可得()g x 的单调性，结合()g x 在01x <<上最值情况可得答案.【小问1详解】
()()ln 0+'=+
>x a
f x x x x
，若()f x 在点()1,1处的切线的斜率为1，则()111f a ='+=，解得0a =，所以()ln 1f x x x =+，
()()ln 10f x x x '=+>，
令()ln 10f x x '=+=，解得1e
x =，当1
0e
x <<时，()0f x '<，所以()f x 单调递减，当1
e
x >
时，()0f x ¢>，所以()f x 单调递增，所以()f x 在1e x =有极小值，为111
1ln 11e e e
e ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭
f ，无极大值；【小问2详解】
若1a =，则()()1ln 1=++f x x x ，令()()g x f x x =-，
所以()11
ln 1ln +'=+
-=+x g x x x x x ，令()()1ln '==+h x g x x x ，则()22111
x h x x x x
-'=-=，
当01x <<时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，所以()()110h x h >=>，即()0g x '>，所以()g x 在()0,1x ∈上单调递增，所以()()12ln1110<=+-=g x g ，可得()()0=-<g x f x x ，即()f x x <.
17.锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c π2sin 3c A ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
.（1）求角C 的大小；
（23c =，求11
tan tan A B
+的值.【答案】（1）π3
C =
（2）
9
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式展开化简即可得到tan C =，则得到角C 的大小；
（2）记3a m =，则c =，再利用余弦定理得b m =或2b m =，再分类讨论即可.
【小问1详解】由正弦定理得：
13
2sin sin sin sin cos 22B C A A C A C A ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，
)cos cos B A C A C C A =+=+，
sin sin cos C A A C ∴=，又sin 0A ≠，
tan C ∴=π(0,π),3
C C ∈∴=
.【小问2详解】
记3a m =，则c =
；
由余弦定理222
cos 2a b c C ab +-=，即22219726m b m mb +-=，
b m ∴=，或2b m =，
b m =时，角A 对的边最大，且222cos 0
2b c a A bc +-=
==-，则A 是钝角，舍去；
2b m =时，角A 对的边最大，且222cos 0
214b c a A bc +-==>，符合.
又321(0,π),sin tan
14A A A ∈∴==；
222cos
27a c b B ac +-==，又(0,π)B ∈，
sin tan
72B B ∴==，1173
tan tan 9A B ∴
+=.
18.已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个顶点为()0,1A ，离心率为2
.
（1）求E 的方程；
（2）设()1,0M -，直线x n =（n ∈R 且1n ≠-）与E 交于不同的两点B ，C ，若直线BM 与E 交于另一点D ，则直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）过定点，定点坐标为(4,0)-.【解析】
【分析】（1）首先得到1b =，再根据离心率和,,a b c 关系即可得到方程组，解出即可；
（2）设直线BM 的方程为()()()1122111,,,,,,x my B x y D x y C x y =--，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算直线CD 的方程，令0y =化解即可.【小问1详解】由题意可得，1b =，
又由22112a c c a ⎧=+⎪
⎨=⎪
⎩
，得2,a c ==所以E 的方程为2
214
x y +=.
【小问2详解】
显然直线BM 的斜率不为0，
设直线BM 的方程为()()()1122111,,,,,,x my B x y D x y C x y =--，
由22
114
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()
224230m y my +--=，()()
222,Δ(2)44(3)1630m m m m ∀∈=--+-=+>R ，
所以121222
23
,44m y y y y m m
-+=
⋅=++，直线CD 的方程为()12
2212
y y y x x y x x --=
-+-，
根据BC 的对称性可知，若直线CD 恒过定点，则定点在x 轴上，令0y =，解得()2121221212
12
y x x x y x y x x y y y y -+=+
=
++()()1221
12
12
12
1121my y my y my y y y y y -+-=
=
-++22
3
241424m m m m -⋅
+=
-=-+所以直线CD 过定点(4,0)-.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再写出直线CD 的表达式，令0y =计算x 为定值即可.
19.某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为13
，答错的概率都为2
3，
且每次答对与否相互独立.记第n 次答题得分为n X .（1）求()34p X =；
（2）求n X （2n ≥）的分布列和期望；
（3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第n 次得分刚好为n 时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第n 次得分刚好为2n 时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.【答案】（1）
2
27
（2）分别列见解析，()223n
n E X ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
（3）方案②【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）首先分析出n X 得可能取值，再按步骤列出分布列，最后利用期望公式和等比数列求和公式即可；（3）选择方案①，计算出()p A B +的值，选择方案②，计算出()p M Q +，两者比较大小即可.【小问1详解】
由题意可知34X =表示事件“第1次答错，第2，3次均答对”，
()32112433327
p X ==⨯⨯=【小问2详解】
n X 可取1,2,4,,2n 且1n X =表示事件“第n 次答错”，
所以()213
n p X ==
，当2n ≥时，2,1,2,3,,1k
n X k n ==- ，
表示事件“第n k -次答错，第1,2,,n k n k n -+-+ 次均答对”，所以(
)
1212
2
,1,2,3333
k
k
n k p X k +⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，,1n - ，2n n X =表示事件“第1,2,3,,n 次都答对”(
)
112
33n
n
n n p X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，
所以(
)
12
,0,1,2,1,3
2
1,,3k k
n n
k n p X k n +⎧=-⎪⎪==⎨
⎪=⎪⎩ 所以n X 的分布列为：
n
X 124
L 12n -2n p
23
22
33
23L
23n
13n
()(
)()
1
10
022*********
2222
333313
n
n n
n
n k
k
k n n n k n k k E X p X -+==⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦===⨯+⨯=
+
=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
-∑∑【小问3详解】
若选择方案①，n 只可能为2，4，即:2X =42,4X =，
22X =表示事件A =“第1次答错，第2次答对”，44X =表示事件B =“第2次答错，第3、4次均答对"，
因为A 、B 互斥，所以23228
()()()3327
p A B p A p B +=+=
+=若选择方案②，n 只可能为1，2，4，即:122,X X ==44,8X =，
12X =表示事件M =“第1次答对”；24X =表示事件N =“第1、2次均答对”，
而第1次答对的话，游戏已结束，故不需要考虑这种情况；
48X =表示事件Q =“第1次答错，第2，3，4次均答对”；
因为M 与Q 互斥，所以()()()
p M Q p M p Q +=+4122924833818127
=+=>=，所以应该选择方案②.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到n X ，再利用等比数列的性质得到
()
1
2
,0,1,2,1,321,,3k k
n n
k n p X k n +⎧=-⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ ，最后列出分布列，再求出期望即可.。