辽宁省六校协作校2018-2019学年高一(下)期开学考试数学试题(2月份)(解析版)

辽宁省六校协作校2018-2019学年高一（下）期开学考试数学试卷（2月份）
一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出．
【详解】∵，，
∴={﹣1，2}
∵，
∴
故选：A．
【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2.函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零列不等式，解得定义域.
【详解】由题意得：，选B.
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力，属于基础题.
3.如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）
A. B. 4 C. 9 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则求出mn的值，利用基本不等式求出m+n的最值．
【详解】∵log3m+log3n＝4
∴m＞0，n＞0，mn＝34＝81
∴m+n
答案为18
故选：D．
【点睛】本题考查对数的运算法则、对数方程的解法，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
4.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC的四个面中，直角三角形的个数有（）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得出三角形ABC是直角三角形，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，
又可证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决．
【详解】∵AB是圆O的直径
∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形
又∵PA⊥圆O所在平面，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
且BC在这个平面内，
∴PA⊥BC因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC，
∴△PBC是直角三角形．
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．
故选：A．
【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质定理的应用，要注意转化思想的应用，将线面垂直转化为线线垂直．
5.函数的零点所在的一个区间是（）
A. B. C. D.
【解析】
试题分析：，，又因为是一个连续的递增函数，故零点在区间内，选C.
考点：函数零点的概念及判定定理.
6.
对于空间中的直线m，n以及平面，，下列说法正确的是
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D.
，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间直线和平面的位置关系对四个选项逐一排除，由此确定正确的选项
【详解】对于A选项，可能异面，故A错误；对于B选项，可能有，故B错误；对于C选项，的夹角不一定为90°，故C错误；因为，故，因为，故，故D正确，故选D.
【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查直线和平面、平面和平面位置关系的判断，属于基础题.
7.使命题“对任意的x∈[1,2],”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
x2≤a,∴(x2)max≤a,
y=x2在[1,2]上为增函数,
∴a≥(x2)max=22=4.
∵a≥5⇒a≥4.反之不然.
故选C.
8.设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）
A. ，1，3
B. ，1
C. ，3
D. 1，3
【答案】D
【解析】
根据幂函数的性质，分别讨论为﹣1，1，，3时，函数的定义域和奇偶性，即可得到答案．
【详解】当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；
当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；
当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；
当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数的关系，是解答本题的关键，属于基础题．
9.能得出＜成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质和关系进行求解判断即可．
【详解】由得0，
∴当ab>0时，b-a<0,即有b<a<0或0<b<a，故A不成立，D成立；
当ab<0时，b-a>0,即有b>0>a，故C不成立，
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的关系和性质的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．
10.已知函数f（x）的定义域为R，对任意＜，有＞-1，且f（1）=1，下列命题正确的是（）
A. 是单调递减函数
B. 是单调递增函数
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，设g（x）＝f（x）+x，结合题意利用函数单调性的定义可得函数g（x）在R上为增函数，利用f（1）
的值求出g（1）的值，据此分析原不等式可以转化为0＜＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，设g（x）＝f（x）+x，
若函数f（x）满足对任意＜，有1，
则0，则函数g（x）在R上为增函数，
又由f（1）＝1，则g（1）＝1+1＝2，
∴＜⇒+＜2,
⇒g（）＜g（1）⇒＜1⇒0＜＜2，
解可得：x＜1且x≠0，∴不等式的解集为；
则A、B、D错误，C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用，关键是构造新函数g（x）＝f（x）+x，属于中档题．
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，
例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则关于函数g（x）=[f（x）]的叙述正确的是（）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 的值域是0，
D. 的值域是
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得f（x）≠f（﹣x）且﹣f（x）≠f（﹣x），则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，可得A、B错误；分析函数的值域，可得f（x），结合高斯函数的定义分析可得C错误，D正确，即可得答案．【详解】根据题意，，则f（﹣x），
则f（x）≠f（﹣x）且﹣f（x）≠f（﹣x），则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，A、B错误；
函数，
又由＞0，则1+＞1，
则有，
则g（x）＝[f（x）]＝{﹣1，0}，C、错误，D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查函数值域的计算，关键是理解“高斯函数”的定义，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
12.函数恒过定点________
【答案】（3,4）.
【解析】
当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，∴f(x)必过定点(3，4)．
13.已知集合A为数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的______条件．
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
由集合交集的运算得：“A＝{0}”可推出“A∩{0，1}＝{0}”，通过举反例说明“A∩{0，1}＝{0}”不能推出“A ＝{0}”，即可得解．
【详解】由“A＝{0}”可推出“A∩{0，1}＝{0}”，
由“A∩{0，1}＝{0}”不能推出“A＝{0}”，比如可能是“A＝{0，2}”；
故“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件
【点睛】本题考查了集合交集的运算及必要充分条件，属于简单题．
14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是．
【答案】
【解析】
试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．
考点：正四棱柱外接球表面积．
15.已知函数，当x1≠x2时，，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分析函数的定义域，结合函数为减函数，进而可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数的定义域为（0，+∞）
若f（x）满足当x1≠x2时，，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
则必有，解可得0＜a，
即a的取值范围为（0，]；
故答案为：（0，]．
【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
16.不用计算器求下列各式的值
（1）；
（2）．
【答案】（1）-1（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则求解即可；（2）根据对数的运算法则、对数恒等式求解．
【详解】（1）原式．
（2）原式．
【点睛】本题考查指数幂的运算和对数的运算，解题时根据相应的运算性质求解即可，属于基础题．
17.（1）函数f（x）=log3（-x2+6x-8）的定义域为集合A，求集合A；
（2）函数g，求g（x）的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，﹣x2+6x﹣8＞0，解不等式可求；
（2）结合对数的运算性质先对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题意可得，﹣x2+6x﹣8＞0，
解不等式可得，2＜x＜4，
A＝{x|2＜x＜4}；
（2）∵g，
令t＝log2x，则t∈（1，2），
∵g（t）＝﹣t2+t+2在（1，2）上单调递减，
∴g（2）＜g（t）＜g（1），
即0＜g（t）＜2，
即g（x）的值域为（0，2）．
【点睛】本题主要考查了对数函数的性质及对数运算性质的简单应用，二次函数性质的应用是求解本题的关键．18.如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的高；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
【答案】（1）h＝3－3x（2）当时，它的侧面积最大为π
【解析】
【分析】
(1)利用圆锥轴截面的特征可得圆柱的高h可表示为h＝3－3x.
(2)由题意可得S圆柱侧＝6π(x－x2)，利用二次函数的性质可得当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.
【详解】(1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，
BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，
由图，得＝，即h＝3－3x.
(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，
当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值为π.
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.
【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构特征，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b的关系（图象如图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元，
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
【答案】(1) y＝－x＋1000(500≤x≤800)
(2) 销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件
【解析】
解：（1）由图像可知，，解得，，
所以．……4分
（2）①由（1）,
，．……6分
②由①可知，，其图像开口向下，对称轴为，
所以当时，．……9分
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．…10分
20.如图，直三棱柱的所有棱长都是2，D，E分别是AC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
(1)要证平面，转证平面平面ABC且即可；(2)点到平面的距离等于点A到平面
的距离，利用等积法得到所求的体积.
【详解】（1）∵，D是AC的中点，∴，
∵直三棱柱中平面ABC，∴平面平面ABC，
∴平面，∴．
又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，∴．
又，∴平面．
（2）连结交于O，
∵O为的中点，
∴点到平面的距离等于点A到平面的距离．
∴．
【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：
（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；
（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.
（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.
21.已知函数.
（1）用定义证明函数在上是增函数；
（2）探究是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，解不等式.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）任取，作差、化简利用指数函数的单调性可得，从而可得结论；（2）利用
，根据指数幂的运算法则化简可得，从而可求得的值；（3）利用函数的奇偶性化简原不等式可得，利用函数的单调性化简可得，解不等式即可的结果.
试题解析：（1）任取且，
则
在R上是增函数，且，，，，
，即函数在上是增函数.
（2）是奇函数，则，
即
，故.
当时，是奇函数.
（3）在（2）的条件下，是奇函数，则由可得：，
又在上是增函数，则得，.
故原不等式的解集为：.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；
（3）判断的符号，可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.。