线性代数测试题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考虫 19 考研数学系统班线性代数测试题
（1）下列向量组中 a, b, c, d , e, f 均是常数,则线性无关的向量组是( )（4 分）
（A）1 (1, 1, 0, 2),2 (0,1, 1,1),3 (0, 0, 0, 0).
（B） 1 (a, b, c), 2 (b, c, d ), 3 (c, d, a), 4 (d, a, b).
（6 分）
（11）设 A 是 n 阶矩阵,1,2 ,3 是 n 维列向量,且1 0, A1 k1, A2 l1 k2 ,
பைடு நூலகம்
A3 l2 k3, l 0, 证明1,2 ,3 线性无关.（7 分）
（12）已知向量组1,2 , ,s 线性相关,向量组2 ,3, ,s ,s+1 线性无关.（7 分）
（5）计算 n 阶行列式 (n 2) :（6 分）
x1 a1 x1 x1
x2 x2 a2
x2
x3 x3 x3 a3
xn xn xn , ai 0,i 1, 2, , n.
x1
x2
x3
xn an
（6）当 取什么值时,下述齐次线性方程组有非零解?（6 分）
( 3)x1
x2
x1 ( 3)x2
（8）设 A 是四阶矩阵, r( A) 2,1,2 ,3 是 Ax b 的三个线性无关解,其中
1 2 1, 2,5,1 ,2 23 2,1,3, 3 ,53 31 1, 2,1, 1 , 求方程组 Ax b
的通解.（7 分） （9）线性方程组
x1x1
x2 x2
x3 x3
1, ,
x1
x2
x3
2.
为何值时,方程组无解? 为何值时,方程组有解?方程组有解时,求其全部解.（6 分）
（10）求向量组1 (1, 2,1, 3),2 (1,1, 1,1),3 (1, 3, 3, 5),4 (4, 5, 2, 6),
5 (3, 5, 1, 7) 的秩、极大线性无关组、并将其余的向量用极大无关组线性表出.
（16）设 A 是 n 阶实对称矩阵,满足 A2 2A, r( A) 2. 证明 A E 是正定阵,并计算
A2 A E .（7 分）
（17）用正交替换把下述二次型化成标准形:（6 分）
f (x, y, z) x2 2 y2 3z2 4xy 4 yz.
4 2 2
1 0 02000 1 2 3 0 0 12001 （3） 0 1 0 2 3 4 0 1 0 ________ . （4 分）
0 2 1 3 4 5 1 0 0
（4）若向量 1 (1, 2, t) 可由1 (2,1,1) ,2 (1, 2, 7) ,3 (1, 1, 4) 线性表出,则 t _______ . （4 分）
x3
x2 ( 3)x3
x4 0, 0,
x4 0,
x1
x3 ( 3)x4 0.
（7）解下列矩阵方程:（6 分）
1 0 1 2 3 1
（I）
0
4
2
X
1
1
0
;
1 1 0 2 1 1
1 0 1 2 3 1
（II）
X
0
4
2
1
1
0
.
1 1 0 2 1 1
（C）1 (a,1, b, 0, 0),2 (c, 0, d,1, 0),3 (e, 0, f , 0,1).
（D）1 (1, 2,1,5),2 (1, 2,3, 6),3 (1, 2,5, 7),4 (0, 0, 0,1).
2 1 1
（2）已知
A
6
3 3 , 则 An _______ . （4 分）
（I）问1 能否由2 ,3, ,s 线性表出,并说明理由.
（II）问s1 能否由1,2 , ,s 线性表出,并说明理由.
1 1 1 1
（13）设 A 1 1 1 1 , f (x) x3 2x 5, 问 B f ( A) 能否相似于对角阵.说 1 1 1 1
1 1 1
1
明理由?若能相似于对角阵,求可逆阵 P, 使得 P 1BP Λ. （7 分）
2 1 1 （14）设 Α 1 2 1 , 已知 (1, k,1) 是 Α1 的特征向量,求 k 及 Α1 的特征向量
1 1 2
所对应的特征值.（6 分）
（15）设 A 是三阶实对称矩阵, 1 1, 2 3 1 是 A 的特征值,对应于 1 1的特征向
量为1 (0,1,1) , 求 A.（7 分）
（1）下列向量组中 a, b, c, d , e, f 均是常数,则线性无关的向量组是( )（4 分）
（A）1 (1, 1, 0, 2),2 (0,1, 1,1),3 (0, 0, 0, 0).
（B） 1 (a, b, c), 2 (b, c, d ), 3 (c, d, a), 4 (d, a, b).
（6 分）
（11）设 A 是 n 阶矩阵,1,2 ,3 是 n 维列向量,且1 0, A1 k1, A2 l1 k2 ,
பைடு நூலகம்
A3 l2 k3, l 0, 证明1,2 ,3 线性无关.（7 分）
（12）已知向量组1,2 , ,s 线性相关,向量组2 ,3, ,s ,s+1 线性无关.（7 分）
（5）计算 n 阶行列式 (n 2) :（6 分）
x1 a1 x1 x1
x2 x2 a2
x2
x3 x3 x3 a3
xn xn xn , ai 0,i 1, 2, , n.
x1
x2
x3
xn an
（6）当 取什么值时,下述齐次线性方程组有非零解?（6 分）
( 3)x1
x2
x1 ( 3)x2
（8）设 A 是四阶矩阵, r( A) 2,1,2 ,3 是 Ax b 的三个线性无关解,其中
1 2 1, 2,5,1 ,2 23 2,1,3, 3 ,53 31 1, 2,1, 1 , 求方程组 Ax b
的通解.（7 分） （9）线性方程组
x1x1
x2 x2
x3 x3
1, ,
x1
x2
x3
2.
为何值时,方程组无解? 为何值时,方程组有解?方程组有解时,求其全部解.（6 分）
（10）求向量组1 (1, 2,1, 3),2 (1,1, 1,1),3 (1, 3, 3, 5),4 (4, 5, 2, 6),
5 (3, 5, 1, 7) 的秩、极大线性无关组、并将其余的向量用极大无关组线性表出.
（16）设 A 是 n 阶实对称矩阵,满足 A2 2A, r( A) 2. 证明 A E 是正定阵,并计算
A2 A E .（7 分）
（17）用正交替换把下述二次型化成标准形:（6 分）
f (x, y, z) x2 2 y2 3z2 4xy 4 yz.
4 2 2
1 0 02000 1 2 3 0 0 12001 （3） 0 1 0 2 3 4 0 1 0 ________ . （4 分）
0 2 1 3 4 5 1 0 0
（4）若向量 1 (1, 2, t) 可由1 (2,1,1) ,2 (1, 2, 7) ,3 (1, 1, 4) 线性表出,则 t _______ . （4 分）
x3
x2 ( 3)x3
x4 0, 0,
x4 0,
x1
x3 ( 3)x4 0.
（7）解下列矩阵方程:（6 分）
1 0 1 2 3 1
（I）
0
4
2
X
1
1
0
;
1 1 0 2 1 1
1 0 1 2 3 1
（II）
X
0
4
2
1
1
0
.
1 1 0 2 1 1
（C）1 (a,1, b, 0, 0),2 (c, 0, d,1, 0),3 (e, 0, f , 0,1).
（D）1 (1, 2,1,5),2 (1, 2,3, 6),3 (1, 2,5, 7),4 (0, 0, 0,1).
2 1 1
（2）已知
A
6
3 3 , 则 An _______ . （4 分）
（I）问1 能否由2 ,3, ,s 线性表出,并说明理由.
（II）问s1 能否由1,2 , ,s 线性表出,并说明理由.
1 1 1 1
（13）设 A 1 1 1 1 , f (x) x3 2x 5, 问 B f ( A) 能否相似于对角阵.说 1 1 1 1
1 1 1
1
明理由?若能相似于对角阵,求可逆阵 P, 使得 P 1BP Λ. （7 分）
2 1 1 （14）设 Α 1 2 1 , 已知 (1, k,1) 是 Α1 的特征向量,求 k 及 Α1 的特征向量
1 1 2
所对应的特征值.（6 分）
（15）设 A 是三阶实对称矩阵, 1 1, 2 3 1 是 A 的特征值,对应于 1 1的特征向
量为1 (0,1,1) , 求 A.（7 分）