河南省宝丰市2024届数学九年级第一学期期末联考试题含解析

河南省宝丰市2024届数学九年级第一学期期末联考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )
A ．23︒
B ．28︒
C ．62︒
D ．67︒
2．若32x y =，则下列等式一定成立的是（ ）
A ．32x y =
B ．6xy =
C ．23x y =
D ．2
3y
x =
3．将抛物线y ＝(x －3)2－2向左平移（ ）个单位后经过点A （2，2）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知3x ＝4y ，则x
y ＝( )
A ．4
3 B ．3
4 C ．3
4- D ．以上都不对
5．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表： x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
则下列判断中正确的是（ ）
A ．抛物线开口向上
B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x=﹣1时y ＞0
D ．方程ax 2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间
6．2020-的绝对值是（ ）
A ．2020-
B ．2020
C ．12020-
D ．12020
7．如图，点A 、B 、C 是O 上的点，OB AC ∥，连结BC 交OA 于点D ，若60ADB ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）
A ．30
B ．40︒
C ．45︒
D ．50︒
8．若式子13
x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x ≥ B ．3x ≤ C ．3x > D ．3x <
9．如图，把长40cm ，宽30cm 的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm （纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是9502cm ，则x 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．4.8
D ．5
10．已知点P （1，-3）在反比例函数k y (k 0)x =
≠的图象上，则k 的值是 A ．3 B ．-3 C ．
D ． 11．已知点(2,)A a -，(2,)B b ，(4,)C c 是抛物线24y x x =-上的三点，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b c a >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
12．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A ．对角线互相垂直且相等的四边形
B ．对角线互相垂直的四边形
C ．对角线相等的平行四边形
D ．对角线互相平分且垂直的四边形
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若b 1a 40-+-=，且一元二次方程20kx ax b ++=有实数根，则k 的取值范围
是 .
14．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m 2，则道路的宽为 ．
15．已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差
2
S 1.3275=甲，乙种棉花的纤维长度的方差2
S 1.8775=乙，则甲、乙两种棉花质量较好的是 ▲ ．
16．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝6，那么cos B 的值＝_____．
17．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为
21(4)312
y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ．
18．已知两个相似三角形的相似比为2︰5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：将点P 沿向右或向上的方向平移一次，平移距离为d （d ＞0）个长度单位，平移后的点记为P′，若点P′在图形G 上，则称点P 为图形G 的“达成点”．特别地，当点P 在图形G 上时，点P 是图形G 的“达成点”．例如，点P （﹣1，0）是直线y ＝x 的“达成点”．
已知⊙O 的半径为1，直线l ：y ＝﹣x+b ．
（1）当b ＝﹣3时，
①在O （0，0），A （﹣4，1），B （﹣4，﹣1）三点中，是直线l 的“达成点”的是：_____；
②若直线l 上的点M （m ，n ）是⊙O 的“达成点”，求m 的取值范围；
（2）点P 在直线l 上，且点P 是⊙O 的“达成点”．若所有满足条件的点P 构成一条长度不为0的线段，请直接写出b 的取值范围．
20．（8分）某服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利l200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么每件服装应降价多少元？
21．（8分）（1）解方程：x 2+4x -1＝0
（2）已知α为锐角，若()3sin -152
α=α的度数. 22．（10分）某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m 比赛，预赛分A 、B 、C 三组进行，运动员通过抽签决定分组．
（1）甲分到A 组的概率为 ；
（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．
23．（10分）2020年元且，某商场为促销举办抽奖活动．规则如下：在一个不透明的纸盒里，装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．顾客每次摸出1个球，若摸到红球，则获得一份奖品；若摸到黑球，则没有奖品． （1）如果张大妈只有一次摸球机会，那么张大妈获得奖品的概率是 ．
（2）如果张大妈有两次摸球机会（摸出后不放回），请用“树状图”或“列表”的方法，求张大妈获得两份奖品的概率．
24．（10分）计算：2sin30°﹣（π2）031|+（12
）﹣1 25．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
26．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点E 在O 外，连接CE ，ACB ∠的平分线交O 于点D .
（1）若BCE BAC ∠=∠，求证：CE 是O 的切线； （2）若4=AD ，3BC =，求弦AC 的长.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD ，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD 度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.
【题目详解】解：∵菱形ABCD
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADC
∴∠ABD=∠CBD
又∵134A ∠=︒
∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=
12
(180°-134°)=23° ∴BEC ∠=90°
-23°=67° 故答案为D.
【题目点拨】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.
2、D 【分析】根据比例的性质a c b d
=，则ad=bc ，逐个判断可得答案． 【题目详解】解：由32x y
=可得：2x=3y A. 32x y =，此选项不符合题意
B. 6xy =，此选项不符合题意
C. 23
x y =，则3x=2y ，此选项不符合题意 D. 23
y x =，则2x=3y ，正确 故选：D
【题目点拨】 本题考查比例的性质，解题关键在于掌握
a c
b d
=，则ad=bc. 3、C
【分析】直接利用二次函数平移规律结合二次函数图像上点的性质进而得出答案．
【题目详解】解：∵将抛物线()232y x =--向左平移后经过点()2,2A ∴设平移后的解析式为()232y x a =-+-
∴()2
2232a =-+-
∴3a =或1a =-（不合题意舍去）
∴将抛物线()232y x =--向左平移3个单位后经过点()2,2A ． 故选：C
【题目点拨】
本题主要考查的是二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
4、A
【分析】根据3x ＝4y 得出x ＝
43
y ，再代入要求的式子进行计算即可． 【题目详解】∵3x ＝4y ，
∴x ＝43
y ， ∴x y ＝43y y ＝43； 故选：A ．
【题目点拨】
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质即两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
5、D
【分析】根据表中的对应值，求出二次函数2
y ax bx c =++的表达式即可求解．
【题目详解】解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴二次函数表达式为232y x x =-++
∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；
∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；
当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；
令0y =，得2320x x -++=
，解得：132x =
，232
x =
∵10-，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．
6、B
【分析】根据绝对值的定义直接解答．
【题目详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2121|＝2121，
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是1．
7、B
【分析】根据平行可得，∠A=∠O ，据圆周角定理可得，∠C=
12∠O ，结合外角的性质得出∠ADB=∠C+∠A=60°，可求出结果．
【题目详解】解：∵OB ∥AC ，∠A=∠O ，
又∠C=12
∠O ， ∴∠ADB=∠C+∠A=
12∠O +∠O=60°， ∴∠O=40°．
故选：B ．
【题目点拨】
本题主要考查圆周角定理、平行线的性质以及外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
8、C
【解题分析】直接利用二次根式的定义即可得出答案．
∴x 的取值范围是：x ＞1．
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解答本题的关键．
9、D
【分析】观察图形可知阴影部分小长方形的长为402()2
x x cm -+
，再根据去除阴影部分的面积为9502cm ，列一元二次方程求解即可．
【题目详解】解：由图可得出， 2402403022()9502x x x x
整理，得，2201250x x
解得，125,25x x （不合题意，舍去）．
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．
10、B
【解题分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P （1，-1）代入k y x =，得k 31-=，解得k=－1．故选B ．
11、D
【分析】将A ，B ，C 三点坐标分别代入抛物线24y x x =-，然后化简计算即可.
【题目详解】解：∵点(2,)A a -，(2,)B b ，(4,)C c 是抛物线2
4y x x =-上的三点，
∴()()224212a =--⨯-=， 22424b =-⨯=-，
24440c =-⨯=.
∴a c b >>
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a ，b ，c 是解题的关键．
12、D
【解题分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．
【题目详解】解：A 、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B 、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C 、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、k 4≤且k 0≠． 【解题分析】试题分析：∵b 1a 40-+-=，b 10b 1{{a 40a 4
-==⇒-==. ∴一元二次方程为
. ∵一元二次方程有实数根，
∴2k 0{k 444k 0
≠⇒≤∆=-≥且k 0≠. 考点: （1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.
14、2m
【解题分析】试题分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x ）（20-x ）米2，进而即可列出方程，求出答案．
试题解析：
解：设道路宽为x 米
（32-x ）(20-x)=540
解得：x 1=2，x 2=50（不合题意，舍去）
∴x=2
答：设道路宽为2米
考点：1、一元二次方程的应用；2、数形结合的思想．
15、甲．
【解题分析】方差的运用．
【分析】方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相
同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．由于2
2
S S <甲乙，因此，甲、乙两种棉花质量较好的是甲． 16、
【解题分析】作AD ⊥BC 于D 点，根据等腰三角形的性质得到BD ＝BC ＝3，然后根据余弦的定义求解．
【题目详解】解：如图，作AD ⊥BC 于D 点，
∵AB ＝AC ＝4，BC ＝6，
∴BD ＝BC ＝3，
在Rt △ABD 中，cos B ＝＝． 故答案为．
【题目点拨】
本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质．
17、10
【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令0y =，求出x 的值，x 的正值即为所求． 【题目详解】在函数式21(4)312
y x =--+中，令0y =，得 21(4)3012
x --+=，解得110x =，22x =-（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m.
【题目点拨】
本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是21(4)312
y x =--+中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当0y =时，x 的正值代表的是铅球最终离原点的距离．
18、25
【解题分析】试题解析：∵两个相似三角形的相似比为2:5，
∴面积的比是4:25，
∵小三角形的面积为4，
∴大三角形的面积为25.
故答案为25.
点睛：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
三、解答题（共78分）
19、（1）①A，B；②﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；（2）﹣2≤b＜2．
【分析】（1）①根据“达成点”的定义即可解决问题．
②过点（0，1）和点（0，﹣1）作x轴的平行线分别交直线l于M1，M2，过点（1，0）和点（﹣1，0）作y轴的平行线分别交直线l于M3，M4，由此即可判断．
（2）当M2与M3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b，可得b＝﹣2；当直线l与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F，求出点E的坐标，即可判断．
【题目详解】（1）①∵b＝﹣3时，直线l：y＝﹣x﹣3，
∴直线l与x轴的交点为：（﹣3，0），直线l与y轴的交点为：（0，﹣3），
∴O（0，0）在直线l的上方，
∴O（0，0）不是直线l的“达成点”，
∵当x＝﹣4时，y＝4﹣3＝1，
∴点A（﹣4，1）在直线l上，
∴点A是直线l的“达成点”，
∵点B（﹣4，﹣1）在直线l的下方，把点B（﹣4，﹣1）向上平移2个长度单位为（﹣4，1），
∴点B是直线l的“达成点”，
故答案为：A，B；
②设直线l：y＝﹣x﹣3，分别与直线y＝1、y＝﹣1、x＝﹣1、x＝1依次交于点M1、M2、M3、M4，如图1所示：
则点M1，M2，M3，M4的横坐标分别为﹣4、﹣2、﹣1、1，
线段M1M2上的点向右的方向平移与⊙O能相交，线段M3M4上的点向上的方向平移与⊙O能相交，
∴线段M1M2和线段M3M4上的点是⊙O的“达成点”，
∴m的取值范围是﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；
（2）如图2所示：
当M 2与M 3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b ，∴b ＝﹣2；
②当直线l 与⊙O 相切时，设切点为E ，交y 轴于F ．
由题意，在Rt △OEF 中，∠OEF ＝90°，OE ＝1，∠EOF ＝45°，
∴△OEF 是等腰直角三角形，
∴OF ＝2OE 2；
观察图象可知满足条件的b 的值为﹣2≤b 2．
【题目点拨】
本题是圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P 为图形G 的“达成点”的定义、等腰直角三角形的判定与性质、切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考压轴题．
20、每件童装应降价20元．
【分析】设每件服装应降价x 元，根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去．
【题目详解】设每件服装应降价x 元，
由题意，得(9050)(202)1200x x --+=，
解得110x =，220x =，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=1．
故每件服装应降价1元．
21、（1）125x =-， 225x =-（2）75°.
【分析】（1）用公式法即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数求解即可.
【题目详解】（1）∵()22
44411200b ac =-=-⨯⨯-=>⊿，
∴
24420
25
22
b b ac
x
a
-±--±
===-±，
∴
125
x=-+，
225
x=--，
（2）∵
3 sin60
2
︒=，
∴1560
α-︒=︒，
∴75
α=︒．
【题目点拨】
本题考查了利用公式法解一元二次方程和利用特殊角的三角函数值求角的度值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
22、（1）1
3
；（2）
1
3
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲分到A组的概率；
（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.
【题目详解】解：（1）1 3
（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结
果有3种，所以P(A)＝1
3
．
【题目点拨】
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
23、（1）1
2
；（2）
1
6
．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【题目详解】（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率＝2
4
＝
1
2
；
故答案为：1
2
；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2， 所以张大妈获得两份奖品的概率＝
212＝16． 【题目点拨】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．
24、
【解题分析】分析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
详解：原式=2×
12
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
25、（1）y=﹣5x 2+800x ﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y 最大值=4500；（3）70≤x≤1.
【分析】(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价.
(3) 根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的x 的取值范围应该在﹣5（x ﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
【题目详解】解：（1）y=（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）]
=（x ﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x 2+800x ﹣27500，
∴y=﹣5x 2+800x ﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x 2+800x ﹣27500=﹣5（x ﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y 最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x ﹣80）2+4500=4000，
解得x 1=70，x 2=1．
∴当70≤x≤1时，每天的销售利润不低于4000元．
【题目点拨】
本题主要考查二次函数的应用.
AC=.
26、（1）证明见解析；（2）23
【分析】（1）连接OC，利用直径所对的圆周角是直角，结合半径相等，利用等边对等角，证得∠OCE=90︒，即可证得结论；
（2）连接DB，证得△ADB为等腰直角三角形，可求得直径的长，再根据勾股定理求出AC即可．
【题目详解】（1）连接OC，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90︒，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BCE=∠BAC，
∴∠BCE=∠BAC=∠OCA，
∵∠OCA+∠OCB=90︒，
∴∠BCE +∠OCB=90︒，
∴∠OCE=90︒，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接DB，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90︒，
∵CD 平分∠ACB ，
∴AD DB =，
∴AD DB =，
∴△ADB 为等腰直角三角形， ∴242AB AD ==，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90︒， ∴()222242323AC AB BC =-=-=
【题目点拨】
本题考查了圆的切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理的应用，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．。