2020-2021学年贵州省毕节市威宁县保家中学八年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年贵州省毕节市威宁县保家中学八年级（下）
期末数学试卷
1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，
则∠BED为( )
A. 45∘
B. 15∘
C. 10∘
D. 125∘
2.不等式2x−3<1的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
3.使分式1
x−3
有意义的x的取值范围是( )
A. x≠3
B. x≠−3
C. x≠0
D. x=3
4.若1
1−x +=3x−4
x−1
，则括号中的数是( )
A. 3
B. −3
C. 4
D. −4
5.某乡镇对公路进行补修，甲工程队计划用若干天完成此项目，甲工程队单独工作了
3天后，为缩短完成的时间，乙工程队加入此项目，且甲、乙工程队每天补修的工作量相同，结果提前3天完成，则甲工程队计划完成此项目的天数是( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
6.下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A. 有两个角等于60∘的三角形
B. 一边上的中线也是这条边上的高的三角形
C. 有一个角等于60∘的等腰三角形
D. 三个外角都相等的三角形
7.已知a−2b
3b−a =3
5
，求b
a
的值是( )
A. 8
21B. 21
8
C. 8
19
D. 19
8
8.若分式方程2(x+a)
a(x−1)=−8
5
的解为x=−1
5
，则a等于( )
A. 5
6B. 5 C. −5
6
D. −5
9.若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是( )
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 75∘
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30∘，以B为圆心，BC的长为
半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=( )
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 90∘
11.如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(−2,0)，则不等式kx+
b>0的解集为( )
A. x>−2
B. x<−2
C. x>0
D. x<0
12.如图，一块呈平行四边形的菜地，被分割成3个菱形
和2个平行四边形后仍是中心对称图形．若只知道原
平行四边形菜地的周长，则不用测量就能知道分割后
的图形的周长的图形标号为( )
A. ①②③
B. ①②
C. ②③
D. ①③
13.下列分式是最简分式的是( )
A. 33b
15a B. b2−a2
b−a
C. x2
3x
D. x2+y2
x+y
14.分式方程1
x−1=2
x2−1
的解是( )
A. x=1
B. x=−1
C. x=3
D. 无解
15.如图所示四边形ABCD是任意四边形，E、F、G、H是各
边中点，则将E、F、G、H依次连接成的四边形EFGH是( )
A. 不规则四边形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 梯形
16.在△ABC中，∠A+∠B=90∘，∠C=3∠B，若AB=6，则AC=______ .
17.△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，
它们关于点O成中心对称，其中点A(4,2)，则点A1的坐
标是______.
18.化简x+1
x ÷x2−1
x2
=______.
19.已知直角三角形的两个锐角之比为4：5，则这两个锐角的度数为______度，______
度．
20.如图，每个小正方形的边长为1cm，蚂蚁从A点沿正方形的
网格线，经过C点，爬到B点的最短路程是______cm.
21.化简：
(1)2x
y ÷y2
x3
×(−y2
2x
)2；
(2)
x2
x−1
−x+1.
22.先化简，再求值：a2−b2
a ÷(a−2ab−b2
a
)，其中a=2，b=1.
23.解不等式(组)
(1)解不等式x−3
5≤2x−5
3
+2，并把解集在数轴上表示出来。

(2)解不等式组{2(x+1)>x−1
x+5≥4x−1
24.如图所示，三角形ABC中，任意一点P(a,b)经平移后对应点P1(a−2,b+3)，将
△ABC作同样的平移得到△A1B1C1.求A1，B1，C1的坐标．
25.如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F，求证：
四边形BEDF是平行四边形．
26.如图，△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60∘得到△BAD.已知AB⊥BC，BE=CE，
连接DE.
(1)求证：DE=CE；
(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
27.2021年6月月考即将来临，我校购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯奖励月考中教
学成绩优异的教师，实际用了1500元购买玻璃杯，用了1800元购买保温杯．已知一个玻璃杯比一个保温杯便宜10元，求一个保温杯的价格是多少元？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∠AEB的度数，难度适中．
由等边三角形的性质可得∠DAE=60∘，进而可得∠BAE=150∘，又因为AB=AE，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB的大小，进而可求出∠BED的度数．
【解答】
解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60∘，AD=AE=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90∘，AD=AB，
∴∠BAE=90∘+60∘=150∘，AE=AB，
∴∠AEB=30∘÷2=15∘，
∴∠BED=60∘−15∘=45∘，
故选：A.
2.【答案】D
【解析】解：2x<4，
解得x<2，
用数轴表示为：
.
故选：D.
先解不等式得到x<2，用数轴表示时，不等式的解集在2的左边且不含2，于是可判断D选项正确．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
3.【答案】A
【解析】解：∵分式的分母不等于0时，分式有意义，
∴x−3≠0.
∴x≠3.
故选：A.
利用分式的分母不等于0，列出不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不等于0时分式有意义列出不等式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：3x−4
x−1−1
1−x
=
3x−4
x−1
+
1
x−1
=
3x−4+1
x−1
=
3x−3
x−1
=
3(x−1)
x−1
=3，
所以括号中的数是3，故选：A.
先根据已知算式得出括号内的数=3x−4
x−1−1
1−x
，再根据分式的加减法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减法则，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：设甲工程队计划完成此项工作的天数为x天，
由题意得3
x +2(x−6)
x
=1，
解得：x=9，
经检验，x=9是原分式方程的解，且符合题意．
故选：D.
设甲工程队计划完成此项工作的天数为x天，根据题意可得，甲工作3天之后，甲乙合作x−6天完成任务，据此列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
6.【答案】B
【解析】解：有两个角等于60∘的三角形是等边三角形，故选项A不符合题意；
边上的高也是这边的中线的三角形不一定是等边三角形，如等腰三角形底边的高也是中线，故选项B符合题意；
有一个角等于60∘的等腰三角形是等边三角形，故选项C不符合题意；
三个外角都相等的三角形是等边三角形，故选项D不符合题意；
故选：B.
根据等边三角形的判定方法和各个选项中的条件，可以是否是等边三角形，从而可以解
答本题．
本题考查等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确等边三角形的判定方法．
7.【答案】C
【解析】解：∵
a−2b 3b−a
=3
5
，
∴5(a −2b)=3(3b −a)， 5a −10b =9b −3a ， 5a +3a =9b +10b ， 8a =19b ，
∴
b a =819
. 故选：C.
利用比例的性质把a−2b
3b−a =3
5变为分成，整理成关于a 、b 的方程，进一步合并再化为比例式求出答案即可．
此题考查分式求值，巧用比例的基本性质，转化问题，进一步解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：把方程的解代入方程得：−25
+2a
−65a =−8
5，
∴
−2+10a −6a
=−8
5
，
∴−10+50a =48a ， ∴a =5，
检验：当a =5，x =−1
5
时，a(x −1)=5×(−6
5
)=−6≠0，
故选：B.
把方程的解代入方程，即可求出a 的值．
本题考查了分式方程的解，把方程的解代入方程，求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设平行四边形中两个内角的度数分别为x ，3x ， 则x +3x =180， 解得：x =45， ∴其中较小的内角是45∘. 故选：B.
首先设平行四边形中两个内角分别为x ，3x ，由平行四边形的邻角互补，即可得x +3x =180，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．
10.【答案】B
【解析】解：∵AB =AC ，∠A =30∘，
∴∠ABC =∠ACB =1
2(180∘−∠A)=1
2(180∘−30∘)=75∘， ∵以B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交AC 于点D ， ∴BC =BD ，
∴∠CBD =180∘−2∠ACB =180∘−2×75∘=30∘，
∴∠ABD =∠ABC −∠CBD =75∘−30∘=45∘.
故选：B.
根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC =∠ACB ，再求出∠CBD ，然后根据∠ABD =∠ABC −∠CBD 计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：观察图象知：当x >−2时，kx +b >0， 故选：A.
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象进行解答．
12.【答案】C
【解析】解：如图1，
设图形②的长和宽分别是a 、c ，图形③的边长是b ，图形①的边长是d ，原来大平行四边形的周长是l ， 则l =2(a +2b +c)，
根据图示，可得{a =b +d①b =c +d②，
①-②，可得：a −b =b −c ， ∴2b =a +c ，
∴l =2(a +2b +c)=2×2(a +c)=4(a +c)，或l =2(a +2b +c)=2×4b =8b ， ∴2(a +c)=1
2，4b =1
2，
∵图形②的周长是2(a +c)，图形③的周长是4b ，1
2的值一定，
∴图形③②的周长是定值，不用测量就能知道，图形①的周长不用测量无法知道． ∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为③②． 故选：C.
首先设图形②的长和宽分别是a、c，图形③的边长是b，图形①的边长是d，原来大长方形的周长是l，判断出l=2(a+2b+c)，a=b+d，b=c+d；然后分别判断出图形③、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的1
2
，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形①的周长不用测量无法知道，据此解答即可．
此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
13.【答案】D
【解析】解：A、33b
15a =11b
5a
，故本选项错误；
B、b2−a2
b−a =(b−a)(b+a)
b−a
=b+a，故本选项错误；
C、x2
3x =x
3
，故本选项错误；
D，分子和分母不能约分，故本选项正确；
故选：D.
根据分式的基本性质进行约分，若不能约分则是最简分式，若能约分则不是最简分式．本题考查了对最简分式，约分的应用，关键是理解最简分式的定义．
14.【答案】D
【解析】解：方程两边同乘以x2−1，
得x+1=2，
解得x=1.
经检验：x=1是原方程的增根，原方程无解．
故选：D.
本题考查解分式方程的能力，观察方程可得最简公分母是：x2−1，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
本题考查了解分式方程．(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】B
【解析】证明：连接BD，
∵E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH−//1
2
BD(三角形中位线定理).
同理，FG是△BCD的中位线，
∴FG−//1
2
BD(三角形中位线定理).
∴EH−//
FG.
∴四边形EFGH 为平行四边形． 故选：B.
连接BD ，H 、E 分别是AD 、AB 的中点，所以HE 是中位线，EH−//1
2
BD ，由此类推FG−//1
2
BD ，
从而推出EH−//
FG ，根据平行四边形的判定可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
16.【答案】3
【解析】解：∵∠A +∠B =90∘， ∴∠C =180∘−90∘=90∘， ∵∠C =3∠B ， ∴∠B =30∘， ∵AB =6， ∴AC =3， 故答案为：3.
首先根据角之间的关系可得∠B =30∘，再根据在直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半可得AC =1
2AB.
此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半．
17.【答案】(−4,−2)
【解析】解：∵A 和A 1关于原点对称，A(4,2)， ∴点A 1的坐标是(−4,−2)， 故答案为：(−4,−2).
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
18.【答案】1
x−1
【解析】解：原式=x+1x
÷
(x+1)(x−1)
x 2
，
=
x+1x ×x
(x+1)(x−1)，
=1
x−1， 故答案为：1
x−1.
根据分式分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母
和分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．化简即可．
本题考查了分式的乘除，规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
19.【答案】40 50
【解析】解：设这两个角为4x，5x
则4x+5x=90∘
解得x=10∘
∴这两个锐角的度数为40∘，50∘.
故答案为40∘、50∘.
根据直角三角形的内角和等于180∘，有一个角等于90∘，则两锐角的和等于90∘，再设两锐角分别为4x，5x，列方程可求解．
主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90∘，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
20.【答案】8
【解析】解：爬到点C需要向上爬行3个小正方形的边长，向右爬行2个小正方形的边长，
从点C爬到点B需要向上爬行1个小正方形的边长，向右爬行2个小正方形的边长，故经过C点，爬到B点的最短路程是8个小正方形的边长，即最短路程为8cm.
故答案为：8.
根据图形可得爬到点C需要向上爬行3个小正方形的边长，向右爬行2个小正方形的边长，从点C爬到点B需要向上爬行1个小正方形的边长，向右爬行2个小正方形的边长，继而可得出路程．
此题考查了生活中的平移现象，属于基础题，解答本题的关键是利用平移的特点解题．
21.【答案】解：(1)2x
y ÷y2
x3
×(−y2
2x
)2
=
2x
y
×
x3
y2
×
y4
4x2
=x2y
2
；
(2)
x2
x−1
−x+1
=
x2
x−1
−
x2−2x+1
x−1
=2x−1
x−1
.
【解析】(1)先算乘方，把除法转为乘法，再约分即可；
(2)先通分，再进行加减即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】解：a2−b2
a ÷(a−2ab−b2
a
)
=
(a+b)(a−b)
a
÷
a2−2ab+b2
a
=
(a+b)(a−b)
a
⋅
a
(a−b)2
=a+b
a−b
，
当a=2，b=1时，原式=2+1
2−1
=3.
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23.【答案】解：(1)
x−3 5≤
2x−5
3
+2
3(x−3)≤5(2x−5)+30
3x−9≤10x−25+30
 3x−10x≤−25+30+9
−7x≤14
x≥−2
将不等式的解集表示在数轴上如下：
(2)解不等式2(x+1)>x−1，得：x>−3，
解不等式x+5≥4x−1，得：x≤2，
则不等式组的解集为−3<x≤2。

【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集。

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键。

24.【答案】解：∵点P(a,b)经平移后对应点P1(a−2,b+3)，
∴P点向上平移3个单位，向左平移2个单位，
由图知：A(1,1)，B(−1,−1)，C(4,−2)，
∴A1，B1，C1的坐标分别为：(−1,4)，(−3,2)，(2,1).
【解析】由三角形ABC中任意一点P(a,b)，经平移后对应点为P1(a−2,b+3)可得三角形ABC的平移规律为：向左平移2个单位，向上平移3个单位，则三角形的个点的变化规律都是一样的．
此题考查的是平移变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
25.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD//BC，
∴DE//BF，∠EBC=∠AEB，
∵∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F，
∴∠ADF=1
2∠ADC，∠EBC=1
2
∠ABC，
∴∠ADF=∠EBC，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE//DF，
∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【解析】根据平行四边形的性质得出∠ABC=∠ADC，AD//BC，求出DE//BF，∠EBC=∠AEB，根据角平分线的定义求出∠ADF=∠EBC，求出∠AEB=∠ADF，根据平行线的判定得出BE//DF，根据平行四边形的判定得出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60∘而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60∘，
∵AB⊥EC，
∴∠ABC=90∘，
∴∠DBE=∠CBE=30∘，在△BDE和△BCE中，
∵{DB=CB
∠DBE=∠CBE BE=BE
，
∴△BDE≌△BCE(SAS)，
∴DE=CE；
(2)解：四边形ABED为菱形，理由如下：
由(1)得△BDE≌△BCE，
∵△BAD是由△BEC旋转而得，
∴△BAD≌△BEC，
∴BA=BE，AD=EC=ED，
又∵BE=CE，
∴AB=BE=AD=DE，
∴四边形ABED为菱形．
【解析】(1)由“SAS”可证△BDE≌△BCE，可得DE=CE；
(2)由旋转的性质和全等三角形的性质可得AB=BE=AD=DE，可证四边形ABED为菱形．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27.【答案】解：设一个玻璃杯的价格是x元，则一个保温杯的价格是(x+10)元，
依题意，得：1500
x =1800
x+10
，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x+10=60，
答：一个保温杯的价格是60元．
【解析】设一个玻璃杯的价格是x元，则一个保温杯的价格是(x+10)元，由题意：用1500元购买玻璃杯的数量等于用1800元购买保温杯的数量，列出分式方程，解方程，即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．。